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[摘 要]对人教版和青岛版教材中“用正方形作为面积单位的合理性”之编写思路与意图进行了研究，合理性的依据均为“正方形能恰（正）好铺满所测图形”。分析与论证此依据的不科学性——只是对图形的大小与形状进行选择性取舍的一种巧合现象，且犯了以偏概全的错误，从而提出让学生感悟用正方形作为面积单位的合理性之编写建议。
[关键词]面积;面积单位;正方形;合理性
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）05-0001-03
课程改革以来，数学教材的编写呈现了百花争艳的喜人景象。可以说，教材编写有了较大的进步，尤其注重情境创设和操作活动的设计，以及数学知识形成和发展过程的展现。这不但对于学生学习数学，理解数学知识，提高学习兴趣，培养创新能力具有重要意义，也充分体现了课程改革的理念，有利于教育目标的达成。然而，仔细研读教材后发现，教材中绝大部分数学内容的编写意图都可以贯彻落实，但有一些数学内容编写存在着科学性错误与落实困难等问题。今以各版本三年级教材中“长方形与正方形的面积”这一单元为例，做一专题性的研究，以期对教材编写和教师教学有所帮助。本文先对“用正方形作为面积单位的合理性”编写依据的科学性进行探讨。
综观国内现行各版本教材关于该单元的编写，只有人教版和青岛版三年级下册数学教材（下面简称人教版教材、青岛版教材）对用正方形作为面积单位的合理性之形成过程进行了编写，其他版本教材都是直接用正方形作为面积单位进行测量的。然而，经反复推敲发现，人教版和青岛版教材关于用正方形作为面积单位的合理性之形成过程的编写值得商榷。
一、用正方形作为面积单位的合理性之依据分析
总体上来说，人教版和青岛版教材，关于用正方形作为面积单位的合理性的编写思路相似：先创设用观察和重叠的方法不容易比较两平面图形面积大小的问题情境，制造认知冲突;继而引导学生借助其他图形做标准，通过测量、拼摆等动手操作活动进行间接比较;最后结合拼摆的过程和结果的对比，让学生感悟或发现用正方形作为面积单位的合理性。为便于讨论，下面进行具体分析。
1.人教版教材通过正方形恰好能铺满所测图形认识合理性
为了让学生感悟用正方形作为面积单位的合理性，人教版教材在第62页（如图1-1）的左侧出示圆、正三角形和正方形三种图形，让学生将它们作为测量单位，通过拼摆与测量比较两个长方形面积的大小，并在单位图形的右侧呈现了拼摆结果图，引导学生思考“用哪种图形作为面积单位最合适？为什么？”，使学生认识到用正方形能恰好铺满被测图形，而用圆和正三角形不能铺满被测图形，进而得出“选择正方形作为面积单位最合适”的结论。
可见，教材上并没有说选择正方形作为面积单位的原因，只是呈现拼摆结果后提出了问题。下面将对此进行论证。
首先，教材在左侧给出测量单位图形，而在右侧呈现的拼摆结果图中，人为地将测量单位图形变大了（如图1-1），显然是想凑出正方形能恰好铺满所测图形的结果。按理说，测量单位图形既然已给出，其形状和大小就不应该再发生变化，可若不变大的话，就可能出现用正方形也不能恰好铺满所测图形的结果。当然，这也可能是编写疏忽或印刷错误造成的问题，但接下来的论述否定了此原因。
其次，由教材编者编写的人教版《义务教育教科书数学教师教学用书三年级下册》中，反复说明用正方形作为面积单位的原因是“恰好铺满被测图形”。该书在教材编写特点之“第二，让学生经历确定面积单位的过程”（第142页）中是这样阐述的：“但由于用圆形、正三角形作为面积单位，不能将所测图形全部铺满，因此不能准确测量出一个图形的面积。正方形能铺满所测图形，且四条边一样长，在摆放时不用考虑方向和位置，作为面积单位更合适。”第147页“编写意图”中 “三是怎么量？面积单位要铺满所测量的对象。”第149页“教学建议”中“这里要让学生体会面积单位要密铺所测图形，且拼擺方便，正方形恰好具有这样的特点。”第166页呈现的教学设计案例中，引导学生从以下两方面体会正方形作为面积单位最合适：一是正方形能铺满（密铺）所测图形;二是正方形四条边一样长，在摆放时不受摆放位置和方向的限制。紧接着给出设计意图“在拼摆过程中体验单位的价值和选择面积单位的依据……认识正方形是最合适的面积单位。”从这些论述中可以看出，正方形作为面积单位的依据是其恰好能铺满所测图形。当然，便于拼摆也是原因之一，而“四条边一样长”恐怕难以说明问题，因为正多边形的边都一样长，那怎么不用别的图形？比如菱形 。“在摆放时不用考虑方向和位置”恐怕也难说明问题，就是教材所呈现测量结果图中的那些单位正方形，若将其中的一个或多个绕其一个顶点旋转一个锐角，也不能正好铺满被测图形。
总之，从人教版教材的编写思路与意图来看，正方形作为面积单位的合理性的依据就是其恰好能铺满所测图形。
2.青岛版教材通过正方形正好能铺满所测图形认识合理性
为了让学生体会用正方形作为面积单位的合理性，青岛版教材第51页（如图2）的左侧出示了圆、较大的正方形和较小的正方形三种图形作为面积测量单位，让学生通过摆一摆的办法比较一个正方形和一个长方形面积的大小，并在单位图形的右侧呈现了拼摆结果图，再让学生根据拼摆的结果，思考“测量图形的面积用什么形状的图形更合适呢？”进而引导学生认识到用圆铺满所测图形后还有缝隙，不合适，而用大小两种正方形能正好铺满被测图形，无缝隙，都合适。教材在测量单位图形的右侧呈现的拼摆结果图中，人为地把左侧给出的测量单位图形都变小了（如图2），也足以说明这是为了出现正方形能正好铺满所测图形的设计。
另外，由教材编者编写的青岛版《义务教育教科书数学教师教学用书三年级下册》，在信息窗1的解读及学与教的建议，关于教学红点标示问题的步骤3中（第76页）指出：“在操作过程中，学生能够发现用圆形卡片拼摆是无法把平面图形铺满的，而用正方形能够正好铺满，因此选择正方形比较合适。”这进一步说明了青岛版教材的编写思路与意图：通过正方形能正好铺满所测图形，让学生认识其作为面积单位的合理性。 综上所述，从两个版本教材的编写思路与意图来看，它们都是把正方形恰（正）好能铺满所测图形作为选择面积单位的依据。
二、“恰（正）好能铺满所测图形”作为选择面积单位的依据不科学
首先，作为测量单位的正方形，并不能铺满所有的平面图形。不说用其测量曲边形的面积，或一般的多边形面积，就是最简单的三角形，用正方形也不可能正好摆满。事实上，不存在用一个平面图形可以正好铺满所有平面图形。若以恰（正）好能铺满所测图形作为选择面积单位的依据的话，那根本就找不到一个正好合适的面积单位，也无法度量面积。因此，此依据的提出既牵强附会，又不科学。
其次，退一步来看，如果说是因为正方形作为面积单位能正好铺满所测的平面图形是最多的，因而用正方形作为面积单位，并以此作为选择面积单位的依据，那作为面积单位的图形也得改用其他图形。就拿教材中所给出的图形来说，若沿一条对角线把用作面积单位的正方形分成两个等腰直角三角形，用这个等腰直角三角形去测量教材中的被测图形，显然也正好可以铺满，而且还能正好铺满用正方形也铺不满的更多的图形。比如，人教版教材中第62页“做一做”中的第二个和第三个图形（如图1-2）;青岛版教材中第52页“自主练习”第1题中间的图形，等等。那可否据此不用正方形作为面积单位，而改用等腰直角三角形作为面积单位呢？
最后，教材中之所以能形成“正好铺满”和“铺不满”的结果对比，是对作为测量单位的图形和被测量的图形（包括大小和形状）进行选择性取舍而形成的一种巧合现象，以此作为依据就犯了以偏概全的错误。如果图形的大小变一下，是否也能正好铺满被测图形呢？如果单位图形的形状多样一些，如添上等腰直角三角形作为测量单位，可以正好铺满更多的图形，那还能用正好铺满的标准进行选择吗？教材对图形进行选择性取舍，就是为了让学生拼摆出“正好”“恰好”铺满的结果，进而让学生凭感觉或想当然的理由，按照教材编写的思路去想问题，接受其似是而非的观点。这种感悟或发现活动的设计，歪曲了数学知识的形成过程，不但不能促进学生思维能力的发展，还会束缚学生的思维，影响学生创新能力的培养，甚至打击学生学好数学的信心。
综上所述，把恰（正）好能铺满所测图形作为选择面积单位的依据，理由欠充分，欠科学，牵强附会，影响学生科学认知的形成。
三、正方形作为面积单位合理性认知的编写建议
人教版和青岛版教材编写的意图是好的，但展现正方形作为面积单位的合理性也是必要和重要的。显然，不存在一个平面图形可以正好测量所有平面图形的面积。之所以选择用正方形作为面积单位图形，有一个漫长的发展过程和抽象提炼的过程，是基于人们之间交流的需要而达成的共识，即人为的规定。如，作为测量单位的图形要多样一些，起码应添上直角边等于所选正方形边长的等腰直角三角形，被测图形也应多样（包括形状与大小）一些，应该做到有用单位面积图形正好能够铺满被测图形的情况，也应有用单位面积图形铺不满被测图形的情况。通过比较，首先让学生认识到，虽然正方形或等腰直角三角形能铺满更多的被测图形，但也不能铺满所有的平面图形，即不存在一个平面图形能正好铺满所有被测图形。其次，指出“虽然用等腰直角三角形比用正方形作为面积单位能铺满更多的被测图形，但人们感到正方形图形方正，美观好看，且便于拼摆操作，通过讨论达成共识，就把正方形确定为面积的测量单位了”。给出这样一个合情合理的解释不是更好吗？
值得指出的是，教材力图贯彻课程标准的理念，展现数学知识形成和发展过程的意图是好的。若能做到科学地展现数学知识的形成和发展过程，对学生学习数学的帮助是毋庸置疑的。教材之所以被称为“课本”，就说明它是达成课程标准所规定的教学目标的重要载体，也是教师教学重要的依据材料，是学生第一手的学习材料，故教材还是尽量完善为好。
[ 參 考 文 献 ]
[1] 人民教育出版社，课程教材研究所.义务教育教科书·数学（三年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2014：.
[2] 山东省教学研究室.义务教育教科书·数学（三年级下册）[M]. 2版.青岛：青岛出版社，2015.
[3] 人民教育出版社，课程教材研究所.义务教育教科书数学教师教学用书 （三年级下册）[M].2版.北京：人民教育出版社，2016.
[4] 徐云鸿.义务教育教科书数学教师教学用书（三年级下册）[M].5版.青岛：青岛出版社，2016.
（责编 金 铃）
[关键词]面积;面积单位;正方形;合理性
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）05-0001-03
课程改革以来，数学教材的编写呈现了百花争艳的喜人景象。可以说，教材编写有了较大的进步，尤其注重情境创设和操作活动的设计，以及数学知识形成和发展过程的展现。这不但对于学生学习数学，理解数学知识，提高学习兴趣，培养创新能力具有重要意义，也充分体现了课程改革的理念，有利于教育目标的达成。然而，仔细研读教材后发现，教材中绝大部分数学内容的编写意图都可以贯彻落实，但有一些数学内容编写存在着科学性错误与落实困难等问题。今以各版本三年级教材中“长方形与正方形的面积”这一单元为例，做一专题性的研究，以期对教材编写和教师教学有所帮助。本文先对“用正方形作为面积单位的合理性”编写依据的科学性进行探讨。
综观国内现行各版本教材关于该单元的编写，只有人教版和青岛版三年级下册数学教材（下面简称人教版教材、青岛版教材）对用正方形作为面积单位的合理性之形成过程进行了编写，其他版本教材都是直接用正方形作为面积单位进行测量的。然而，经反复推敲发现，人教版和青岛版教材关于用正方形作为面积单位的合理性之形成过程的编写值得商榷。
一、用正方形作为面积单位的合理性之依据分析
总体上来说，人教版和青岛版教材，关于用正方形作为面积单位的合理性的编写思路相似：先创设用观察和重叠的方法不容易比较两平面图形面积大小的问题情境，制造认知冲突;继而引导学生借助其他图形做标准，通过测量、拼摆等动手操作活动进行间接比较;最后结合拼摆的过程和结果的对比，让学生感悟或发现用正方形作为面积单位的合理性。为便于讨论，下面进行具体分析。
1.人教版教材通过正方形恰好能铺满所测图形认识合理性
为了让学生感悟用正方形作为面积单位的合理性，人教版教材在第62页（如图1-1）的左侧出示圆、正三角形和正方形三种图形，让学生将它们作为测量单位，通过拼摆与测量比较两个长方形面积的大小，并在单位图形的右侧呈现了拼摆结果图，引导学生思考“用哪种图形作为面积单位最合适？为什么？”，使学生认识到用正方形能恰好铺满被测图形，而用圆和正三角形不能铺满被测图形，进而得出“选择正方形作为面积单位最合适”的结论。
可见，教材上并没有说选择正方形作为面积单位的原因，只是呈现拼摆结果后提出了问题。下面将对此进行论证。
首先，教材在左侧给出测量单位图形，而在右侧呈现的拼摆结果图中，人为地将测量单位图形变大了（如图1-1），显然是想凑出正方形能恰好铺满所测图形的结果。按理说，测量单位图形既然已给出，其形状和大小就不应该再发生变化，可若不变大的话，就可能出现用正方形也不能恰好铺满所测图形的结果。当然，这也可能是编写疏忽或印刷错误造成的问题，但接下来的论述否定了此原因。
其次，由教材编者编写的人教版《义务教育教科书数学教师教学用书三年级下册》中，反复说明用正方形作为面积单位的原因是“恰好铺满被测图形”。该书在教材编写特点之“第二，让学生经历确定面积单位的过程”（第142页）中是这样阐述的：“但由于用圆形、正三角形作为面积单位，不能将所测图形全部铺满，因此不能准确测量出一个图形的面积。正方形能铺满所测图形，且四条边一样长，在摆放时不用考虑方向和位置，作为面积单位更合适。”第147页“编写意图”中 “三是怎么量？面积单位要铺满所测量的对象。”第149页“教学建议”中“这里要让学生体会面积单位要密铺所测图形，且拼擺方便，正方形恰好具有这样的特点。”第166页呈现的教学设计案例中，引导学生从以下两方面体会正方形作为面积单位最合适：一是正方形能铺满（密铺）所测图形;二是正方形四条边一样长，在摆放时不受摆放位置和方向的限制。紧接着给出设计意图“在拼摆过程中体验单位的价值和选择面积单位的依据……认识正方形是最合适的面积单位。”从这些论述中可以看出，正方形作为面积单位的依据是其恰好能铺满所测图形。当然，便于拼摆也是原因之一，而“四条边一样长”恐怕难以说明问题，因为正多边形的边都一样长，那怎么不用别的图形？比如菱形 。“在摆放时不用考虑方向和位置”恐怕也难说明问题，就是教材所呈现测量结果图中的那些单位正方形，若将其中的一个或多个绕其一个顶点旋转一个锐角，也不能正好铺满被测图形。
总之，从人教版教材的编写思路与意图来看，正方形作为面积单位的合理性的依据就是其恰好能铺满所测图形。
2.青岛版教材通过正方形正好能铺满所测图形认识合理性
为了让学生体会用正方形作为面积单位的合理性，青岛版教材第51页（如图2）的左侧出示了圆、较大的正方形和较小的正方形三种图形作为面积测量单位，让学生通过摆一摆的办法比较一个正方形和一个长方形面积的大小，并在单位图形的右侧呈现了拼摆结果图，再让学生根据拼摆的结果，思考“测量图形的面积用什么形状的图形更合适呢？”进而引导学生认识到用圆铺满所测图形后还有缝隙，不合适，而用大小两种正方形能正好铺满被测图形，无缝隙，都合适。教材在测量单位图形的右侧呈现的拼摆结果图中，人为地把左侧给出的测量单位图形都变小了（如图2），也足以说明这是为了出现正方形能正好铺满所测图形的设计。
另外，由教材编者编写的青岛版《义务教育教科书数学教师教学用书三年级下册》，在信息窗1的解读及学与教的建议，关于教学红点标示问题的步骤3中（第76页）指出：“在操作过程中，学生能够发现用圆形卡片拼摆是无法把平面图形铺满的，而用正方形能够正好铺满，因此选择正方形比较合适。”这进一步说明了青岛版教材的编写思路与意图：通过正方形能正好铺满所测图形，让学生认识其作为面积单位的合理性。 综上所述，从两个版本教材的编写思路与意图来看，它们都是把正方形恰（正）好能铺满所测图形作为选择面积单位的依据。
二、“恰（正）好能铺满所测图形”作为选择面积单位的依据不科学
首先，作为测量单位的正方形，并不能铺满所有的平面图形。不说用其测量曲边形的面积，或一般的多边形面积，就是最简单的三角形，用正方形也不可能正好摆满。事实上，不存在用一个平面图形可以正好铺满所有平面图形。若以恰（正）好能铺满所测图形作为选择面积单位的依据的话，那根本就找不到一个正好合适的面积单位，也无法度量面积。因此，此依据的提出既牵强附会，又不科学。
其次，退一步来看，如果说是因为正方形作为面积单位能正好铺满所测的平面图形是最多的，因而用正方形作为面积单位，并以此作为选择面积单位的依据，那作为面积单位的图形也得改用其他图形。就拿教材中所给出的图形来说，若沿一条对角线把用作面积单位的正方形分成两个等腰直角三角形，用这个等腰直角三角形去测量教材中的被测图形，显然也正好可以铺满，而且还能正好铺满用正方形也铺不满的更多的图形。比如，人教版教材中第62页“做一做”中的第二个和第三个图形（如图1-2）;青岛版教材中第52页“自主练习”第1题中间的图形，等等。那可否据此不用正方形作为面积单位，而改用等腰直角三角形作为面积单位呢？
最后，教材中之所以能形成“正好铺满”和“铺不满”的结果对比，是对作为测量单位的图形和被测量的图形（包括大小和形状）进行选择性取舍而形成的一种巧合现象，以此作为依据就犯了以偏概全的错误。如果图形的大小变一下，是否也能正好铺满被测图形呢？如果单位图形的形状多样一些，如添上等腰直角三角形作为测量单位，可以正好铺满更多的图形，那还能用正好铺满的标准进行选择吗？教材对图形进行选择性取舍，就是为了让学生拼摆出“正好”“恰好”铺满的结果，进而让学生凭感觉或想当然的理由，按照教材编写的思路去想问题，接受其似是而非的观点。这种感悟或发现活动的设计，歪曲了数学知识的形成过程，不但不能促进学生思维能力的发展，还会束缚学生的思维，影响学生创新能力的培养，甚至打击学生学好数学的信心。
综上所述，把恰（正）好能铺满所测图形作为选择面积单位的依据，理由欠充分，欠科学，牵强附会，影响学生科学认知的形成。
三、正方形作为面积单位合理性认知的编写建议
人教版和青岛版教材编写的意图是好的，但展现正方形作为面积单位的合理性也是必要和重要的。显然，不存在一个平面图形可以正好测量所有平面图形的面积。之所以选择用正方形作为面积单位图形，有一个漫长的发展过程和抽象提炼的过程，是基于人们之间交流的需要而达成的共识，即人为的规定。如，作为测量单位的图形要多样一些，起码应添上直角边等于所选正方形边长的等腰直角三角形，被测图形也应多样（包括形状与大小）一些，应该做到有用单位面积图形正好能够铺满被测图形的情况，也应有用单位面积图形铺不满被测图形的情况。通过比较，首先让学生认识到，虽然正方形或等腰直角三角形能铺满更多的被测图形，但也不能铺满所有的平面图形，即不存在一个平面图形能正好铺满所有被测图形。其次，指出“虽然用等腰直角三角形比用正方形作为面积单位能铺满更多的被测图形，但人们感到正方形图形方正，美观好看，且便于拼摆操作，通过讨论达成共识，就把正方形确定为面积的测量单位了”。给出这样一个合情合理的解释不是更好吗？
值得指出的是，教材力图贯彻课程标准的理念，展现数学知识形成和发展过程的意图是好的。若能做到科学地展现数学知识的形成和发展过程，对学生学习数学的帮助是毋庸置疑的。教材之所以被称为“课本”，就说明它是达成课程标准所规定的教学目标的重要载体，也是教师教学重要的依据材料，是学生第一手的学习材料，故教材还是尽量完善为好。
[ 參 考 文 献 ]
[1] 人民教育出版社，课程教材研究所.义务教育教科书·数学（三年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2014：.
[2] 山东省教学研究室.义务教育教科书·数学（三年级下册）[M]. 2版.青岛：青岛出版社，2015.
[3] 人民教育出版社，课程教材研究所.义务教育教科书数学教师教学用书 （三年级下册）[M].2版.北京：人民教育出版社，2016.
[4] 徐云鸿.义务教育教科书数学教师教学用书（三年级下册）[M].5版.青岛：青岛出版社，2016.
（责编 金 铃）