论文部分内容阅读
摘 要：基于数学概念教学的重要性，文中结合个人的教学实践和思考，认为在现实的初中数学概念教学中如果能处理好学生的直观形象思维与概念抽象性之间的关系、概念理解、记忆与应用之间的关系、知识教学与思维培养的关系、同一概念不同表述之间的关系、教材概念与延伸概念的关系，则有望使概念教学质量得到提高。
关键词：概念； 教学
数学概念既是数学基础知识的重要组成部分，又是学习其它数学知识的基础。学生学习数学的过程，就是学习数学概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的定理，法则都是建立在一系列概念基础上的。学生正确、清晰、完整地掌握概念是学好数学的必要条件。因此，在数学教学中，概念教学受到了普遍的重视。而正在实施的新课标又对数学教学提出了新的要求。笔者结合教学实践和思考，认为教师在数学概念教学中如果能认识并处理好下列一些关系，则有望使概念教学质量得到提高。
一、处理好学生的直观形象思维与概念抽象性之间的关系
数学概念都具有抽象性，在初中的数学知识中，有些概念的抽象程度还较高，不易理解，如概率、函数等。而初中阶段学生的思维水平虽然在快速发展，但基本仍以直观形象思维为主。因此，概念教学要处理好学生思维特点与概念抽象性之间的关系。
在概念的引入阶段设置合适的情境，让学生接触（通过演示、操作）丰富而典型的感性材料，让他们在对具体直观事例的观察、比较、分析的基础上归纳、概括出概念的本质属性，产生认识上的飞跃，从感性上升到理性，则概念教学有水到渠成之感，学生经历了知识的形成过程，经历了一个从具体到抽象的过程。这也是新课标对概念教学的明确要求。
在概念的巩固阶段，也会因为学生思维的直观形象性与概念抽象性之间的矛盾使巩固阶段颇费周折。如无理数，学生能
解析无理数概念的要点，也会判断常见的无理数，但遇到 、 就会出错。因此，需要指导学生在进行判断和识别时学会
用概念来思考，抓住本质，而非仅凭外表。可依据无理数的概念给出识别的步骤：第一步化为小数，第二步判断是否无限且不循环。这样，通过把概念的内涵外化为具体的操作步骤，就在学生思维的直观形象性和概念的抽象性之间架设了一座桥梁，既提高概念教学质量，又发展学生思维，这也是教学中处理好这一关系的要义。
二、处理好概念理解、记忆与应用之间的关系
传统教学中，数学教师通常要求学生记背数学概念，数学课堂上有时也会出现语文课堂上那样的朗朗书声。实施新课标后，这种情况几乎没有了，一些教师的心目中，是否让学生记背概念，成了判断教师教学观念的一把标尺。若记背概念，则教学观念传统；若不记背，则观念新潮。与以前相比，理解概念更受重视了，虽然对概念的理解能够促进记忆，但理解了并不等于记住了。
实际上，记忆也能帮助理解。初中阶段的有些数学概念首先是记忆，主要也是记忆，然后才可能理解和应用。如有效数字，科学记数法等。
再者，近些年来，学生准确严密表述思考过程的能力在逐渐降低，即说数学的能力下降了，虽然学生解题能力好，却不能给人数学素养好的印象，这与课程标准的调整有关，也应该与概念教学的潮流有关。一些重要的概念，即使理解了，也应该记住，这对学生的数学思维表达能力的提高有正面作用。
就像记忆和理解互相促进一样，应用和理解也是互相促进的关系。
通常，概念教学按照引入→新概念→应用→反馈这四个环节顺序进行，而且往往会在一个课时中完成。如果把概念教学的前两个环节称为概念的理解，后两个环节称为概念的应用，显然，理解是应用的前提，应用帮助更深刻的理解。
但不是每个概念教学的理解和应用都可以一课时得到解决，有时需要分开来考虑。概念的理解基本可以在一个课时中完成，概念的应用则要考虑到学生的认识水平和知识范围的扩展，把概念应用分为不同层次和水平，分步完成，循序渐进。如相反数的应用可以分为三个层次：一为求一个数的相反数，二为求一个字母的相反数，三为表示一个多项式的相反数，完成这些内容，教学时间上有较大的跨度。因此，对概念应用的教学要“瞻前顾后”，分步到位。
三、处理好知识教学与思维训练的关系
从掌握知识的角度看，概念是数学知识的基石，重视概念的理解和运用当然重要，但是从思维的角度看，概念更是思维的结晶，具有很好的思维训练功能。而在现实的数学课堂中，前者重而后者轻。教师更多关注教学的结果，关注学生会不会解题，把更多时间放在解题教学上。
实际上，在概念教学的各个环节中，考虑学生思维训练这一因素来展开教学设计，会使概念教学更有质量。
在概念引入阶段，学生需要观察、比较，分析、归纳，是培养直觉思维，猜想思维能力的好机会。学生在这里能体会发现的乐趣。因此，这一环节应精心设计，教学时，时间上也要予以保证。
在概念形成阶段，指导学生尝试自己概括出概念，在由不严密到严密的过程中，可以培养思维的缜密性和准确性。如平行线的概念，学生第一次会说不相交的两条直线是平行线，经过反例分析后才会得出严密的表述。
在概念的巩固阶段，通过举例、判断、填空、选择、说理、计算等不同类型的习题，可以帮助学生从各个不同角度，在各个不同层次上理解和运用概念，培养学生思维的辩证性，灵活性和深刻性。
可见，重视了概念形成过程的教学，就会同时收获思维训练和知识落实两枚果实。
四、处理好同一概念不同表述之间的关系
初中阶段，有些概念在教材中有不同的表述，如角、圆；有些概念因教学需要要给出不同形式的表述，主要是一些几何概念，往往要给出文字、图形、符号三种表达形式。
对于教材中因一概念的不同表述，应将两者进行比较。首先，它们表述的是同一事物的本质属性，有相同的内涵和外延。其次，他们表述方式的不同是基于学生数学知识发展的需要，如角的概念，其一为：有分共端点的两条射线组成的图形；其二为：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。两个概念一静一动，一个立足现在，一个着眼未来，用旋转来指述角为三角函数的学习和角的范围扩展埋下伏笔。有些学生会很疑惑，为什么角有两个概念？教师应让学生知道其中原由。
对于用文字（准确、严密）、图形（直观）、符号（帮助记忆、运用）来表示的几何概念，由于文字、图形、符号互相补充，三位一体，能有效促进对概念的理解和运用，教师应当重视。如在角平分线的教学时，可同时给出三种表述形式。
文字概念：从一个角的顶点出发引一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的平分线。
图形表示：
符号语言：
∵OP平分∠AOB ∴∠AOP=∠BOP=1/2∠AOB
或∵∠AOP=∠BOP ∴OP平分∠AOB
如果教师只关注文字概念，学生就会存在表示和运用上的问题，影响概念教学的效果。
五、处理好教材概念与延伸概念之间的关系
延伸概念是指以教材概念为基础得到的与教材概念相似或相关的概念，通常有两种出现形式。
一种是在教学过程中由一些思维活跃的学生给出。如学习内错角时，他们会讲外错角，学习三次方根时，他们会讲四次方根。对于这些学生，教师第一反应应是给予肯定。其次可以和学生一起来分析和讨论这些问题，如果以“课本上没有这些内容”为理由应付过去，就会损害学生的求知欲，错过了一次课程生成的机会。
第二种是在习题中，由命题人给出，如由相似形得到相似体，并由相似形的性质，类比地研究相似体的性质。这些习题在亦新亦旧的情境中考察学生的概念理解能力和概念运用能力。
既然学生和命题人都提出了延伸概念，那么教师在概念教学时为什么还要守着书本，不越雷池半步呢？尊重学生的求知欲，尊重教学知体系的内在规律，在概念教学时进行适当的延伸和拓展是必要的。不求其掌握，但能够提高学生学习兴趣，扩展学生的数学知识视野，对教材概念的掌握也是有助益的。
总体而言，概念教学既是目的——掌握知识，又是手段——通过学习概念形成方法，锻炼思维。数学概念有各种类型，教学方法多种多样，学生也有差异，高效的数学概念教学应考虑到各个相关因素，并进行优化整合，因此，要获得正确的概念教学观念，取得理想的概念教学效果，仅仅处理好几个关系是远远不够的，还需要进行更多的实践与探索。
______________
收稿日期：2013-05-28
关键词：概念； 教学
数学概念既是数学基础知识的重要组成部分，又是学习其它数学知识的基础。学生学习数学的过程，就是学习数学概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的定理，法则都是建立在一系列概念基础上的。学生正确、清晰、完整地掌握概念是学好数学的必要条件。因此，在数学教学中，概念教学受到了普遍的重视。而正在实施的新课标又对数学教学提出了新的要求。笔者结合教学实践和思考，认为教师在数学概念教学中如果能认识并处理好下列一些关系，则有望使概念教学质量得到提高。
一、处理好学生的直观形象思维与概念抽象性之间的关系
数学概念都具有抽象性，在初中的数学知识中，有些概念的抽象程度还较高，不易理解，如概率、函数等。而初中阶段学生的思维水平虽然在快速发展，但基本仍以直观形象思维为主。因此，概念教学要处理好学生思维特点与概念抽象性之间的关系。
在概念的引入阶段设置合适的情境，让学生接触（通过演示、操作）丰富而典型的感性材料，让他们在对具体直观事例的观察、比较、分析的基础上归纳、概括出概念的本质属性，产生认识上的飞跃，从感性上升到理性，则概念教学有水到渠成之感，学生经历了知识的形成过程，经历了一个从具体到抽象的过程。这也是新课标对概念教学的明确要求。
在概念的巩固阶段，也会因为学生思维的直观形象性与概念抽象性之间的矛盾使巩固阶段颇费周折。如无理数，学生能
解析无理数概念的要点，也会判断常见的无理数，但遇到 、 就会出错。因此，需要指导学生在进行判断和识别时学会
用概念来思考，抓住本质，而非仅凭外表。可依据无理数的概念给出识别的步骤：第一步化为小数，第二步判断是否无限且不循环。这样，通过把概念的内涵外化为具体的操作步骤，就在学生思维的直观形象性和概念的抽象性之间架设了一座桥梁，既提高概念教学质量，又发展学生思维，这也是教学中处理好这一关系的要义。
二、处理好概念理解、记忆与应用之间的关系
传统教学中，数学教师通常要求学生记背数学概念，数学课堂上有时也会出现语文课堂上那样的朗朗书声。实施新课标后，这种情况几乎没有了，一些教师的心目中，是否让学生记背概念，成了判断教师教学观念的一把标尺。若记背概念，则教学观念传统；若不记背，则观念新潮。与以前相比，理解概念更受重视了，虽然对概念的理解能够促进记忆，但理解了并不等于记住了。
实际上，记忆也能帮助理解。初中阶段的有些数学概念首先是记忆，主要也是记忆，然后才可能理解和应用。如有效数字，科学记数法等。
再者，近些年来，学生准确严密表述思考过程的能力在逐渐降低，即说数学的能力下降了，虽然学生解题能力好，却不能给人数学素养好的印象，这与课程标准的调整有关，也应该与概念教学的潮流有关。一些重要的概念，即使理解了，也应该记住，这对学生的数学思维表达能力的提高有正面作用。
就像记忆和理解互相促进一样，应用和理解也是互相促进的关系。
通常，概念教学按照引入→新概念→应用→反馈这四个环节顺序进行，而且往往会在一个课时中完成。如果把概念教学的前两个环节称为概念的理解，后两个环节称为概念的应用，显然，理解是应用的前提，应用帮助更深刻的理解。
但不是每个概念教学的理解和应用都可以一课时得到解决，有时需要分开来考虑。概念的理解基本可以在一个课时中完成，概念的应用则要考虑到学生的认识水平和知识范围的扩展，把概念应用分为不同层次和水平，分步完成，循序渐进。如相反数的应用可以分为三个层次：一为求一个数的相反数，二为求一个字母的相反数，三为表示一个多项式的相反数，完成这些内容，教学时间上有较大的跨度。因此，对概念应用的教学要“瞻前顾后”，分步到位。
三、处理好知识教学与思维训练的关系
从掌握知识的角度看，概念是数学知识的基石，重视概念的理解和运用当然重要，但是从思维的角度看，概念更是思维的结晶，具有很好的思维训练功能。而在现实的数学课堂中，前者重而后者轻。教师更多关注教学的结果，关注学生会不会解题，把更多时间放在解题教学上。
实际上，在概念教学的各个环节中，考虑学生思维训练这一因素来展开教学设计，会使概念教学更有质量。
在概念引入阶段，学生需要观察、比较，分析、归纳，是培养直觉思维，猜想思维能力的好机会。学生在这里能体会发现的乐趣。因此，这一环节应精心设计，教学时，时间上也要予以保证。
在概念形成阶段，指导学生尝试自己概括出概念，在由不严密到严密的过程中，可以培养思维的缜密性和准确性。如平行线的概念，学生第一次会说不相交的两条直线是平行线，经过反例分析后才会得出严密的表述。
在概念的巩固阶段，通过举例、判断、填空、选择、说理、计算等不同类型的习题，可以帮助学生从各个不同角度，在各个不同层次上理解和运用概念，培养学生思维的辩证性，灵活性和深刻性。
可见，重视了概念形成过程的教学，就会同时收获思维训练和知识落实两枚果实。
四、处理好同一概念不同表述之间的关系
初中阶段，有些概念在教材中有不同的表述，如角、圆；有些概念因教学需要要给出不同形式的表述，主要是一些几何概念，往往要给出文字、图形、符号三种表达形式。
对于教材中因一概念的不同表述，应将两者进行比较。首先，它们表述的是同一事物的本质属性，有相同的内涵和外延。其次，他们表述方式的不同是基于学生数学知识发展的需要，如角的概念，其一为：有分共端点的两条射线组成的图形；其二为：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。两个概念一静一动，一个立足现在，一个着眼未来，用旋转来指述角为三角函数的学习和角的范围扩展埋下伏笔。有些学生会很疑惑，为什么角有两个概念？教师应让学生知道其中原由。
对于用文字（准确、严密）、图形（直观）、符号（帮助记忆、运用）来表示的几何概念，由于文字、图形、符号互相补充，三位一体，能有效促进对概念的理解和运用，教师应当重视。如在角平分线的教学时，可同时给出三种表述形式。
文字概念：从一个角的顶点出发引一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的平分线。
图形表示：
符号语言：
∵OP平分∠AOB ∴∠AOP=∠BOP=1/2∠AOB
或∵∠AOP=∠BOP ∴OP平分∠AOB
如果教师只关注文字概念，学生就会存在表示和运用上的问题，影响概念教学的效果。
五、处理好教材概念与延伸概念之间的关系
延伸概念是指以教材概念为基础得到的与教材概念相似或相关的概念，通常有两种出现形式。
一种是在教学过程中由一些思维活跃的学生给出。如学习内错角时，他们会讲外错角，学习三次方根时，他们会讲四次方根。对于这些学生，教师第一反应应是给予肯定。其次可以和学生一起来分析和讨论这些问题，如果以“课本上没有这些内容”为理由应付过去，就会损害学生的求知欲，错过了一次课程生成的机会。
第二种是在习题中，由命题人给出，如由相似形得到相似体，并由相似形的性质，类比地研究相似体的性质。这些习题在亦新亦旧的情境中考察学生的概念理解能力和概念运用能力。
既然学生和命题人都提出了延伸概念，那么教师在概念教学时为什么还要守着书本，不越雷池半步呢？尊重学生的求知欲，尊重教学知体系的内在规律，在概念教学时进行适当的延伸和拓展是必要的。不求其掌握，但能够提高学生学习兴趣，扩展学生的数学知识视野，对教材概念的掌握也是有助益的。
总体而言，概念教学既是目的——掌握知识，又是手段——通过学习概念形成方法，锻炼思维。数学概念有各种类型，教学方法多种多样，学生也有差异，高效的数学概念教学应考虑到各个相关因素，并进行优化整合，因此，要获得正确的概念教学观念，取得理想的概念教学效果，仅仅处理好几个关系是远远不够的，还需要进行更多的实践与探索。
______________
收稿日期：2013-05-28