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摘 要：本文对2012年上海市秋季高考理科第14题的求解思路做了详细的阐述，在此基础上对原题做了一些推广并尝试给出了相应的证明。
关键词：四面体 体积 最大值 椭圆 推广 证明
2012年上海市秋季高考理科第14题如下：如图1，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是______。
看到这道题目的第一感觉是惊诧：立体几何竟然作为填空题的压轴题，这在以往的上海高考试卷中是从来没有过的，看来此题非同一般！
细看题目，便会发现有两个关键条件：⑴对棱AD与BC互相垂直；⑵AB+BD=AC+CD=2a。
条件（1）使我联想到以前做过的两道题目：①求证：棱长为a的正四面体的任一组对棱互相垂直且距离为 a；②若四面体的一条棱长为x，其余各棱长都为1，求x为何值时，这个四面体的体积最大，并求体积的最大值。这两个题目都是采用取中点、构造直截面、分割的方法获得结果的，分别如图2和图3。
仿照图2或图3的做法，在图1的△ABD中，过点B作BM⊥AD于M，连接CM，则由题目条件易知AD⊥平面MBC，即平面MBC是四面体ABCD的一个直截面，故VABCD= ·2c·S△MBC，如图4。于是问题解决的关键是求出△MBC的最大面积。
再来看关键条件⑵：AB+BD=AC+CD=2a，这容易让人想到椭圆！若设AB=x，AC=y，AM=z，
x2—z2=（2a—x）2—（2c—z）2
y2—z2=（2a—y）2—（2c—z）2
故△MBC为等腰三角形，因此只需BM最大即可。如图5易知，BMmax= a2—c2，从而：
（VABCD）max= 2c· ·2· a2—c2—12= a2—c2—1
本题对空间想像能力有很高的要求，联想与类比是化生为熟的关键一步，而作出直截面之后的跨域（由立体几何到解析几何）转化更非易事！作为回顾，立几和解几的综合题在上海高考试卷中极为罕见，2008年第10题是前十年仅有的一例（该题的解几背景比较明显）：某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆。已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是_____。正确解答这类问题必须对圆锥曲线的概念有非常清晰的理解。
作为一道高考填空压轴题，给各位考生提供如下小题不宜大做的应激做法（实际上是基于经验的猜测）：启发猜测原型1，题目①、②中的点M均为中点，因此猜测本题中体积取到最大值时也应有M为中点；启发猜测原型2，不等式中有“和定积最大，相等不可少”，观察到AB+BD=AC+CD=2a，故猜测本题中体积取到最大值时应有AB=BD=AC=CD=a。沿着以上两条猜测之路便可顺利获得正确答案！
下面尝试对该题作出推广。
命题1.已知AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2b，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、b、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 a2—c2—b2。
证略。
命题2.已知AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=2a1，AC+CD=2a2，其中a1、a2、c为常数，则四面体ABCD的最大体积为：
证明：若a1=a2=a，则（VABCD）max= a2—c2—1；
若a1≠a2，不妨设a1 则有： ，从而有a1x—a2y=a12—a22，故此时△MBC不再是等腰三角形！因为，若△MBC为等腰三角形，则x=y，从而x=y=a1+a2，故BD=2a1—x=2a1—（a1+a2）=a1—a2<0，矛盾！但注意到△MBC中边MB与边MC的最大值均是当M为AD中点时取到，且MBmax= a12—c2，MCmax= a22—c2。考虑到BC=2，故当（ a12—c2）2+22≤（ a22—c2）2，即当a22—a12≥4 时，△MBC的最大面积是当它为以 a12—c2、2为两直角边的直角三角形时取到，否则是当MB、MC都最大时取到，故可得命题中的结论。
在叙述命题3之前，先证明两个预备命题。
预备命题1：如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离是d，所成的角为θ，那么它的体积是VABCD= abdsinθ。
证明：如图6，过A作AQ∥BC且AQ=BC，连接CQ，则VABCD=VD—ABC=VD—ACQ=VC—AQD= dS△AQD= d· absinθ= abdsinθ，得证！
预备命题2：如图7，MN为异面直线m、n的公垂线段，C∈m，B∈n，MC=h1，NB=h2，异面直线MN与BC所成的角为θ，则MN与BC之间的距离为：
证明：如图8，作CE∥MN，且CE=MN，连接NE、BE，在△NBE内过N作NF⊥BE于F，则易知CE⊥平面NBE，NF的长度即为异面直线MN与BC之间的距离。
BE=lsinθ
设∠ENB=φ，则由 d·BE= h1h2sinφ 可以求
BE2=h12+h22—2h1h2cosφ
得d=
命题3.已知四面体ABCD中，AD与BC所成的角为θ，BC=2，AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则有：
证明：当θ= 时即为上述高考题，故（VABCD）max= a2—c2—1。
当θ∈（0， ）时，如图9，在△ABD内过B作BM⊥AD于M，在△ACD内过C作CN⊥AD于N，因AD与BC不垂直，则M与N不重合，由预备命题1、2可得（设CN=h1，BM=h2）：
VABCD= ·2c·2·d·sinθ
=
而h1、h2∈（0， a2—c2]，但h1、h2不能同时取到 a2—c2，故有（*）成立。
命题4.已知AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2b，若AD=2c，且AB+BD=2a1，AC+CD=2a2，其中a1、a2、b、c为常数，则四面体ABCD的最大体积为：
命题5.已知四面体ABCD中，AD与BCD所成的角为θ，BC=2b，AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、b、c为常数，则有：
命题4、命题5的证明分别与命题2、命题3完全类似，此处略。
命题1至命题5的结论和证明可能尚欠完整或严密，非常期待各位专家的批评指正！
关键词：四面体 体积 最大值 椭圆 推广 证明
2012年上海市秋季高考理科第14题如下：如图1，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是______。
看到这道题目的第一感觉是惊诧：立体几何竟然作为填空题的压轴题，这在以往的上海高考试卷中是从来没有过的，看来此题非同一般！
细看题目，便会发现有两个关键条件：⑴对棱AD与BC互相垂直；⑵AB+BD=AC+CD=2a。
条件（1）使我联想到以前做过的两道题目：①求证：棱长为a的正四面体的任一组对棱互相垂直且距离为 a；②若四面体的一条棱长为x，其余各棱长都为1，求x为何值时，这个四面体的体积最大，并求体积的最大值。这两个题目都是采用取中点、构造直截面、分割的方法获得结果的，分别如图2和图3。
仿照图2或图3的做法，在图1的△ABD中，过点B作BM⊥AD于M，连接CM，则由题目条件易知AD⊥平面MBC，即平面MBC是四面体ABCD的一个直截面，故VABCD= ·2c·S△MBC，如图4。于是问题解决的关键是求出△MBC的最大面积。
再来看关键条件⑵：AB+BD=AC+CD=2a，这容易让人想到椭圆！若设AB=x，AC=y，AM=z，
x2—z2=（2a—x）2—（2c—z）2
y2—z2=（2a—y）2—（2c—z）2
故△MBC为等腰三角形，因此只需BM最大即可。如图5易知，BMmax= a2—c2，从而：
（VABCD）max= 2c· ·2· a2—c2—12= a2—c2—1
本题对空间想像能力有很高的要求，联想与类比是化生为熟的关键一步，而作出直截面之后的跨域（由立体几何到解析几何）转化更非易事！作为回顾，立几和解几的综合题在上海高考试卷中极为罕见，2008年第10题是前十年仅有的一例（该题的解几背景比较明显）：某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆。已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是_____。正确解答这类问题必须对圆锥曲线的概念有非常清晰的理解。
作为一道高考填空压轴题，给各位考生提供如下小题不宜大做的应激做法（实际上是基于经验的猜测）：启发猜测原型1，题目①、②中的点M均为中点，因此猜测本题中体积取到最大值时也应有M为中点；启发猜测原型2，不等式中有“和定积最大，相等不可少”，观察到AB+BD=AC+CD=2a，故猜测本题中体积取到最大值时应有AB=BD=AC=CD=a。沿着以上两条猜测之路便可顺利获得正确答案！
下面尝试对该题作出推广。
命题1.已知AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2b，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、b、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 a2—c2—b2。
证略。
命题2.已知AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=2a1，AC+CD=2a2，其中a1、a2、c为常数，则四面体ABCD的最大体积为：
证明：若a1=a2=a，则（VABCD）max= a2—c2—1；
若a1≠a2，不妨设a1
在叙述命题3之前，先证明两个预备命题。
预备命题1：如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离是d，所成的角为θ，那么它的体积是VABCD= abdsinθ。
证明：如图6，过A作AQ∥BC且AQ=BC，连接CQ，则VABCD=VD—ABC=VD—ACQ=VC—AQD= dS△AQD= d· absinθ= abdsinθ，得证！
预备命题2：如图7，MN为异面直线m、n的公垂线段，C∈m，B∈n，MC=h1，NB=h2，异面直线MN与BC所成的角为θ，则MN与BC之间的距离为：
证明：如图8，作CE∥MN，且CE=MN，连接NE、BE，在△NBE内过N作NF⊥BE于F，则易知CE⊥平面NBE，NF的长度即为异面直线MN与BC之间的距离。
BE=lsinθ
设∠ENB=φ，则由 d·BE= h1h2sinφ 可以求
BE2=h12+h22—2h1h2cosφ
得d=
命题3.已知四面体ABCD中，AD与BC所成的角为θ，BC=2，AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则有：
证明：当θ= 时即为上述高考题，故（VABCD）max= a2—c2—1。
当θ∈（0， ）时，如图9，在△ABD内过B作BM⊥AD于M，在△ACD内过C作CN⊥AD于N，因AD与BC不垂直，则M与N不重合，由预备命题1、2可得（设CN=h1，BM=h2）：
VABCD= ·2c·2·d·sinθ
=
而h1、h2∈（0， a2—c2]，但h1、h2不能同时取到 a2—c2，故有（*）成立。
命题4.已知AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2b，若AD=2c，且AB+BD=2a1，AC+CD=2a2，其中a1、a2、b、c为常数，则四面体ABCD的最大体积为：
命题5.已知四面体ABCD中，AD与BCD所成的角为θ，BC=2b，AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、b、c为常数，则有：
命题4、命题5的证明分别与命题2、命题3完全类似，此处略。
命题1至命题5的结论和证明可能尚欠完整或严密，非常期待各位专家的批评指正！