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[摘要]真正的课堂应该是允许学生甚至教师出错的地方。“错误”是一种很好的教学资源，教师要善于把握机会，创造性地对待课堂中的“错误”，正视错误，让学生在错误中获得真实的学识，也让“错误”生成课堂上的精彩亮点。
[关键词]错误 教学资源 正视 捕捉 善待 甄别
数学家华罗庚说过：“天下只有哑巴没有说过错话，天下只有白痴没想错过问题，天下没有数学家没算错过题。”人们对事物的认识都会经过从片面到完整，从错误到完善的过程。看错了，听错了，说错了，写错了，记错了，算错了，想错了……在数学学习过程中，错误更是达到真理的一个必然环节，出现错误也是再平常不过的事了。难怪有人说：“教室就是让学生出错的地方。”但对于学生出现的错误，不同的教师会有不同的处理方法。
其实，学生的认知过程并不是一条平缓延伸，波澜不惊的直线，而是一个不断犯错，不断修正的过程。错误是学习过程中的必然曲折，它暴露了学生在学习上的盲点，教师可以“将错就错”，把错误当做一种教学资源，一个教学契机，加以巧妙处理，产生点石成金的效果，衍生出无限精彩；甚至还可以主动预设错误，让学生在对错误进行剖析和颠覆的过程中总结经验，不断成熟。这正折射出教师的教学智慧。
这是一个在“平行四边形面积计算”课上的教学片断。教师出示了一个长方形，让学生计算面积，毫无悬念地得出答案之后，教师又出示了一个边长是6厘米和4厘米的平行四边形，让学生猜想它的面积。经过一番激烈的讨论，学生们得出两种不同的猜想：猜想一，参照了长方形的面积计算方法，认为这个平行四边形的面积是相邻两条底的乘积，也就是6×4=24（平方厘米）；猜想二，画出了平行四边形底边上的高，经过测量，得出高是3厘米，面积是底乘高，也就是6×3=18（平方厘米）。“支持猜想一的同学请举手！”老师话音刚落，一大半学生举起了小手，场面可谓壮观；“支持猜想二的呢？”这下只有冷冷清清的几只小手了。老师却一定也不着急，他微微一笑：“一个平行四边形，同学们猜想出两种不同的结果，我们暂且不论对错，先来说说这两种猜想的意思。”于是，两大阵营轮番上阵，学生你一言我一语地发表观点。一位学生说：“平行四边形容易变形，把一条底拉直，变成长方形，长方形的面积是长乘宽，平行四边形的面积就是边长乘边长！”马上有人反驳：“如果把这个平行四边形压得很扁很扁，底的长度是不变的，面积还是24平方厘米吗？”这下驳的猜想一的阵营哑口无言了。眼看争论接近尾声，教师这才出场：“在平行四边形变形的过程中，你看到了什么在变？什么没有变？”学生观察后发现：“面积在变，边长没有变。”这个说法得到了大家的认可，也就是说平行四边形两条相邻边的长度相乘求面积的方法是错误的，支持猜想一的同学输的心服口服。
人们常说：“垃圾是放错了地方的宝贝。”如果我们能用这样的眼光来看待数学教学中的错误，那会是一种怎样的境界呢？所以说，关键不在于错误，而在于我们怎样对待错误。
一、正视“错误”，注意倾听学生的奇思妙想
孩子的视角是具体而片面的，由此得出错误的结论也不足为奇，但是不要单纯地认为孩子的想法都是幼稚可笑的，而看不到它们的新颖独特。教师要学会注意倾听学生的奇思妙想，正视学生出现的错误。
学生的学习过程总会有错误相伴，错误反映出学生的学习困难所在，反映出学生思维的认知发展水平，反映出学生行为习惯以及意志品质状态，这不但可以帮助学生正确认识自己，找到努力的目标和方向，同时也可以帮助教师从学生的“错误”中分析，了解他们的学习状况，发现思维障碍在哪里，哪些是有价值的思考，哪些是共性的问题，哪些是个别的问题，以便对症下药，有针对性地選择有效的教育教学策略和方法，进而改进和完善自己的教学。
教师要为学生营造一个心理安全的学习环境，表现出能够尊重，愿意接纳学生成熟或不成熟的想法、做法，欣赏他们主动表达自己思考的行为和勇气，让他们敢于在课堂上暴露自己的真实想法和思考。教师要让学生明白，学习就是在不断出错、纠错中进行的，失败乃成功之母。错误作为一种客观存在并不可怕，怕的是我们失去面对错误的勇气，失去尝试、探索的机会。要让学生把“错误”当做自己学习经历的一次宝贵经验，并敢于质疑问难，不怕错误。学生只有真正明白自己的问题，改正错误，才能真正把学习的知识和能力内化为个人的发展。
教学中，教师不能怕学生出错而忽视或回避不同的声音，降低问题的思维含量而使教学“顺利”地进行。教师要给学生表达不同意见的机会，正是在不同意见的碰撞中才会凸显问题的内在价值，使学生的思维能力在激辩和交锋中得以内化和提升，这种思维碰撞产生出的错误同样闪烁着智慧的火花，恰当选择、灵活处理，就会使之成为宝贵的教学资源。
在上面这个教学片断中，面对学生的“错误”，老师并没有着急告诉学生“你错了，应该怎么做，不应该怎么做”，没有急着帮学生纠正，而是仔细地聆听了学生的辩论。因为用平行四边形两条相邻底边的长度相乘的方法求面积，是学生的真实想法，是一种合情推理。如果教师粗暴地打断学生——多说无用，因为它是错误的，那么学生天然的好奇心、求知欲以及大胆尝试的探索意识会不会就此也被打断了呢？
其实，课堂上不只是学生会犯错，老师也会偶尔“马失前蹄”，这就要求教师敢于直面自己的错误，勇敢地把错误当做师生共同研究的“靶子”，转化为新的教学资源。英国心理学家贝恩布里说：“差错人皆有之，作为教师，对学生的错误不加以利用是不可原谅的。”同样，作为教师，如果不能正确认识自己的错误，也是不可原谅的。
二、捕捉“错误”，“将错就错”的引导和化解
学生在知识建构的过程中，总会有一些认识上的偏差，对于学生的错误，教师大可不必藏着、捂着，而是要站在教学价值的角度上重新审视，挖掘其内在的“闪光点”，灵活地运用于教学当中，最大限度发挥学生错误的价值，为学生创设新的学习机会，为学生的成长和发展提供新的教育契机，给课堂注入新的生命力。
教师要善待学生的错误，让学生充分展示自己的思维过程，探求产生错误的内在原因，才能有针对性地展开教学。同时，教师也要独具慧眼，及时捕捉稍纵即逝的错误并因势利导，巧妙运用于教学活动中，抓住这种教育契机，让错误变成宝贵的教学资源，让其发挥应有的价值，折射出灿烂的光芒。
课堂上学生的错误常常来得很突然，教师能因势利导地利用学生的错误是教学智慧的体现，处理得好，能让学生的思维活跃起来。比如上面的案例中，学生虽然出现了“用相邻两条底边的乘积求平行四边形的面积”的错误猜想，但这种结论是从长方形的面积计算方法中类推出来的，同样也闪烁着思维的火花。可喜的是这位老师面对虽是错误却如此真实的想法，而“将错就错”，当成了一种难得的生成性资源加以开发并利用，因势利导，为学生提供了一个“研究争辩”的空间，让学生在思维的碰撞中发现错误，带领学生进入柳暗花明的境地，领悟了方法，理解了知识，引发更多新意。课堂也因为有了这样的“错误”更加体现出它的价值，焕发出生命的活力和精彩。
学生在学习过程中出现的错误以及教师的失误，都是一种重要的教育教学资源，宽容“错误”，善待“错误”，一方面可以点燃学生主动探究的学习热情，帮助学生架起通往知识殿堂的桥梁；另一方面可以让师生关系得到改善，教学质量得以提高，也使教师从错误中反思并提升自身的教学艺术水平。没有问题的课堂才是最有问题的课堂。正因为有了错误，师生才能张扬个性；因为有了错误，课堂才显得生机勃勃，充满智慧。
但我们也应该注意到，当我们利用学生的“错误资源”进行教学时，一定要考虑到学生的感受，不能给他们带来自尊和自信的心理压力。同时，面对课堂中的“错误资源”，我们要学会判断，学会取舍，挖掘有益的“错误资源”来优化课堂，不能让“错误”拖累课堂，要让课堂因“错误”而更精彩！
有人问圣人：“世间什么最贵？”圣人回答：“错误。”又问：“何物最便宜？”圣人仍答：“错误”。道理再浅显不过：会分析错误的原因，会吸取教训，错误是无价之宝；不分析错误原因，不吸取教训，错误一文不值。所以，当我们再次面对课堂上的错误时，就再多一些欣赏，多一些接纳，多一些甄别吧！
（作者单位：安徽亳州谯城区青云中心小学）
[关键词]错误 教学资源 正视 捕捉 善待 甄别
数学家华罗庚说过：“天下只有哑巴没有说过错话，天下只有白痴没想错过问题，天下没有数学家没算错过题。”人们对事物的认识都会经过从片面到完整，从错误到完善的过程。看错了，听错了，说错了，写错了，记错了，算错了，想错了……在数学学习过程中，错误更是达到真理的一个必然环节，出现错误也是再平常不过的事了。难怪有人说：“教室就是让学生出错的地方。”但对于学生出现的错误，不同的教师会有不同的处理方法。
其实，学生的认知过程并不是一条平缓延伸，波澜不惊的直线，而是一个不断犯错，不断修正的过程。错误是学习过程中的必然曲折，它暴露了学生在学习上的盲点，教师可以“将错就错”，把错误当做一种教学资源，一个教学契机，加以巧妙处理，产生点石成金的效果，衍生出无限精彩；甚至还可以主动预设错误，让学生在对错误进行剖析和颠覆的过程中总结经验，不断成熟。这正折射出教师的教学智慧。
这是一个在“平行四边形面积计算”课上的教学片断。教师出示了一个长方形，让学生计算面积，毫无悬念地得出答案之后，教师又出示了一个边长是6厘米和4厘米的平行四边形，让学生猜想它的面积。经过一番激烈的讨论，学生们得出两种不同的猜想：猜想一，参照了长方形的面积计算方法，认为这个平行四边形的面积是相邻两条底的乘积，也就是6×4=24（平方厘米）；猜想二，画出了平行四边形底边上的高，经过测量，得出高是3厘米，面积是底乘高，也就是6×3=18（平方厘米）。“支持猜想一的同学请举手！”老师话音刚落，一大半学生举起了小手，场面可谓壮观；“支持猜想二的呢？”这下只有冷冷清清的几只小手了。老师却一定也不着急，他微微一笑：“一个平行四边形，同学们猜想出两种不同的结果，我们暂且不论对错，先来说说这两种猜想的意思。”于是，两大阵营轮番上阵，学生你一言我一语地发表观点。一位学生说：“平行四边形容易变形，把一条底拉直，变成长方形，长方形的面积是长乘宽，平行四边形的面积就是边长乘边长！”马上有人反驳：“如果把这个平行四边形压得很扁很扁，底的长度是不变的，面积还是24平方厘米吗？”这下驳的猜想一的阵营哑口无言了。眼看争论接近尾声，教师这才出场：“在平行四边形变形的过程中，你看到了什么在变？什么没有变？”学生观察后发现：“面积在变，边长没有变。”这个说法得到了大家的认可，也就是说平行四边形两条相邻边的长度相乘求面积的方法是错误的，支持猜想一的同学输的心服口服。
人们常说：“垃圾是放错了地方的宝贝。”如果我们能用这样的眼光来看待数学教学中的错误，那会是一种怎样的境界呢？所以说，关键不在于错误，而在于我们怎样对待错误。
一、正视“错误”，注意倾听学生的奇思妙想
孩子的视角是具体而片面的，由此得出错误的结论也不足为奇，但是不要单纯地认为孩子的想法都是幼稚可笑的，而看不到它们的新颖独特。教师要学会注意倾听学生的奇思妙想，正视学生出现的错误。
学生的学习过程总会有错误相伴，错误反映出学生的学习困难所在，反映出学生思维的认知发展水平，反映出学生行为习惯以及意志品质状态，这不但可以帮助学生正确认识自己，找到努力的目标和方向，同时也可以帮助教师从学生的“错误”中分析，了解他们的学习状况，发现思维障碍在哪里，哪些是有价值的思考，哪些是共性的问题，哪些是个别的问题，以便对症下药，有针对性地選择有效的教育教学策略和方法，进而改进和完善自己的教学。
教师要为学生营造一个心理安全的学习环境，表现出能够尊重，愿意接纳学生成熟或不成熟的想法、做法，欣赏他们主动表达自己思考的行为和勇气，让他们敢于在课堂上暴露自己的真实想法和思考。教师要让学生明白，学习就是在不断出错、纠错中进行的，失败乃成功之母。错误作为一种客观存在并不可怕，怕的是我们失去面对错误的勇气，失去尝试、探索的机会。要让学生把“错误”当做自己学习经历的一次宝贵经验，并敢于质疑问难，不怕错误。学生只有真正明白自己的问题，改正错误，才能真正把学习的知识和能力内化为个人的发展。
教学中，教师不能怕学生出错而忽视或回避不同的声音，降低问题的思维含量而使教学“顺利”地进行。教师要给学生表达不同意见的机会，正是在不同意见的碰撞中才会凸显问题的内在价值，使学生的思维能力在激辩和交锋中得以内化和提升，这种思维碰撞产生出的错误同样闪烁着智慧的火花，恰当选择、灵活处理，就会使之成为宝贵的教学资源。
在上面这个教学片断中，面对学生的“错误”，老师并没有着急告诉学生“你错了，应该怎么做，不应该怎么做”，没有急着帮学生纠正，而是仔细地聆听了学生的辩论。因为用平行四边形两条相邻底边的长度相乘的方法求面积，是学生的真实想法，是一种合情推理。如果教师粗暴地打断学生——多说无用，因为它是错误的，那么学生天然的好奇心、求知欲以及大胆尝试的探索意识会不会就此也被打断了呢？
其实，课堂上不只是学生会犯错，老师也会偶尔“马失前蹄”，这就要求教师敢于直面自己的错误，勇敢地把错误当做师生共同研究的“靶子”，转化为新的教学资源。英国心理学家贝恩布里说：“差错人皆有之，作为教师，对学生的错误不加以利用是不可原谅的。”同样，作为教师，如果不能正确认识自己的错误，也是不可原谅的。
二、捕捉“错误”，“将错就错”的引导和化解
学生在知识建构的过程中，总会有一些认识上的偏差，对于学生的错误，教师大可不必藏着、捂着，而是要站在教学价值的角度上重新审视，挖掘其内在的“闪光点”，灵活地运用于教学当中，最大限度发挥学生错误的价值，为学生创设新的学习机会，为学生的成长和发展提供新的教育契机，给课堂注入新的生命力。
教师要善待学生的错误，让学生充分展示自己的思维过程，探求产生错误的内在原因，才能有针对性地展开教学。同时，教师也要独具慧眼，及时捕捉稍纵即逝的错误并因势利导，巧妙运用于教学活动中，抓住这种教育契机，让错误变成宝贵的教学资源，让其发挥应有的价值，折射出灿烂的光芒。
课堂上学生的错误常常来得很突然，教师能因势利导地利用学生的错误是教学智慧的体现，处理得好，能让学生的思维活跃起来。比如上面的案例中，学生虽然出现了“用相邻两条底边的乘积求平行四边形的面积”的错误猜想，但这种结论是从长方形的面积计算方法中类推出来的，同样也闪烁着思维的火花。可喜的是这位老师面对虽是错误却如此真实的想法，而“将错就错”，当成了一种难得的生成性资源加以开发并利用，因势利导，为学生提供了一个“研究争辩”的空间，让学生在思维的碰撞中发现错误，带领学生进入柳暗花明的境地，领悟了方法，理解了知识，引发更多新意。课堂也因为有了这样的“错误”更加体现出它的价值，焕发出生命的活力和精彩。
学生在学习过程中出现的错误以及教师的失误，都是一种重要的教育教学资源，宽容“错误”，善待“错误”，一方面可以点燃学生主动探究的学习热情，帮助学生架起通往知识殿堂的桥梁；另一方面可以让师生关系得到改善，教学质量得以提高，也使教师从错误中反思并提升自身的教学艺术水平。没有问题的课堂才是最有问题的课堂。正因为有了错误，师生才能张扬个性；因为有了错误，课堂才显得生机勃勃，充满智慧。
但我们也应该注意到，当我们利用学生的“错误资源”进行教学时，一定要考虑到学生的感受，不能给他们带来自尊和自信的心理压力。同时，面对课堂中的“错误资源”，我们要学会判断，学会取舍，挖掘有益的“错误资源”来优化课堂，不能让“错误”拖累课堂，要让课堂因“错误”而更精彩！
有人问圣人：“世间什么最贵？”圣人回答：“错误。”又问：“何物最便宜？”圣人仍答：“错误”。道理再浅显不过：会分析错误的原因，会吸取教训，错误是无价之宝；不分析错误原因，不吸取教训，错误一文不值。所以，当我们再次面对课堂上的错误时，就再多一些欣赏，多一些接纳，多一些甄别吧！
（作者单位：安徽亳州谯城区青云中心小学）