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【摘要】如何解含绝对值不等式的解法,对学生来说是个难点。本文通过教学中的实例来寻求更好的解答方法,发现若掌握几何法的技巧来求解,则比代数法求解要优越的多,从而可以达到事半功倍的效果,突破难点。同时,本文所推崇的方法,既能解决绝对值不等式的求解问题,又可以把它与圆及圆锥曲线联系起来,这样就将看似不相关的两部分内容有机的结合起来,有助于学生研究性地学习数学,以提高学生的学习兴趣和效率。
【关键词】求解;绝对值不等式;几何解法
Solution of the absolute value of the geometric inequality
ZengZhengQian
【Abstract】 how to solve inequalities with absolute value of the solution, it is difficult for students. In this paper, examples of teaching to seek a better solution methods and found that if the master geometry skills to solving algebraic method to be compared with the more favorable, which can achieve a multiplier effect, breaking through the difficulties. Meanwhile, the method advocated by this article, both to resolve the problem solving absolute value inequalities, but also it can be round and conic section with links, so that would seemingly not related to the organic content of the two combined, can help students Research to study mathematics, to improve student interest in learning and efficiency.
【Key words】 Solution; absolute inequality; geometric solution
在代数领域,对学生来说,绝对值是一个难点,不好理解,大部分学生都学得不好,特别是对于绝对值不等式的求解,常有方法都是采用“零点分段法”来求解,这其实是考察了分类整合思想,好多学生不易掌握,容易弄错。更有些学生则是一筹莫展。而在新教材的高考选考内容中,是百分之百会出题选考的,为了突破难点,把这一考分拿到,笔者在教学中对一类绝对值不等式进行了初步归纳,充分利用其几何意义,发现如果用几何方法来求解,那么问题就变得简单、直观、易懂。
1 对于只有一个绝对值的不等式来说,首先要理解绝对值的几何意义
“ |a|指的是数轴上代表数 的点到原点的距离。”于是有 |x|﹤a( a>0)时,从数轴上看,它的解集是- a与a 之间的部分,即{ x︱-a ﹤x﹤a｝; |x|>a( a>0)时,从数轴上看,它的解集是-a 左侧与 a右侧的部分,即{ x︱x ﹤-a或x﹤a｝.并在此基础上进行引申:对于 |ax+b|﹤c和|ax+b>c|( a≠0,c>0)型的不等式,只需把 ax+b看成一个整体用上述结论,再解出 x的范围即可——这可算作“代数法”。如果我们把不等式变形为|x+ba |﹤c|a|和|x+ba |>c|a|,然后画出数轴,看作数轴上到数 -ba 的距离小于(或大于)c|a| 的点的集合——这就是我所说的“几何法”。下面举例说明:
例1:解不等式 |x-3|≦2
解:(代数法略):这个不等式的几何意义是:在数轴上到实数3对应点的距离小于或等于2的点,如右上图所示。也可以说这些点都在以实数3对应的点为圆心,2为半径的园内或圆上。所以这个不等式的解集是 3-2≦x≦3+2即1 ≦x≦5所以原不等式的解集是 {x| 1 ≦x≦5} 。
例2:解不等式|3-2x|≦5
解:(代数法略):
这个不等式可化为 |x-32|≦52,它的几何意义是:在数轴上到实数 32对应点的距离小于或等于 52的点,如上图所示。也可以说这些点都在以实数 32对应的点为圆心, 52为半径的园内或圆上。所以这个不等式的解集是32- 52≦x 32+52即-1 ≦x ≦4 所以原不等式的解集是{x|-1≦x ≦4}
2 对于含两个绝对值的不等式来说,一般我们会采用“零点分段法”来分段求解,最后求并集,这也是所谓的“代数法”。虽然这是一种通法,但这种方法也比较繁琐,一般要分三段讨论再求并集,要求学生对“分类整合思想”熟练掌握才行。而其中有一类--两个绝对值里面的未知量都是一次的,并且系数的绝对值相等的情况下,我们可以充分的利用绝对值得几何意义,用几何法来求解。为了说明这个问题,下面举例来说明:
例1:解不等式 |x+1|+|x+2|≧5
解:(代数法略):这个不等式的几何意义是:
在数轴上到实数-1与2所对应的两点的距离的和大于或等于5的点。由椭圆的定义可知:这些点是在以-1和2为焦点,以5为长轴的椭圆外部和椭圆上,如图所示: 由椭圆的中心为 ,12长半轴为 52可知,这个不等式的解集为x ≧12+52或x ≦12-52x≦12-52即 ,所以原不等式的解集是{x|x ≧3或x ≦-2。
例2:解不等式|x+10|-|x-2|≧8
解:(代数法略):这个不等式的几何意义是:在数轴上到实数-10与2所对应的两点的距离的差大于或等于8的点。由双曲线的定义可知:到实数-10与2所对应的两点的距离的差等于8的点在以-10和2为焦点,实轴长为8的双曲线的右支上,如上图所示:由双曲线的中心为-4,实半轴为4可知,这个不等式的解集是 x≧-4+4,即x≧0所以,原不等式的解集为{x|x ≧0}.(此题画出图后,也可以由图直接观察可得解集.)
例3:解不等式 |2x+5|+2x-3|≦10
解:(代数法略):这个不等式可化为|x+52|+|x-32|≦5,这个不等式的几何意义是:在数轴上到实数 -52与 所32对应的两点的距离的和小于或等于5的点。由椭圆的定义可知:这些点是在以-52 和 32为焦点,以5为长轴的椭圆内部和椭圆上,又由该椭圆的中心为-12 ,长半轴为 52可知,这个不等式的解集为 -12-52≦x≦-12+52,即 -3≦x≦2,所以原不等式的解集是 {x|-3≦x≦2}.
通过以上分析,我们发现:象这一类的不等式,我们采用几何解法,会很方便省时省力,就不象代数法那样繁琐。笔者拙见,以共享之。如有不妥之处,敬请指正。
参考文献
[1]普通高中标准实验教材数学必修5北师大版
[2]普通高中标准实验教材数学选修(4-5)北师大版
【关键词】求解;绝对值不等式;几何解法
Solution of the absolute value of the geometric inequality
ZengZhengQian
【Abstract】 how to solve inequalities with absolute value of the solution, it is difficult for students. In this paper, examples of teaching to seek a better solution methods and found that if the master geometry skills to solving algebraic method to be compared with the more favorable, which can achieve a multiplier effect, breaking through the difficulties. Meanwhile, the method advocated by this article, both to resolve the problem solving absolute value inequalities, but also it can be round and conic section with links, so that would seemingly not related to the organic content of the two combined, can help students Research to study mathematics, to improve student interest in learning and efficiency.
【Key words】 Solution; absolute inequality; geometric solution
在代数领域,对学生来说,绝对值是一个难点,不好理解,大部分学生都学得不好,特别是对于绝对值不等式的求解,常有方法都是采用“零点分段法”来求解,这其实是考察了分类整合思想,好多学生不易掌握,容易弄错。更有些学生则是一筹莫展。而在新教材的高考选考内容中,是百分之百会出题选考的,为了突破难点,把这一考分拿到,笔者在教学中对一类绝对值不等式进行了初步归纳,充分利用其几何意义,发现如果用几何方法来求解,那么问题就变得简单、直观、易懂。
1 对于只有一个绝对值的不等式来说,首先要理解绝对值的几何意义
“ |a|指的是数轴上代表数 的点到原点的距离。”于是有 |x|﹤a( a>0)时,从数轴上看,它的解集是- a与a 之间的部分,即{ x︱-a ﹤x﹤a｝; |x|>a( a>0)时,从数轴上看,它的解集是-a 左侧与 a右侧的部分,即{ x︱x ﹤-a或x﹤a｝.并在此基础上进行引申:对于 |ax+b|﹤c和|ax+b>c|( a≠0,c>0)型的不等式,只需把 ax+b看成一个整体用上述结论,再解出 x的范围即可——这可算作“代数法”。如果我们把不等式变形为|x+ba |﹤c|a|和|x+ba |>c|a|,然后画出数轴,看作数轴上到数 -ba 的距离小于(或大于)c|a| 的点的集合——这就是我所说的“几何法”。下面举例说明:
例1:解不等式 |x-3|≦2
解:(代数法略):这个不等式的几何意义是:在数轴上到实数3对应点的距离小于或等于2的点,如右上图所示。也可以说这些点都在以实数3对应的点为圆心,2为半径的园内或圆上。所以这个不等式的解集是 3-2≦x≦3+2即1 ≦x≦5所以原不等式的解集是 {x| 1 ≦x≦5} 。
例2:解不等式|3-2x|≦5
解:(代数法略):
这个不等式可化为 |x-32|≦52,它的几何意义是:在数轴上到实数 32对应点的距离小于或等于 52的点,如上图所示。也可以说这些点都在以实数 32对应的点为圆心, 52为半径的园内或圆上。所以这个不等式的解集是32- 52≦x 32+52即-1 ≦x ≦4 所以原不等式的解集是{x|-1≦x ≦4}
2 对于含两个绝对值的不等式来说,一般我们会采用“零点分段法”来分段求解,最后求并集,这也是所谓的“代数法”。虽然这是一种通法,但这种方法也比较繁琐,一般要分三段讨论再求并集,要求学生对“分类整合思想”熟练掌握才行。而其中有一类--两个绝对值里面的未知量都是一次的,并且系数的绝对值相等的情况下,我们可以充分的利用绝对值得几何意义,用几何法来求解。为了说明这个问题,下面举例来说明:
例1:解不等式 |x+1|+|x+2|≧5
解:(代数法略):这个不等式的几何意义是:
在数轴上到实数-1与2所对应的两点的距离的和大于或等于5的点。由椭圆的定义可知:这些点是在以-1和2为焦点,以5为长轴的椭圆外部和椭圆上,如图所示: 由椭圆的中心为 ,12长半轴为 52可知,这个不等式的解集为x ≧12+52或x ≦12-52x≦12-52即 ,所以原不等式的解集是{x|x ≧3或x ≦-2。
例2:解不等式|x+10|-|x-2|≧8
解:(代数法略):这个不等式的几何意义是:在数轴上到实数-10与2所对应的两点的距离的差大于或等于8的点。由双曲线的定义可知:到实数-10与2所对应的两点的距离的差等于8的点在以-10和2为焦点,实轴长为8的双曲线的右支上,如上图所示:由双曲线的中心为-4,实半轴为4可知,这个不等式的解集是 x≧-4+4,即x≧0所以,原不等式的解集为{x|x ≧0}.(此题画出图后,也可以由图直接观察可得解集.)
例3:解不等式 |2x+5|+2x-3|≦10
解:(代数法略):这个不等式可化为|x+52|+|x-32|≦5,这个不等式的几何意义是:在数轴上到实数 -52与 所32对应的两点的距离的和小于或等于5的点。由椭圆的定义可知:这些点是在以-52 和 32为焦点,以5为长轴的椭圆内部和椭圆上,又由该椭圆的中心为-12 ,长半轴为 52可知,这个不等式的解集为 -12-52≦x≦-12+52,即 -3≦x≦2,所以原不等式的解集是 {x|-3≦x≦2}.
通过以上分析,我们发现:象这一类的不等式,我们采用几何解法,会很方便省时省力,就不象代数法那样繁琐。笔者拙见,以共享之。如有不妥之处,敬请指正。
参考文献
[1]普通高中标准实验教材数学必修5北师大版
[2]普通高中标准实验教材数学选修(4-5)北师大版