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摘 要：最值问题在高中数学教学中涉及面广，综合性强。为了让学生能在解决最值问题中表现出奇妙的作用，下面以我若干年教学经验，针对问题的不同情况，变繁为简，化难为易，结合课本谈谈最值问题在教学中一些规律性，以供参考。
关键词：最值问题； 数学教学； 举例
一、灵活应用不等式转换
例1.设 且 ，求 的最大值。
分析：注意到 不是定值，而条件 中无根号，因而想到去掉根号凑成 的形式。
一般的：当 且 ，则 的最大值是 （其中 都是常数）
此例可见灵活应用不等式并不是无目标的猜想，其要求我们不墨守陈规，化生疏为熟悉，在推理过程中做到严密正确。
二、合理使用配方法
例2.求函数 的最值。
在应用配方法前，注意隐含条件的思维方法，不可盲目使用导致最值的扩大或缩小，注意条件的严密性。
三、充分利用数形结合
例3.求函数 的最小值
① 选取坐标的科学严谨性
② 转化数学思维的灵活性
四、谨慎使用判别式法
例4.求函数 的最值
① 用判别式法求函数最值时，解△ 0中，其“>”与“=”有一个成立即可。故写出最值时，务必考虑到它的“极端”情况“=”能否成立。
② 由于函数到方程，中间将有个变形（不一定是恒等变形）过程，将原函数转化为关于 的二次方程，在解关于 的不等式。
③ 若忽视隐含条件就容易出错，故务必考虑到其函数本身的取值，应谨慎使用。
五、合理使用换元法
当已知函数的次数较高，则想方设法降次是必须解决的任务。所以应用换元将是一个有力的工具。
例5.求函数 的最值。
六、奇妙的增量代换法
例6.求函数 的最大值和最小值。
解：函数 的定义域是 。所以 是4与一个增量之和，且这个增量在 内取值。
当 时， 取得最大值2；
当 时， 其的最小值1。
利用增量代换法取得来解决和处理最值问题，是中学数学中的一种重要方法，可表现出奇妙的作用。
七、利用导数求最值
例7.一个容器，下半部是圆柱上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等；设容器的表面积为s，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容量最大？
解：设圆柱的高为h。底面半径为R，则
∴ （1）
容器的容积 （2）
把（1）代入（2），整理得
∴
令 ，即 解得 （舍去负值）。
经检验，这个R值能使V有最大值，代入（1）得
故当 时，容器容积最大。
八、应用函数求最值
例8.已知 所在平面内有一条直线 过其直角顶尖 ，且 在直线的同一侧，求 以 为轴旋转所得旋转体的最大体积。
解：所得旋转体的体积等于一个圆台的体积减去一个小圆锥和一个大圆锥的体积，分别通过A.B做 的垂线，垂足为D.E，设圆台上、下底面半径分别为 ，大、小圆锥的高分别为 ，设 ，则
故所得旋转体的体积为
上两例，不管用导数还是有界函数求最值，都选择了某一几何量作为自变量，建立函数解析式。这是求最值问题的一种有效方法。
九、以市场经济为背景
例9.某旅行社在某地组织旅游团到北京参观，共需6天，每人往返机票、食宿费、参观门票等费用共需3200元，如果每人收费标准为4600元。则只有20人参加旅游团；高于4600元时，没有人参加，如果每人收费标准从4600元降低100元，参加旅游团人数就增加10人；试问：每人收费标准定为多少时，该旅行社所获得利润最大？
（职高教材基础版第一册P137第32题）
解这类营销应用问题需理解有关名词的含义，如“利润=销售价-成本价”，掌握有关函数及计算方法：
解：设每人收费标准为 元 ，则收费标准下降了4600- 元，旅游团人数增加了 人，根据题意得利润 （元）与收费标准 （元）的函数关系式：
整理得：
∴当 =4000元时， =6400元
答：当收费标准定为4000元时，该旅行社所获得利润最大，最大利润为6400元。
综上各例，无论用哪种方法求最值，奇妙的规律性是解决最值问题的关键；我们在教学中应积极培养学生的洞察能力来处理不同题型，才能进一步提高数学教学的质量。
参考文献
[1] 苏居宁.《立体几何中的最值问题》《中学数学研究》1996-8
[2] 邱志明.《关于函数最值问题的教学》.《中学数学研究》2003-10
[3] 邱润发.《用函数解决市场经济的最值问题》.《数学通讯》2005-2
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收稿日期：2013-05-21
关键词：最值问题； 数学教学； 举例
一、灵活应用不等式转换
例1.设 且 ，求 的最大值。
分析：注意到 不是定值，而条件 中无根号，因而想到去掉根号凑成 的形式。
一般的：当 且 ，则 的最大值是 （其中 都是常数）
此例可见灵活应用不等式并不是无目标的猜想，其要求我们不墨守陈规，化生疏为熟悉，在推理过程中做到严密正确。
二、合理使用配方法
例2.求函数 的最值。
在应用配方法前，注意隐含条件的思维方法，不可盲目使用导致最值的扩大或缩小，注意条件的严密性。
三、充分利用数形结合
例3.求函数 的最小值
① 选取坐标的科学严谨性
② 转化数学思维的灵活性
四、谨慎使用判别式法
例4.求函数 的最值
① 用判别式法求函数最值时，解△ 0中，其“>”与“=”有一个成立即可。故写出最值时，务必考虑到它的“极端”情况“=”能否成立。
② 由于函数到方程，中间将有个变形（不一定是恒等变形）过程，将原函数转化为关于 的二次方程，在解关于 的不等式。
③ 若忽视隐含条件就容易出错，故务必考虑到其函数本身的取值，应谨慎使用。
五、合理使用换元法
当已知函数的次数较高，则想方设法降次是必须解决的任务。所以应用换元将是一个有力的工具。
例5.求函数 的最值。
六、奇妙的增量代换法
例6.求函数 的最大值和最小值。
解：函数 的定义域是 。所以 是4与一个增量之和，且这个增量在 内取值。
当 时， 取得最大值2；
当 时， 其的最小值1。
利用增量代换法取得来解决和处理最值问题，是中学数学中的一种重要方法，可表现出奇妙的作用。
七、利用导数求最值
例7.一个容器，下半部是圆柱上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等；设容器的表面积为s，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容量最大？
解：设圆柱的高为h。底面半径为R，则
∴ （1）
容器的容积 （2）
把（1）代入（2），整理得
∴
令 ，即 解得 （舍去负值）。
经检验，这个R值能使V有最大值，代入（1）得
故当 时，容器容积最大。
八、应用函数求最值
例8.已知 所在平面内有一条直线 过其直角顶尖 ，且 在直线的同一侧，求 以 为轴旋转所得旋转体的最大体积。
解：所得旋转体的体积等于一个圆台的体积减去一个小圆锥和一个大圆锥的体积，分别通过A.B做 的垂线，垂足为D.E，设圆台上、下底面半径分别为 ，大、小圆锥的高分别为 ，设 ，则
故所得旋转体的体积为
上两例，不管用导数还是有界函数求最值，都选择了某一几何量作为自变量，建立函数解析式。这是求最值问题的一种有效方法。
九、以市场经济为背景
例9.某旅行社在某地组织旅游团到北京参观，共需6天，每人往返机票、食宿费、参观门票等费用共需3200元，如果每人收费标准为4600元。则只有20人参加旅游团；高于4600元时，没有人参加，如果每人收费标准从4600元降低100元，参加旅游团人数就增加10人；试问：每人收费标准定为多少时，该旅行社所获得利润最大？
（职高教材基础版第一册P137第32题）
解这类营销应用问题需理解有关名词的含义，如“利润=销售价-成本价”，掌握有关函数及计算方法：
解：设每人收费标准为 元 ，则收费标准下降了4600- 元，旅游团人数增加了 人，根据题意得利润 （元）与收费标准 （元）的函数关系式：
整理得：
∴当 =4000元时， =6400元
答：当收费标准定为4000元时，该旅行社所获得利润最大，最大利润为6400元。
综上各例，无论用哪种方法求最值，奇妙的规律性是解决最值问题的关键；我们在教学中应积极培养学生的洞察能力来处理不同题型，才能进一步提高数学教学的质量。
参考文献
[1] 苏居宁.《立体几何中的最值问题》《中学数学研究》1996-8
[2] 邱志明.《关于函数最值问题的教学》.《中学数学研究》2003-10
[3] 邱润发.《用函数解决市场经济的最值问题》.《数学通讯》2005-2
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收稿日期：2013-05-21