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摘要： 研究了间隙行星齿轮非线性传动系的周期轨道及其稳定性。针对PNF方法在求解非线性动力系统时存在的两点缺陷，即研究对象必须光滑和迭代初始点要求距离周期轨道足够近，提出了改进措施使之能够适应间隙行星齿轮传动系统的周期轨道的求解以及判稳工作。改进后的PNF方法对算例的计算结果和直接数值积分结果的吻合证明了改进措施的有效性。采用改进后的PNF方法研究了行星齿轮系统在一组给定参数下共存的周期运动，并判断了各共存周期运动的稳定性；通过延续判断不同转速下系统周期轨道的稳定性，研究了行星齿轮传动系统的周期运动状态随无量纲转速的分岔特性。结果发现，行星齿轮非线性传动系统在某些参数组合下可以共存几个稳定或者是不稳定的周期轨道；转速的变化可以使行星齿轮系统通过倍周期分岔的形式最终通往混沌。关键词： 行星齿轮系； 非线性振动； 共存周期轨道； 稳定性； PNF
中图分类号：TH132.425； O322文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）06081508
引言
行星齿轮传动具有体积小、重量轻、速比大、效率高等特点，在航空、船舶、汽车、起重机械及其他机械传动中获得了越来越广泛的应用。作为一个强非线性系统，行星齿轮传动系的工况条件和内部参数的变化会使系统响应在不同运动轨道中进行跃迁，即发生分叉，甚至出现混沌运动[1]，对机械系统的工作稳定性和可靠性会造成极大影响。为了提高行星齿轮传动系统的稳定性和可靠性，需要对振动进行控制，其目的是将其振动响应稳定在期望的某一种周期轨道上，并限制其振动行为在不同吸引子间的跃迁或进入混沌。因此，确定非线性行星齿轮传动系统的周期轨道并判断其稳定性，为振动控制提供目标轨道，就具有重要的工程实际意义[2]。
在同一组参数条件下，线性动力系统仅存在一个稳态轨道，而非线性动力系统则可能共存多个稳定或不稳定的周期轨道，这是造成非线性动力系统远远复杂于线性系统的重要原因之一。目前有影响的研究非线性系统周期轨道的方法主要有打靶法、增量谐波平衡法、不动点法、谐波平衡法以及PNF方法等几种[3～7]。其中，打靶法和增量谐波平衡法的本质是NewtonRaphson迭代，要求系统必须光滑；不动点法对迭代初始值的要求比较苛刻，只有当初始值距周期轨道足够近时，算法才能奏效；谐波平衡法由于受到所假设的激励和响应形式的限制，计算精度有限，并且难以应用到高维系统。
结合打靶法与Floquet稳定性理论的PNF方法则可以使周期运动的求解以及判稳工作同步进行，大大提高工作效率，当然，该方法也要求系统光滑并且迭代初始点距离目标周期轨道足够近。韩清凯运用PNF方法研究了碰摩转子系统的周期运动稳定性问题[8，9]，罗跃纲运用PNF方法研究了含有裂纹以及碰摩耦合故障的转子系统的周期运动的稳定性问题[10]，而关于行星齿轮传动系统的周期运动及其稳定性的研究尚未见报道。
本文将以行星齿轮传动系统的间隙非线性动力学模型为研究对象，引入有限差分形式Jacobi矩阵，解决了本文非光滑行星齿轮系统解析形式的Jacobi矩阵难以获得的问题；引入阻尼因子，解决了PNF方法迭代初值要求严格的问题，使之适合本文所研究的非线性系统，并以之研究行星齿轮系统在给定参数下共存的周期运动，判断其稳定性；通过PNF方法判断不同转速下系统的各个周期解的稳定性，研究行星齿轮传动系统运动状态随无量纲转速的分岔特性。
（1）随着分岔参数的变化，系统模最大的Floquet乘子经过实轴正半轴超出复平面上的单位圆，那么考查周期运动将会以鞍结分岔的形式发生运动失稳。
（2）随着分岔参数的变化，系统模最大的Floquet乘子经过实轴负半轴超出复平面上的单位圆，那么考查周期运动将会以倍周期分岔的形式发生运动失稳，即当分岔参数经过分岔点后，原来稳定的T周期轨道将会失稳而裂变成稳定的2T周期轨道，而倍周期分岔的结果最终将导致混沌的出现。
（3）随着分岔参数的变化，系统模最大的Floquet乘子以共轭复数的方式超出复平面上的单位圆，那么考查周期运动将会以Hopf分岔的形式发生运动失稳，产生拟周期运动。
从表2中的数据可以看到，周期1运动Floquet乘子在转速0.938 8附近经实轴负半轴超出复平面上的单位圆，周期2运动Floquet乘子在转速0.947 5附近经实轴负半轴超出复平面上的单位圆，周期4运动Floquet乘子在转速0.963 9附近经实轴负半轴超出复平面上的单位圆，结合Floquet分岔理论可以判定，在考查的转速范围内，行星齿轮传动系统的周期运动都是通过倍周期分岔的形式失稳产生新的周期轨道的。可以预测，0.964 8以后的转速区段，行星齿轮传动系统一定会经过更加充分的倍周期分岔最终进入到混沌状态。
总结以上分析，可以大致勾勒出转速在0.927 7～0.964 8之间以及0.964 8以后转速区间上系统运动状态稳定性的分岔情况，如图8所示。图中实线表示稳定周期运动，虚线表示不稳定周期运动。
5结论
（1）本文针对PNF方法存在的两点缺陷，即要求研究对象必须光滑和迭代初始点必需距离周期解足够近，提出了改进措施使之能够适应本文所研究的间隙行星齿轮传动系统的周期轨道的求解以及判稳，改进方法对算例的计算结果和直接数值结果的比较证明了改进措施的有效性。
（2）行星齿轮非线性传动系统在某些参数组合下可以共存几个稳定或者是不稳定的周期解，不稳定周期解的发现丰富了行星齿轮传动系的控制目标轨道；转速的变化可以使行星齿轮系统通过倍周期分岔的形式最终通往混沌。
参考文献：
[1]李同杰，朱如鹏，鲍和云，等.行星齿轮系扭转非线性振动建模与运动分岔特性研究[J].机械工程学报，2011，47（21）：76—83.
[2]Chu Fulei， Zhang Zhengsong. Bifurcation and chaos in a rubimpact Jeffcott rotor system[J]. Journal of Sound and Vibration， 1998，210（1）：1—18. [3]Li Dexin， Xu Jianxue. A new method to determine the periodic orbit of a nonlinear dynamic system and its period[J]. Engineering with Computers， 2005，20：316—322.
[4]Lau S L， Zhang W S. Nonlinear vibrations of piecewise linear systems by incremental harmonic balance method[J]. Journal of Applied Mechanics， Transactions of the American Society of Mechanical Engineers， 1992，59：153—160.
[5]Liu Tieniu， Wang Wei. Stationary points iteration method for periodic solution to nonlinear system[J]. Applied Mathematics and Mechanics， 1987，8（3）：263—270.
[6]Kahraman A， Singh R. Nonlinear dynamics of a spur gear pair[J]. Journal of Sound and Vibration， 1990，142（1）：49—75.
[7]韩清凯，于涛，王德友，等.故障转子系统的非线性振动分析与诊断方法[M].北京：科学出版社，2010.
[8]Han Qingkai. Periodic motion stability of a dualdisk rotor system with rubimpact at fixed limiter[J]. VibroImpact Dynamics of Ocean System， LANCM， 2009，44：105—109.
[9]Han Qingkai. Periodic motions of a dualdisk rotor system with rubimpact at fixed limiter[J]. Proc. JMSE， Part C： Journal of Mechanical Engineering Science， 2008，222（C10）：1 935—1 946.
[10]Luo Yuegang， Ren Zhaohui， Ma Hui. Stability of periodic motion on the rotorbearing system with coupling faults of crack and rubimpact[J]. Journal of Mechanical Science and Technology， 2007，21：860—864.
[11]Lin J， Parker R G. Planetary gear parametric instability caused by mesh variation[J]. Journal of Sound and Vibration， 2002（1）：129—145.
[12]Parker R G. A physical explanation for the effectiveness of planet phasing to suppress planetary gear vibration[J]. Journal of Sound and Vibration， 2000，236（4）：561—573.
[13]Sun Tao， Hu haiyan. Nonlinear dynamics of a planetary gear system with multiple clearances[J]. Mechanism and Machine Theory， 2003，38：1 371—1 390.
[14]金栋平，胡海岩.碰撞振动与控制[M].北京：科学出版社，2005.
中图分类号：TH132.425； O322文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）06081508
引言
行星齿轮传动具有体积小、重量轻、速比大、效率高等特点，在航空、船舶、汽车、起重机械及其他机械传动中获得了越来越广泛的应用。作为一个强非线性系统，行星齿轮传动系的工况条件和内部参数的变化会使系统响应在不同运动轨道中进行跃迁，即发生分叉，甚至出现混沌运动[1]，对机械系统的工作稳定性和可靠性会造成极大影响。为了提高行星齿轮传动系统的稳定性和可靠性，需要对振动进行控制，其目的是将其振动响应稳定在期望的某一种周期轨道上，并限制其振动行为在不同吸引子间的跃迁或进入混沌。因此，确定非线性行星齿轮传动系统的周期轨道并判断其稳定性，为振动控制提供目标轨道，就具有重要的工程实际意义[2]。
在同一组参数条件下，线性动力系统仅存在一个稳态轨道，而非线性动力系统则可能共存多个稳定或不稳定的周期轨道，这是造成非线性动力系统远远复杂于线性系统的重要原因之一。目前有影响的研究非线性系统周期轨道的方法主要有打靶法、增量谐波平衡法、不动点法、谐波平衡法以及PNF方法等几种[3～7]。其中，打靶法和增量谐波平衡法的本质是NewtonRaphson迭代，要求系统必须光滑；不动点法对迭代初始值的要求比较苛刻，只有当初始值距周期轨道足够近时，算法才能奏效；谐波平衡法由于受到所假设的激励和响应形式的限制，计算精度有限，并且难以应用到高维系统。
结合打靶法与Floquet稳定性理论的PNF方法则可以使周期运动的求解以及判稳工作同步进行，大大提高工作效率，当然，该方法也要求系统光滑并且迭代初始点距离目标周期轨道足够近。韩清凯运用PNF方法研究了碰摩转子系统的周期运动稳定性问题[8，9]，罗跃纲运用PNF方法研究了含有裂纹以及碰摩耦合故障的转子系统的周期运动的稳定性问题[10]，而关于行星齿轮传动系统的周期运动及其稳定性的研究尚未见报道。
本文将以行星齿轮传动系统的间隙非线性动力学模型为研究对象，引入有限差分形式Jacobi矩阵，解决了本文非光滑行星齿轮系统解析形式的Jacobi矩阵难以获得的问题；引入阻尼因子，解决了PNF方法迭代初值要求严格的问题，使之适合本文所研究的非线性系统，并以之研究行星齿轮系统在给定参数下共存的周期运动，判断其稳定性；通过PNF方法判断不同转速下系统的各个周期解的稳定性，研究行星齿轮传动系统运动状态随无量纲转速的分岔特性。
（1）随着分岔参数的变化，系统模最大的Floquet乘子经过实轴正半轴超出复平面上的单位圆，那么考查周期运动将会以鞍结分岔的形式发生运动失稳。
（2）随着分岔参数的变化，系统模最大的Floquet乘子经过实轴负半轴超出复平面上的单位圆，那么考查周期运动将会以倍周期分岔的形式发生运动失稳，即当分岔参数经过分岔点后，原来稳定的T周期轨道将会失稳而裂变成稳定的2T周期轨道，而倍周期分岔的结果最终将导致混沌的出现。
（3）随着分岔参数的变化，系统模最大的Floquet乘子以共轭复数的方式超出复平面上的单位圆，那么考查周期运动将会以Hopf分岔的形式发生运动失稳，产生拟周期运动。
从表2中的数据可以看到，周期1运动Floquet乘子在转速0.938 8附近经实轴负半轴超出复平面上的单位圆，周期2运动Floquet乘子在转速0.947 5附近经实轴负半轴超出复平面上的单位圆，周期4运动Floquet乘子在转速0.963 9附近经实轴负半轴超出复平面上的单位圆，结合Floquet分岔理论可以判定，在考查的转速范围内，行星齿轮传动系统的周期运动都是通过倍周期分岔的形式失稳产生新的周期轨道的。可以预测，0.964 8以后的转速区段，行星齿轮传动系统一定会经过更加充分的倍周期分岔最终进入到混沌状态。
总结以上分析，可以大致勾勒出转速在0.927 7～0.964 8之间以及0.964 8以后转速区间上系统运动状态稳定性的分岔情况，如图8所示。图中实线表示稳定周期运动，虚线表示不稳定周期运动。
5结论
（1）本文针对PNF方法存在的两点缺陷，即要求研究对象必须光滑和迭代初始点必需距离周期解足够近，提出了改进措施使之能够适应本文所研究的间隙行星齿轮传动系统的周期轨道的求解以及判稳，改进方法对算例的计算结果和直接数值结果的比较证明了改进措施的有效性。
（2）行星齿轮非线性传动系统在某些参数组合下可以共存几个稳定或者是不稳定的周期解，不稳定周期解的发现丰富了行星齿轮传动系的控制目标轨道；转速的变化可以使行星齿轮系统通过倍周期分岔的形式最终通往混沌。
参考文献：
[1]李同杰，朱如鹏，鲍和云，等.行星齿轮系扭转非线性振动建模与运动分岔特性研究[J].机械工程学报，2011，47（21）：76—83.
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[10]Luo Yuegang， Ren Zhaohui， Ma Hui. Stability of periodic motion on the rotorbearing system with coupling faults of crack and rubimpact[J]. Journal of Mechanical Science and Technology， 2007，21：860—864.
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[14]金栋平，胡海岩.碰撞振动与控制[M].北京：科学出版社，2005.