Hilbert曲线是一条能填满正方形的经典的分形曲线之一，由大卫·希尔伯特在1891年提出。Hilbert曲线具有三个特点：(1)它可以不间断地遍历一个正方形中的所有点，当阶n趋向无穷大时，它充满一个正方形，曲线的长度也将无穷大；(2)分布在一个正方形中的Hilbert曲线十分曲折但不会交叉，连续但不可导；(3)它具有自相似性。自相似性是所有分形曲线的主要特征之一。
　　由于Hilbert曲线能尽可能地保持原空间中相邻点的相关性，因此Hilbert曲线已在图像处理，电路设计方面有一定的用途。另外，由于Hilbert曲线的图案相当精美，因此它也常被用在艺术创作上。
　　一、Hilbert曲线的生成方法
　　目前生成Hilbert曲线的方法主要有L系统方法，下面做简要的介绍：
　　L系统法是符号串重写系统。如果将符号解释成以某种方式绘制曲线或图形，则只要生成符号串，就等于生成了曲线或图形。L系统从公理（初始符号串）开始，将变换规则多次作用于符号串之上，最后生成了一个较长的符号串；利用该符号串的集合含义来绘制曲线或图形。
　　符号表V={L，R，F，+，-}功w=L
　　规则集合P={L→+RF-LFL-FR+，R→LF+RFR+FL-}，（→表示在将规则作用于符号时，用→右边的符号串代替左边的符号。）
　　V中的各个符号都是绘制希尔伯特曲线要用到的曲线单元，假设当前方向为
　　水平向右，则V中各符号的几何解释如下：
　　L：画一个开口向上的口杯状折线，口杯的高度和底径相等，折线上的小圆
　　点和箭头分别表示画线的起点和方向；如图2-2(1)。
　　R：画一个开口向下的口杯状折线，口杯的高度和底径相等，折线上的小圆
　　点和箭头分别表示画线的起点和方向；如图2-2(2)。
　　F：向前一步，画一条直线段；如图2-2(3)
　　+：表示当前位置顺时针旋转90°；
　　-：表示当前位置逆时针旋转90°。
　　


　　(1)L的几何意义 (2)R的几何意义 (3)F的几何意义
　　图2：生成Hilbert曲线的基本元素
　　从公理L出发，逐级运用规则集合P中的规则，对符号表V进行重写，可得到表示Hilbert曲线的各级符号串。生成Hilbert曲线就是一个不断将规则作用于符号的过程。需要特别注意的是，随着希尔伯特曲线级数的增加，所用到的曲线单元的尺寸是递减的。
　　二、基于MATLAB的Hilbert曲线的计算机仿真
　　用MATLAB对Hilbert曲线进行仿真的方法比较多，大多数方法的算法比较复杂，程序也比较冗长。本文在这里介绍一段由Federico Forte编写的程序，这段程序被MATLAB CENTRAL收录。
　　(1)由Federico Forte编写的基于MATLAB的Hilbert曲线的计算机仿真程序：
　　function [x，y] = hilbert(n)
　　%HILBERT Hilbert curve.
　　% [x，y]=hilbert(n) gives the vector coordinates of points
　　% in n-th order Hilbert curve of area 1.
　　% Example： plot of 5-th order curve
　　% [x，y]=hilbert(5)；line(x，y)
　　if n<=0
　　x=0；
　　y=0；
　　else
　　[xo，yo]=hilbert(n-1)；
　　x=.5*[-.5+yo -.5+xo .5+xo.5-yo]；
　　y=.5*[-.5+xo.5+yo .5+yo -.5-xo]；
　　(2)利用这段程序在MATALB上绘制1到9阶的Hilbert曲线的仿真结果：