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[摘 要]比较是学习的一种常用手段，也是教师的常用教学手段。以“两位数加一位数进位加法”的教学为例，通过引导学生辨别相关知识的异同，培养学生自发比较知识间的区别和联系的意识和能力，发展学生的数学思维。
[关键词]比较 ；加法； 本质； 思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）11-0020-02
乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”比较，简单地说就是辨别异同。两位数加一位数进位加法是在学生已经掌握了口算两位数加整十数、两位数加一位数不进位加的基础上教学的，教学难点是帮助学生理解满十进一的算理以及掌握相应的计算方法。与不进位的加法相比，两位数加一位数进位加法明显要复杂一些，学生容易出现各种计算错误。在实际教学中，笔者通过多次比较，既使学生深切体会到了新旧知识之间的联系，又突出了“满十进一”的进位原理，发展了学生的数学思维。
【教学片段一】
师（出示改编后的情境图：喜羊羊说：“我得了24颗智慧星。”美羊羊说：“我得了9颗智慧星。”懒羊羊说：“我得了5颗智慧星。”引导学生提出用加法解决的问题并板书两个算式：24 5；24 9）：谁来说说怎样算24 5？
生1：把24分成20和4，先算4加5等于9，再算20加9等于29。
师：我们用小棒来验证。（教师出示小棒图验证生1的算法）
师：对于24 9，应该怎样摆小棒？谁能根据小棒图想一想怎么算呢？（学生操作、讨论后汇报）
生2：把4根和9根合起来是13根，20根加上13根是33根。
生3：4根加9根是13根，够10根就可以捆成一捆，得到1捆3根，再和2捆合起来，就得到33根。
师：生3说得真好。单根的小棒合起来满十根就可以捆成一捆，13根是1捆和3根，再和2捆合起来是33根。
师： 根据刚才摆小棒的过程，谁来说说怎么算24 9？（由于黑板上有小棒图和不进位加法的计算过程，所以学生就能快速模仿）
生4：把24分成20和4，先算4加9等于13 ，再算13加20等于33。
师：我们在算24 5和24 9时，有什么相同和不同之处？
生5：计算这两道题时，都要先算一位数加一位数，然后再和20合起来。
生6：计算24加5时，先算4加5等于9，没有满十；计算24加9时，先算的4加9已经满十了。
生7：24加5得二十几，24加9已经得三十几了。
師：你知道为什么24加9结果会是三十几吗？
生8：因为个位上4加9已经满十了，所以十位上就多了1，变成三十几了。
思考：新旧知识比较，突出“质”的不同
研究教材后不难发现，教材编排了两道算式，其中24 6的和是整十数，24 9的和是非整十数。先教学和是整十数的情况，旨在突出进位的原理。从实际教学来看，虽然学生明确了进位的原理，但是由于采用了单一的教学模式，学生不能轻松地进行算法的迁移，而且从和是整十数的特殊情况到和是非整十数的一般情况也有一定的跨度，加上两道例题的教学容量较大，学生的练习时间就被缩短了。基于以上原因，笔者打破了常规的教学惯例，大胆地改编了教学例题，将24 6改成24 5，把不进位加法和进位加法的一般情况放在一起讲解。通过对比新旧知识之间的联系，一方面有利于学生进行算法的迁移；另一方面，通过直观的小棒图，学生也不难发现，不进位加法“个位相加没有满十”，而进位加法“个位相加已经满了一个十，所以十位上就多一”这一本质的不同。而和是整十数的进位加法只是进位加法的特殊情况，而且比一般情况简单一些，笔者只是在后面的练习中加以安排。
【教学片段二】
师：有了小棒图你们就会算，没有小棒图了还会算吗？试着算一算26 8。（教师引导学生完整表述计算过程）
师：下面请独立完成以下三题。17 8，36 4，25 7。
师：比较这三道题目在计算时有什么相同之处。
生1：它们都是把两位数分成了整十数和一位数，先算个位上的几加几，再和前面的整十数合起来。
师： 17的十位是1，得数的十位却是2； 36的十位是3，得数的十位却是4； 45的十位是4，得数的十位却是5。怎么十位上都多了一呢？
生2：因为它们的个位相加都已经满十了，所以十位上就多了一。
师（揭题）：像这样，个位上相加满十，十位上多一的加法，就叫进位加。今天我们学习的就是两位数加一位数的进位加。
思考：异中求同，深入理解算理
如果说第一次的对比侧重于“求异”，那么第二次的对比则侧重于“求同”。学生通过例题的学习，已经认识到进位加法与以前学习的不进位加法的本质不同，再通过练习几道题目，就基本掌握了算理和算法，但是要达到深刻理解算理，似乎还差一些。这时，教师适时抛出问题“比较这三道题目在计算时有什么相同之处”，引导学生自主总结两位数加一位数进位加的计算方法。对于算法上的相同，学生很容易就能发现，但由于一年级学生的抽象概括能力有限，对于计算过程中“个位相加都满十，所以都多了一个十”这一现象，学生较难提炼。对此，笔者又进一步引导学生关注得数的十位和原来两位数的十位的不同，进一步强化“满十进一”的原理，这样就使学生加深了对进位加法算理的理解。
【教学片段三】
师：喜羊羊给我们带来几组算式，请你估一估得数是几十多？42 6得（ ）十多；42 9得（ ）十多
生1：42加6是四十多，42加9是五十多。
师：都用42去加，为什么第一个算式的得数是四十多，第二个算式的得数却是五十多呢？ 生2：因为第一个算式的个位上2加6是8，没有满十，是四十多；第二个算式的个位上2加9是11，已经满十了，所以是五十多。
生3：只需要看它们的个位。2加9已经满十了，所以就多了一个十，变成五十多了。
（教师再出示算式“25 4得（ ）十多；25 8得（ ）十多”，让学生回答并說说理由）
师：在什么情况下，得数十位不变？在什么情况下，得数十位多一？
生4：个位相加不满十，得数的十位不变；个位相加如果满十了，得数的十位就会多一。
思考：估算对比，打破惯有思维模式
学习了不进位加法的口算后，学生经过大量的练习，已经会 “优化”算法了。例如，计算42 6时，大部分学生会先算个位上的2 6=8，由于不进位加，十位上数字不变，所以 “照抄”十位上的数字，很快写出得数48。而进位加明显比不进位加的计算过程复杂，如果十位上还是“照抄”就不对了。为了打破这种思维模式，最行之有效的办法就是引入估算，使学生切实体会到有时并不能“照抄”。但如果单一进行进位加法的估算，学生的体会不会深刻，所以笔者安排了进位加和不进位加的估算对比，这样不仅有利于学生在对比中区分进位加法和不进位加法，防止计算上的混淆，而且通过对比能使学生深刻感受到十位的变化，打破惯有的思维模式，为提高计算的准确度和速度做好准备。
【教学片段四】
师（出示改编后的题组：6 9，26 9，46 9，76 9） ：美羊羊给我们带来的算式可难了，你能做对吗？
生： 6 9=15，26 9=35，46 9=55，76 9=85。
师：比较这些算式，它们有什么规律？
生1：它们加的都是9。
生2：前面的两位数的个位上都是6，得数的个位上都是5。
师：为什么得数的个位上都是5？
生3：因为它们都要先算6加9等于15 ，15的个位上就是5。
师：还有什么发现？
生4：得数的十位都比原来的多了一个十。
师（小结）：它们都是先算6 9=15，所以得数的个位都是5；6 9=15，已经满了10，所以得数的十位都多了一。按照这个规律，如果告诉你9 4=13，你能很快完成下面的题目吗？
9 4=13 7 3=10
39 4= 7 43=
59 4= 7 73=
89 4= 7 83=
思考：题组类比，提升计算技能
如果估算突出了得数的十位的变化，那么题组的对比则关注了学生是否对计算方法能够整体把握。实际教学中，笔者还是遵循从一般到特殊的原则，先出示6 9，26 9，76 9，让学生独立计算后交流，引导学生同时关注得数的个位和十位的变化。“个位为什么都是5？”“因为9 6=15，15的个位就是5。”“十位为什么都比原来多一？”“因为9 6已经满十了。”学生在交流中发现，原来算对了20以内的进位加就能很快知道得数是几，从而体会到20以内进位加和两位数加一位数进位加的联系。对于第二组算式“如果告诉你9 4=13，你能很快完成下面的题目吗？”学生自然会想到得数的个位和13的个位相同，十位上多一，就能很快说出得数了。这样的改编，能够深度挖掘题组的价值，使学生逐步提升计算的技能。
在实际教学中，每一次比较的内容都是笔者精心设计的。通过比较，学生很快就能进入新知的探索中，节省了教学时间，加快了教学进度；通过比较，创造了生动活泼的教学氛围，学生能多角度思考问题；通过比较，培养了学生整合知识和透过事物表象找出本质异同的分析能力；通过比较，学生能深刻理解新知，掌握计算技能，从而提高计算能力。
（责编 金 铃）
[关键词]比较 ；加法； 本质； 思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）11-0020-02
乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”比较，简单地说就是辨别异同。两位数加一位数进位加法是在学生已经掌握了口算两位数加整十数、两位数加一位数不进位加的基础上教学的，教学难点是帮助学生理解满十进一的算理以及掌握相应的计算方法。与不进位的加法相比，两位数加一位数进位加法明显要复杂一些，学生容易出现各种计算错误。在实际教学中，笔者通过多次比较，既使学生深切体会到了新旧知识之间的联系，又突出了“满十进一”的进位原理，发展了学生的数学思维。
【教学片段一】
师（出示改编后的情境图：喜羊羊说：“我得了24颗智慧星。”美羊羊说：“我得了9颗智慧星。”懒羊羊说：“我得了5颗智慧星。”引导学生提出用加法解决的问题并板书两个算式：24 5；24 9）：谁来说说怎样算24 5？
生1：把24分成20和4，先算4加5等于9，再算20加9等于29。
师：我们用小棒来验证。（教师出示小棒图验证生1的算法）
师：对于24 9，应该怎样摆小棒？谁能根据小棒图想一想怎么算呢？（学生操作、讨论后汇报）
生2：把4根和9根合起来是13根，20根加上13根是33根。
生3：4根加9根是13根，够10根就可以捆成一捆，得到1捆3根，再和2捆合起来，就得到33根。
师：生3说得真好。单根的小棒合起来满十根就可以捆成一捆，13根是1捆和3根，再和2捆合起来是33根。
师： 根据刚才摆小棒的过程，谁来说说怎么算24 9？（由于黑板上有小棒图和不进位加法的计算过程，所以学生就能快速模仿）
生4：把24分成20和4，先算4加9等于13 ，再算13加20等于33。
师：我们在算24 5和24 9时，有什么相同和不同之处？
生5：计算这两道题时，都要先算一位数加一位数，然后再和20合起来。
生6：计算24加5时，先算4加5等于9，没有满十；计算24加9时，先算的4加9已经满十了。
生7：24加5得二十几，24加9已经得三十几了。
師：你知道为什么24加9结果会是三十几吗？
生8：因为个位上4加9已经满十了，所以十位上就多了1，变成三十几了。
思考：新旧知识比较，突出“质”的不同
研究教材后不难发现，教材编排了两道算式，其中24 6的和是整十数，24 9的和是非整十数。先教学和是整十数的情况，旨在突出进位的原理。从实际教学来看，虽然学生明确了进位的原理，但是由于采用了单一的教学模式，学生不能轻松地进行算法的迁移，而且从和是整十数的特殊情况到和是非整十数的一般情况也有一定的跨度，加上两道例题的教学容量较大，学生的练习时间就被缩短了。基于以上原因，笔者打破了常规的教学惯例，大胆地改编了教学例题，将24 6改成24 5，把不进位加法和进位加法的一般情况放在一起讲解。通过对比新旧知识之间的联系，一方面有利于学生进行算法的迁移；另一方面，通过直观的小棒图，学生也不难发现，不进位加法“个位相加没有满十”，而进位加法“个位相加已经满了一个十，所以十位上就多一”这一本质的不同。而和是整十数的进位加法只是进位加法的特殊情况，而且比一般情况简单一些，笔者只是在后面的练习中加以安排。
【教学片段二】
师：有了小棒图你们就会算，没有小棒图了还会算吗？试着算一算26 8。（教师引导学生完整表述计算过程）
师：下面请独立完成以下三题。17 8，36 4，25 7。
师：比较这三道题目在计算时有什么相同之处。
生1：它们都是把两位数分成了整十数和一位数，先算个位上的几加几，再和前面的整十数合起来。
师： 17的十位是1，得数的十位却是2； 36的十位是3，得数的十位却是4； 45的十位是4，得数的十位却是5。怎么十位上都多了一呢？
生2：因为它们的个位相加都已经满十了，所以十位上就多了一。
师（揭题）：像这样，个位上相加满十，十位上多一的加法，就叫进位加。今天我们学习的就是两位数加一位数的进位加。
思考：异中求同，深入理解算理
如果说第一次的对比侧重于“求异”，那么第二次的对比则侧重于“求同”。学生通过例题的学习，已经认识到进位加法与以前学习的不进位加法的本质不同，再通过练习几道题目，就基本掌握了算理和算法，但是要达到深刻理解算理，似乎还差一些。这时，教师适时抛出问题“比较这三道题目在计算时有什么相同之处”，引导学生自主总结两位数加一位数进位加的计算方法。对于算法上的相同，学生很容易就能发现，但由于一年级学生的抽象概括能力有限，对于计算过程中“个位相加都满十，所以都多了一个十”这一现象，学生较难提炼。对此，笔者又进一步引导学生关注得数的十位和原来两位数的十位的不同，进一步强化“满十进一”的原理，这样就使学生加深了对进位加法算理的理解。
【教学片段三】
师：喜羊羊给我们带来几组算式，请你估一估得数是几十多？42 6得（ ）十多；42 9得（ ）十多
生1：42加6是四十多，42加9是五十多。
师：都用42去加，为什么第一个算式的得数是四十多，第二个算式的得数却是五十多呢？ 生2：因为第一个算式的个位上2加6是8，没有满十，是四十多；第二个算式的个位上2加9是11，已经满十了，所以是五十多。
生3：只需要看它们的个位。2加9已经满十了，所以就多了一个十，变成五十多了。
（教师再出示算式“25 4得（ ）十多；25 8得（ ）十多”，让学生回答并說说理由）
师：在什么情况下，得数十位不变？在什么情况下，得数十位多一？
生4：个位相加不满十，得数的十位不变；个位相加如果满十了，得数的十位就会多一。
思考：估算对比，打破惯有思维模式
学习了不进位加法的口算后，学生经过大量的练习，已经会 “优化”算法了。例如，计算42 6时，大部分学生会先算个位上的2 6=8，由于不进位加，十位上数字不变，所以 “照抄”十位上的数字，很快写出得数48。而进位加明显比不进位加的计算过程复杂，如果十位上还是“照抄”就不对了。为了打破这种思维模式，最行之有效的办法就是引入估算，使学生切实体会到有时并不能“照抄”。但如果单一进行进位加法的估算，学生的体会不会深刻，所以笔者安排了进位加和不进位加的估算对比，这样不仅有利于学生在对比中区分进位加法和不进位加法，防止计算上的混淆，而且通过对比能使学生深刻感受到十位的变化，打破惯有的思维模式，为提高计算的准确度和速度做好准备。
【教学片段四】
师（出示改编后的题组：6 9，26 9，46 9，76 9） ：美羊羊给我们带来的算式可难了，你能做对吗？
生： 6 9=15，26 9=35，46 9=55，76 9=85。
师：比较这些算式，它们有什么规律？
生1：它们加的都是9。
生2：前面的两位数的个位上都是6，得数的个位上都是5。
师：为什么得数的个位上都是5？
生3：因为它们都要先算6加9等于15 ，15的个位上就是5。
师：还有什么发现？
生4：得数的十位都比原来的多了一个十。
师（小结）：它们都是先算6 9=15，所以得数的个位都是5；6 9=15，已经满了10，所以得数的十位都多了一。按照这个规律，如果告诉你9 4=13，你能很快完成下面的题目吗？
9 4=13 7 3=10
39 4= 7 43=
59 4= 7 73=
89 4= 7 83=
思考：题组类比，提升计算技能
如果估算突出了得数的十位的变化，那么题组的对比则关注了学生是否对计算方法能够整体把握。实际教学中，笔者还是遵循从一般到特殊的原则，先出示6 9，26 9，76 9，让学生独立计算后交流，引导学生同时关注得数的个位和十位的变化。“个位为什么都是5？”“因为9 6=15，15的个位就是5。”“十位为什么都比原来多一？”“因为9 6已经满十了。”学生在交流中发现，原来算对了20以内的进位加就能很快知道得数是几，从而体会到20以内进位加和两位数加一位数进位加的联系。对于第二组算式“如果告诉你9 4=13，你能很快完成下面的题目吗？”学生自然会想到得数的个位和13的个位相同，十位上多一，就能很快说出得数了。这样的改编，能够深度挖掘题组的价值，使学生逐步提升计算的技能。
在实际教学中，每一次比较的内容都是笔者精心设计的。通过比较，学生很快就能进入新知的探索中，节省了教学时间，加快了教学进度；通过比较，创造了生动活泼的教学氛围，学生能多角度思考问题；通过比较，培养了学生整合知识和透过事物表象找出本质异同的分析能力；通过比较，学生能深刻理解新知，掌握计算技能，从而提高计算能力。
（责编 金 铃）