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三角函数和平面向量这两部分内容不仅互相渗透，它们也和其它数学分支进行融合，成为解决数学问题的工具，因此历年来它们都是高考的的重点内容.
一、三角函数
三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点.近几年来高考从三角函数的图象、周期性、奇偶性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角知识.在难度方面来说，它的大题在高考试卷中的位置一般在前面的第一或第二道，属容易题，从得分策略来说，这是不应失分的兵家必争之地.
1.1考题分析
江苏高考关于三角函数的命题有如下几个特点：
【考察的题型与分值】 三角函数的试题一般是一到两个小题和一个解答题，属常规题型，三角函数解答题，大都处在解答题第一题位置，三角部分的分值平均在24分左右.
【考察的难易程度】 三角函数解答题一般都为基础题、中档题，试题难度不大，且易出现课本中习题与例题的变式与组合.
【考察的热点】 其一是三角函数的图象和性质；其二是通过三角恒等变换进行化简求值；其三是利用正弦定理、余弦定理解决有关度量问题.
1.2复习策略
策略一、明确考点要求及其注意点
1.在已知一个角的某个三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值，在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取.
例1 已知α∈（0，π），sinα+cosα=713求tanα的值.
解：据已知sinα+cosα=713（1），有2sinαcosα=-120169<0，又由于α∈（0，π），故有sinα>0，cosα<0，从而sinα-cosα>0，即sinα-cosα=1-2sinαcosα=1713（2），联立（1）（2）可得sinα=1213，cosα=-513，可得tanα=-125.
2.要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等，对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性，常见的有：
①y=asinx+bcosx型可化为y=a2+b2sin（x+φ）；
②y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型可通过降次整理化为y=Asin2x+Bcos2x；
③y=asin2x+bcosx+c型可换元转化为二次函数；
④sinxcosx与sinx+cosx（或sinx-cosx）同时存在型可换元转化为二次函数.
3.研究三角函数的单调性要注意
（1）函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间的两个函数值才能由它的单调性来比较大小；
（2）形如y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数的单调区间，基本思路是把ωx+φ看成一个整体，由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ（k∈Z）求得函数的增区间，由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ（k∈Z）求得函数的减区间；形如y=Asin（-ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数，可先利用诱导公式把x的系数化为正数，得到y=-Asin（ωx-φ），再求单调区间.
例2 函数y=sin（-2x+π3）的递减区间是______________.
解：y=sin（-2x+π3）=-sin（2x-π3），求y=-sin（2x-π3）的单调减区间，也就是求
y=sin（2x-π3）的单调增区间，由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2，得kπ-π12≤x≤kπ+5π12（k∈Z）.故所求递减区间为[kπ-π12，kπ+5π12]（k∈Z）.
4.关于三角函数的对称性和周期性问题，其解题关键是：函数y=Asin（ωx+φ）与y=Acos（ωx+φ）的对称轴和最值对应，对称点和零点对应.
例3 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π8对称，那么a等于______________.
解：（法一）函数的解析式可化为y=a2+1sin（2x+φ），故|y|的最大值为a2+1，依题意，直线x=-π8是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即|sin（-π4）+acos（-π4）|=a2+1，解得a=-1.
（法二）若函数关于直线x=-π8是函数的对称则必有f（0）=f（-π4），代入即得a=-1.
5.要能熟练进行图象间的变换.
例4 要得到函数y=sin（2x-π3）的图象，只需将函数y=sin12x的图象如何变化？
解：由y=sin12x变形为y=sin（2x-π3）常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将y=sin12x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14倍得到函数y=sin2x的图象，再将函数y=sin2x的图象纵坐标不变，横坐标向右平移π6单位，即得y=sin（2x-π3）的图像；或者先进行相位变换，即将y=sin12x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移2π3个单位，得到函数y=sin12（x-2π3）=sin（12x-π3）的图象，再将其横坐标变为原来的14倍即得函数y=sin（2x-π3）的图象.
6.熟悉公式的记忆和运用.
（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；
（2）两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；
（3）倍角公式以及变形，体会降幂的意图；
【提醒】 一些常见的变形技巧：（1）化切为弦；（2）遇公因式提取公因式；（3）凑角（不要盲目用一些公式展开，关键是看已知角和所求角有没有特殊关系，比如相差180°，90°等） 7.关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法.
例5 在△ABC中，B=30°，AB=23，AC=2，求△ABC的面积.
解：根据正弦定理知：ABsinC=ACsinB即23sinC=2sin30°得sinC=32，由于ABsin30° 策略二、重视分析能力的培养与提升
我们学生普遍存在以下两个现象：一是模仿解题，缺少自己决定解题策略的习惯；二是喜欢看解题过程，不愿动笔，长此以往，“宰熟没问题，杀生缺办法”，即遇到熟悉的问题尚能应付，碰到新颖、陌生的题目便束手无策.
以2012年江苏高考第11题为例，题目是：设α为锐角，若cos（α+π6）=45，则sin（2α+π12）的值为______________.很多考生根据经验，觉得应该用二倍角公式，但2α+π12又不是α+π6的两倍，已有的经验用不上了，一筹莫展，只能“放弃投降”了.
解题活动长话短说，就是九个字：“有什么？做什么？怎么做？”，对于本题，“做什么？”十分清楚，那有什么呢？①α为锐角；②cos（α+π6）=45，由此我们还能知道什么呢？由cos（α+π6）=45能解出sinα，cosα；由cos（α+π6）=45也可解出sin（α+π6）=35.到底怎么求sin（2α+π12）呢？方法一：求出sin2α，cos2α，再计算sin（2α+π12）；方法二：寻找2α+π12与α+π6的关系，2α+π12虽然不是α+π6的两倍，但它们不是一点关系也没有，比如按下面线路：α+π6×22α+π3-π/42α+π12就能方便地求出结果.另外我们还可用换元法进行一般性处理：令α+π6=β，则α=β-π6，则2α+π12=2β-π4.
由此可见，学会分析、思考，才能以不变应万变，才能在高考中立于不败之地.
二、平面向量
平面向量的核心思想是数形结合，把几何意义用简洁的向量形式表示出来，用向量的运算去进行几何性质的推断；反过来，要会从向量的形式去解读出几何意义.江苏高考的重点在于有关向量的概念和运算的考查，注重向量的代数运算和几何运算的选取，适当地与平面几何和解析几何的知识相结合，解决一些简单的几何问题.
2.1复习建议
1.透彻理解向量的概念.向量概念的两大要素“方向和长度”，使向量既有“形”又有“数”的特征，既联系几何又联系代数，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合的重要载体，要抱着这样的观点去复习向量知识，解决向量问题.
例6 已知向量OB=（2，0），OC=（0，2），CA=（3cosA，3sinA），则OA与OB夹角的范围是______________.
【解析】 如图，点A的轨迹为以点C为圆心，3为半径的圆，过圆点作圆的两条切
线OA1， OA2 ， ∠COA1=60°，则此两条切线的倾斜角分别为30°， 150°，故答案为 [π6，5π6].
2.向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系，要辨别清楚；向量的数量积运算是采取几何运算公式还是坐标运算公式，要甄别清楚，两个公式同时运用，又可构造出一个等式；要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模和两点间的距离.
例7 （1）设向量a=（cos71°，sin71°），b=（cos20°，sin20°），试分别运用平面向量的数量积
公式a·b=|a||b|cosθ和a·b=x1x2+y1y2写出a·b=0的两种形式的结果以及你得到的一个等式；
（2）利用（1）的想法，试借助单位圆和平面向量知识证明两角差的余弦公式：
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.（取0<β<α<π）
解：（1）因为a=（cos71°，sin71°），b=（cos20°，sin20°），
所以a·b=|a||b|cosθ=1×1×cos（71°-20°）=cos（71°-20°）；
a·b=x1x2+y1y2=cos71°cos20°+sin71°sin20°.
于是cos（71°-20°）=cos71°cos20°+sin71°sin20°.
（2）在直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边分别作角α，β，
其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），
则∠P1OP2=α-β.
设向量a=OP1=（cosα，sinα），b=OP2=（cosβ，sinβ），
则a·b=|a||b|cos（α-β）=cos（α-β），
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.
3.熟练掌握解决向量问题的三大“利器”：坐标系、平面向量基本定理、数量积公式.2012年江苏高考的第9题就很好地诠释了这个观点.题目是这样的：如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF=2，则AE·BF的值是______________.
【分析】 根据要求：求AE·BF，故而直接用数量积公式处理.
解：由AB·AF=2，得AB·AF=|AB||AF|cos∠FAB=2，
所以DF=|AF|cos∠FAB=1，所以CF=2-1，
记AE和BF之间的夹角为θ，∠AEB=α，∠FBC=β，则θ=α+β
所以AE·BF=|AE||BF|cos（α+β）=3×7-32×cos（α+β）
=3×7-32×（cosαcosβ-sinαsinβ）
=3×7-32×（13×27-32-23×2-17-32）=2.
4.要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量来，使得平面向量的几何推导成为可能.如：
例8 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的 心.
【解析】 因为AB|AB|、AC|AC|分别为AB、AC方向上的单位向量，所以AB|AB|+AC|AC|为∠BAC的角平分线方向上的向量，故答案为内心.
三角函数和平面向量作为高中数学的两个重要分支，虽然内容繁杂，但只要我们用心复习，把基础知识和基本技能练扎实，学会独立思考、分析、总结，2013年高考一定会马到成功.
（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）
一、三角函数
三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点.近几年来高考从三角函数的图象、周期性、奇偶性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角知识.在难度方面来说，它的大题在高考试卷中的位置一般在前面的第一或第二道，属容易题，从得分策略来说，这是不应失分的兵家必争之地.
1.1考题分析
江苏高考关于三角函数的命题有如下几个特点：
【考察的题型与分值】 三角函数的试题一般是一到两个小题和一个解答题，属常规题型，三角函数解答题，大都处在解答题第一题位置，三角部分的分值平均在24分左右.
【考察的难易程度】 三角函数解答题一般都为基础题、中档题，试题难度不大，且易出现课本中习题与例题的变式与组合.
【考察的热点】 其一是三角函数的图象和性质；其二是通过三角恒等变换进行化简求值；其三是利用正弦定理、余弦定理解决有关度量问题.
1.2复习策略
策略一、明确考点要求及其注意点
1.在已知一个角的某个三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值，在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取.
例1 已知α∈（0，π），sinα+cosα=713求tanα的值.
解：据已知sinα+cosα=713（1），有2sinαcosα=-120169<0，又由于α∈（0，π），故有sinα>0，cosα<0，从而sinα-cosα>0，即sinα-cosα=1-2sinαcosα=1713（2），联立（1）（2）可得sinα=1213，cosα=-513，可得tanα=-125.
2.要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等，对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性，常见的有：
①y=asinx+bcosx型可化为y=a2+b2sin（x+φ）；
②y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型可通过降次整理化为y=Asin2x+Bcos2x；
③y=asin2x+bcosx+c型可换元转化为二次函数；
④sinxcosx与sinx+cosx（或sinx-cosx）同时存在型可换元转化为二次函数.
3.研究三角函数的单调性要注意
（1）函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间的两个函数值才能由它的单调性来比较大小；
（2）形如y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数的单调区间，基本思路是把ωx+φ看成一个整体，由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ（k∈Z）求得函数的增区间，由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ（k∈Z）求得函数的减区间；形如y=Asin（-ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数，可先利用诱导公式把x的系数化为正数，得到y=-Asin（ωx-φ），再求单调区间.
例2 函数y=sin（-2x+π3）的递减区间是______________.
解：y=sin（-2x+π3）=-sin（2x-π3），求y=-sin（2x-π3）的单调减区间，也就是求
y=sin（2x-π3）的单调增区间，由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2，得kπ-π12≤x≤kπ+5π12（k∈Z）.故所求递减区间为[kπ-π12，kπ+5π12]（k∈Z）.
4.关于三角函数的对称性和周期性问题，其解题关键是：函数y=Asin（ωx+φ）与y=Acos（ωx+φ）的对称轴和最值对应，对称点和零点对应.
例3 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π8对称，那么a等于______________.
解：（法一）函数的解析式可化为y=a2+1sin（2x+φ），故|y|的最大值为a2+1，依题意，直线x=-π8是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即|sin（-π4）+acos（-π4）|=a2+1，解得a=-1.
（法二）若函数关于直线x=-π8是函数的对称则必有f（0）=f（-π4），代入即得a=-1.
5.要能熟练进行图象间的变换.
例4 要得到函数y=sin（2x-π3）的图象，只需将函数y=sin12x的图象如何变化？
解：由y=sin12x变形为y=sin（2x-π3）常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将y=sin12x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14倍得到函数y=sin2x的图象，再将函数y=sin2x的图象纵坐标不变，横坐标向右平移π6单位，即得y=sin（2x-π3）的图像；或者先进行相位变换，即将y=sin12x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移2π3个单位，得到函数y=sin12（x-2π3）=sin（12x-π3）的图象，再将其横坐标变为原来的14倍即得函数y=sin（2x-π3）的图象.
6.熟悉公式的记忆和运用.
（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；
（2）两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；
（3）倍角公式以及变形，体会降幂的意图；
【提醒】 一些常见的变形技巧：（1）化切为弦；（2）遇公因式提取公因式；（3）凑角（不要盲目用一些公式展开，关键是看已知角和所求角有没有特殊关系，比如相差180°，90°等） 7.关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法.
例5 在△ABC中，B=30°，AB=23，AC=2，求△ABC的面积.
解：根据正弦定理知：ABsinC=ACsinB即23sinC=2sin30°得sinC=32，由于ABsin30°
我们学生普遍存在以下两个现象：一是模仿解题，缺少自己决定解题策略的习惯；二是喜欢看解题过程，不愿动笔，长此以往，“宰熟没问题，杀生缺办法”，即遇到熟悉的问题尚能应付，碰到新颖、陌生的题目便束手无策.
以2012年江苏高考第11题为例，题目是：设α为锐角，若cos（α+π6）=45，则sin（2α+π12）的值为______________.很多考生根据经验，觉得应该用二倍角公式，但2α+π12又不是α+π6的两倍，已有的经验用不上了，一筹莫展，只能“放弃投降”了.
解题活动长话短说，就是九个字：“有什么？做什么？怎么做？”，对于本题，“做什么？”十分清楚，那有什么呢？①α为锐角；②cos（α+π6）=45，由此我们还能知道什么呢？由cos（α+π6）=45能解出sinα，cosα；由cos（α+π6）=45也可解出sin（α+π6）=35.到底怎么求sin（2α+π12）呢？方法一：求出sin2α，cos2α，再计算sin（2α+π12）；方法二：寻找2α+π12与α+π6的关系，2α+π12虽然不是α+π6的两倍，但它们不是一点关系也没有，比如按下面线路：α+π6×22α+π3-π/42α+π12就能方便地求出结果.另外我们还可用换元法进行一般性处理：令α+π6=β，则α=β-π6，则2α+π12=2β-π4.
由此可见，学会分析、思考，才能以不变应万变，才能在高考中立于不败之地.
二、平面向量
平面向量的核心思想是数形结合，把几何意义用简洁的向量形式表示出来，用向量的运算去进行几何性质的推断；反过来，要会从向量的形式去解读出几何意义.江苏高考的重点在于有关向量的概念和运算的考查，注重向量的代数运算和几何运算的选取，适当地与平面几何和解析几何的知识相结合，解决一些简单的几何问题.
2.1复习建议
1.透彻理解向量的概念.向量概念的两大要素“方向和长度”，使向量既有“形”又有“数”的特征，既联系几何又联系代数，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合的重要载体，要抱着这样的观点去复习向量知识，解决向量问题.
例6 已知向量OB=（2，0），OC=（0，2），CA=（3cosA，3sinA），则OA与OB夹角的范围是______________.
【解析】 如图，点A的轨迹为以点C为圆心，3为半径的圆，过圆点作圆的两条切
线OA1， OA2 ， ∠COA1=60°，则此两条切线的倾斜角分别为30°， 150°，故答案为 [π6，5π6].
2.向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系，要辨别清楚；向量的数量积运算是采取几何运算公式还是坐标运算公式，要甄别清楚，两个公式同时运用，又可构造出一个等式；要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模和两点间的距离.
例7 （1）设向量a=（cos71°，sin71°），b=（cos20°，sin20°），试分别运用平面向量的数量积
公式a·b=|a||b|cosθ和a·b=x1x2+y1y2写出a·b=0的两种形式的结果以及你得到的一个等式；
（2）利用（1）的想法，试借助单位圆和平面向量知识证明两角差的余弦公式：
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.（取0<β<α<π）
解：（1）因为a=（cos71°，sin71°），b=（cos20°，sin20°），
所以a·b=|a||b|cosθ=1×1×cos（71°-20°）=cos（71°-20°）；
a·b=x1x2+y1y2=cos71°cos20°+sin71°sin20°.
于是cos（71°-20°）=cos71°cos20°+sin71°sin20°.
（2）在直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边分别作角α，β，
其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），
则∠P1OP2=α-β.
设向量a=OP1=（cosα，sinα），b=OP2=（cosβ，sinβ），
则a·b=|a||b|cos（α-β）=cos（α-β），
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.
3.熟练掌握解决向量问题的三大“利器”：坐标系、平面向量基本定理、数量积公式.2012年江苏高考的第9题就很好地诠释了这个观点.题目是这样的：如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF=2，则AE·BF的值是______________.
【分析】 根据要求：求AE·BF，故而直接用数量积公式处理.
解：由AB·AF=2，得AB·AF=|AB||AF|cos∠FAB=2，
所以DF=|AF|cos∠FAB=1，所以CF=2-1，
记AE和BF之间的夹角为θ，∠AEB=α，∠FBC=β，则θ=α+β
所以AE·BF=|AE||BF|cos（α+β）=3×7-32×cos（α+β）
=3×7-32×（cosαcosβ-sinαsinβ）
=3×7-32×（13×27-32-23×2-17-32）=2.
4.要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量来，使得平面向量的几何推导成为可能.如：
例8 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的 心.
【解析】 因为AB|AB|、AC|AC|分别为AB、AC方向上的单位向量，所以AB|AB|+AC|AC|为∠BAC的角平分线方向上的向量，故答案为内心.
三角函数和平面向量作为高中数学的两个重要分支，虽然内容繁杂，但只要我们用心复习，把基础知识和基本技能练扎实，学会独立思考、分析、总结，2013年高考一定会马到成功.
（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）