论文部分内容阅读
一、初中数学教学中应渗透哪些数学思想
在九年制义务教育《数学课程标准》中，初中阶段要求学生“了解”的数学思想有转化思想、分类思想、数形结合思想、类比思想等。
1.分类讨论思想。 分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
2.数形结合思想。一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立的，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。
3.化归和转化思想。化归思想是数学思想方法体系的主梁之一，是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的，其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解，实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题的转化、未知问题向已知问题的转化、抽象问题向具体问题的转化等。
4.比较或类比思想。所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上同类研究对象的异同进行辨别。比较是一切理解和思维的基础，随着学习的不断深入，学生要掌握越来越多的知识，这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。类比，是一种试图建立未知的问题与已知的问题之间的联系，从而利用已知的解题方法去解决新的问题的思路。
二、怎样在初中数学教学中有效地渗透数学思想
1.分类讨论思想。例如，在初中数的两次扩展中教材给“有理数”和“实数”的定义分别是“整数和分数统称为有理数”、“有理数和无理数统称为实数”，这类定义本身就揭示了“有理数”和“实数”的内涵与外延，体现了分类思想。类似这样的概念在初中数学教材中很多，如实数的绝对值定义也是采用分类法给出的，在这个定义中选择a=0作为分类的标准，在每一类中，其结果都不包含绝对值符号，因此定义也给出了脱去绝对值符号的一种方法。
2.数形结合思想。初一教材引入了数轴，就为数形结合的思想奠定了基础，如有理数的大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义等，充分显示出数与形结合起来产生的威力。这种抽象与形象的结合，能使学生的思维得到锻炼。
特别在初二引入直角坐标系以后，数形结合的思想更加得到了完美体现，如函数的图象与函数的性质、利用图象求二元一次方程组的近似解等等。
另外，像点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，都是用线段的长短（图形）与距离的大小（数量）来比较确定。又如，勾股定理结论的论证、用三角函数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现。再如，有理数的加法法则、乘法法则，不等式组的解集的确定，都是利用数轴或其它实图归纳总结出来的；实践与探索中行程问题的教学，经常是利用线段图解的方法来引导学生分析题中的数量关系。
在数学教学中，由数想形、以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化的能力，还可以提高学生迁移思维的能力。
3.化归和转化思想。在实数的运算、解方程（组）、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识，学生有意无意接受到了化歸思想。如：已知（x+y）2=11， xy=1，求x2+y2的值。显然直接代入无法求解，若先把所求的式子化归到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，则易得： 原式=9。又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决，都是化归思想在实际问题中的具体体现。
如在加法的基础上，利用相反数的概念，化归出减法法则，使加、减法统一起来，得到了代数和的概念；在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出除法法则，使互逆的两种运算得到统一。又如，对等腰梯形有关性质的探索，除了教材中利用轴对称方法外，还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法，把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。
除此之外，很多知识之间都存在着相互渗透和转化：多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答等等。
4.比较或类比思想。例如，在因式分解的教学中，通过复习整式乘法，让学生比较这两种运算的异同，明确因式分解与整式乘法是恒等变形，又是互逆运算。如（a+b）（a-b） =a2-b2是整式乘法，a2-b2=（a+b）（a-b）是因式分解。在不等式的解法教学时，可以对比一元一次方程解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1。这些步骤是一样的。当然，要特别比较化系数为1时两者的不同之处。又如，全等三角形是相似三角形在相似比为1时的特例，两个三角形相似和全等有它特定的内在联系，因此，全等三角形的识别方法可以类比相似三角形的识别方法。
总之，数学思想方法是数学的灵魂和精髓，在数学的学习、探索过程中处处蕴涵着深邃的数学思想方法。在教学过程中，作为引导者、组织者的教师要善于抓住有利时机，引导学生发现、探索、解决数学问题，积极构建符合学生素质发展需要的数学思想方法知识系统。
在九年制义务教育《数学课程标准》中，初中阶段要求学生“了解”的数学思想有转化思想、分类思想、数形结合思想、类比思想等。
1.分类讨论思想。 分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
2.数形结合思想。一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立的，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。
3.化归和转化思想。化归思想是数学思想方法体系的主梁之一，是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的，其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解，实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题的转化、未知问题向已知问题的转化、抽象问题向具体问题的转化等。
4.比较或类比思想。所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上同类研究对象的异同进行辨别。比较是一切理解和思维的基础，随着学习的不断深入，学生要掌握越来越多的知识，这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。类比，是一种试图建立未知的问题与已知的问题之间的联系，从而利用已知的解题方法去解决新的问题的思路。
二、怎样在初中数学教学中有效地渗透数学思想
1.分类讨论思想。例如，在初中数的两次扩展中教材给“有理数”和“实数”的定义分别是“整数和分数统称为有理数”、“有理数和无理数统称为实数”，这类定义本身就揭示了“有理数”和“实数”的内涵与外延，体现了分类思想。类似这样的概念在初中数学教材中很多，如实数的绝对值定义也是采用分类法给出的，在这个定义中选择a=0作为分类的标准，在每一类中，其结果都不包含绝对值符号，因此定义也给出了脱去绝对值符号的一种方法。
2.数形结合思想。初一教材引入了数轴，就为数形结合的思想奠定了基础，如有理数的大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义等，充分显示出数与形结合起来产生的威力。这种抽象与形象的结合，能使学生的思维得到锻炼。
特别在初二引入直角坐标系以后，数形结合的思想更加得到了完美体现，如函数的图象与函数的性质、利用图象求二元一次方程组的近似解等等。
另外，像点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，都是用线段的长短（图形）与距离的大小（数量）来比较确定。又如，勾股定理结论的论证、用三角函数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现。再如，有理数的加法法则、乘法法则，不等式组的解集的确定，都是利用数轴或其它实图归纳总结出来的；实践与探索中行程问题的教学，经常是利用线段图解的方法来引导学生分析题中的数量关系。
在数学教学中，由数想形、以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化的能力，还可以提高学生迁移思维的能力。
3.化归和转化思想。在实数的运算、解方程（组）、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识，学生有意无意接受到了化歸思想。如：已知（x+y）2=11， xy=1，求x2+y2的值。显然直接代入无法求解，若先把所求的式子化归到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，则易得： 原式=9。又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决，都是化归思想在实际问题中的具体体现。
如在加法的基础上，利用相反数的概念，化归出减法法则，使加、减法统一起来，得到了代数和的概念；在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出除法法则，使互逆的两种运算得到统一。又如，对等腰梯形有关性质的探索，除了教材中利用轴对称方法外，还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法，把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。
除此之外，很多知识之间都存在着相互渗透和转化：多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答等等。
4.比较或类比思想。例如，在因式分解的教学中，通过复习整式乘法，让学生比较这两种运算的异同，明确因式分解与整式乘法是恒等变形，又是互逆运算。如（a+b）（a-b） =a2-b2是整式乘法，a2-b2=（a+b）（a-b）是因式分解。在不等式的解法教学时，可以对比一元一次方程解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1。这些步骤是一样的。当然，要特别比较化系数为1时两者的不同之处。又如，全等三角形是相似三角形在相似比为1时的特例，两个三角形相似和全等有它特定的内在联系，因此，全等三角形的识别方法可以类比相似三角形的识别方法。
总之，数学思想方法是数学的灵魂和精髓，在数学的学习、探索过程中处处蕴涵着深邃的数学思想方法。在教学过程中，作为引导者、组织者的教师要善于抓住有利时机，引导学生发现、探索、解决数学问题，积极构建符合学生素质发展需要的数学思想方法知识系统。