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【摘要】本文介绍了一种简单易行的判别方法，并通过例题加以说明，使初学者较易能够掌握这种积分方法，探讨了如何确定分部积分法中的u 与dv。
【关键词】不定积分 分部积分法 数学思想方法 积分公式
【中图分类号】O172.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）10-0141-01
高等数学研究的对象是函数，其中主要研究的是初等函数。在研究初等函数时，先从五类基本初等函数开始，在研究了基本初等函数之后，再研究更为复杂的初等函数。高等数学课程研究的主线是先研究极限和连续，再研究导数和积分等。
在分部积分法教学中，u与dv的选择作为教学难点，初学者往往对u与dv的选择的预见性难以把握， 为了突破这一难点，许多具有多年教学实践的教师结合学情，总结出很多关于选择u与dv的口诀或规律， 帮助学生快速掌握分部积分法。
一、公式产生的原因和推导
在引导分步积分法的公式时，教学模式一般都是直接由设函数u=u（x）；v=v（x）具有连续导数，根据函数乘积的微分运算法则有：duv=vdu+udv，移项得udv=duv-vdu，两边积分得∫udv=uv-∫vdu继而给出选择u、v的口诀，最后通过大量习题的演练从而达到熟练应用。分部积分法是在解决诸如∫xn、ex、dx、∫xn、cosxdx等积分问题时出现的，显然被积函数既不能用直接积分法求得原函数，也不能用换元法来代换后再积分，因此只能回过头再来观察被积函数x■。如果被积函数只是x■，它的原函数就是ex+c。但如何将x■转变成 =1·ex？也就是将x如何转变为1？显然学生会立刻想到刚刚学习的最熟悉的导数可以将x如何转变为1，也就是要把x导一次而ex不导，被积函数就可以转变为ex了，也就是“前导后不导”，这样，学生自然而然联想到了函数乘积的导数问题，即uv′=u′v+uv′。但是积分与微分互为逆运算，因此又联想到了函数乘积的微分运算法则，即duv=vdu+udv移项得udv=duv-vdu，两边积分得乙udv=uv-∫vdu，用这个公式就可以实现将x 转变为1的愿望，只需要让x扮演公式中u的角色，而 exdx转变为dex就知道v 的角色是ex扮演了。这样，∫xex dx的积分问题也就迎刃而解了。
微分学中最重要的求导法则是链式法则。设u=g（x）可微，F（u）在g（x）的值域区间I上可微而且F′（u）=f（u），则有
d[F（g（x））]= F′（g（x））d（g（x））=f（g（x））d（g（x））=f（g（x））g′（x）dx.
利用F′（u）=f（u），u =g（x）两边积分得
∫f（g（x））g′（x）dx=∫f（g（x））d（g（x））=F（g（x））+C
= F（u）+C =∫f（u）du
上式称为不定积分的第一类换元法（或称凑微分法）。
如果将被积函数展开，利用积分的线性运算性质以及幂函数的积分公式来解上题是相当繁琐的，从中可以体会出进行积分换元的好处。
二、學习前人总结出来的经验，解决有关分部积分的不定积分问题
例2：求∫x sin xdx分析：被积函数是幂函数与三角函数 的乘积，用直接积分法和换元法都不能求解，但sinx 的原函数是-cosx，因此需要把被积函数xsinx转化为sinx，也就是x将一阶导转化为1，故x 就是u 的角色，即解：设u=x，dv=sinxdx=d（-cosx），故v=-cosx由分部积分法的公式，有∫xsinxdx=∫xd（-cosx）=-xcosx-∫（-cosx）dx=-xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+c.
总结：被积函数是幂函数与三角函数的乘积时，将幂函数设为u，通过导数将幂函数转化为1。
例3：求∫x2e2dx分析：被积函数是幂函数与指数函数的乘积，指数函数是不能通过导数转化为1 的，因此只能将幂函数通过导数转化为1，这里的幂函数是x2，因而要导两次，即解：设u=x2，dv=e2dx=de2 故v=e2由分部积分法的公式可得到：
∫x2e2dx=x2dex=x2ex-∫exdx2=x2ex-∫2xexdx=x2ex -2∫xex dx对等式右边的不定积分是很熟悉的，只要再次用分部积分法求之，即再设有u=x，dv=e2dx=dex ，故v=ex，有∫x2e2 dx=∫x2dex =x2ex-∫exdx2=x2ex-∫2xexdx
=x2ex-2∫xexdx
=x2ex -2∫xdex=xex-2（xex -∫exdx）=x2ex-2xex+ex+c
例4：求∫exsinxdx分析：被积函数是指数函数与三解函数的乘积， sinx和ex通过导数都不能转化为1，第一感觉是不能用分部积分法解决问题，但是也不能用直接积分法和换元积分法求解，还是回到分部积分法上，发现sinx的二次导数是-sinx，而ex的导数是本身，等式的右端也出现了式子∫ ex sinxdx，即解：设u=sinx，dv=exdx=dex，故v=ex由分部积分法的公式，有∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx-∫exdsinx =exsinx-∫cosxexdx对等式右边不定积分再次用分部积分法，即设u=cosx，dv = ex dx=dex，故v=ex，于是∫exsinxdx=exsinx-∫cosxex dx=exsinx-∫cosxdex =ex sinx-（ex cosx-∫ex dcosx）=ex sinxex cosx-∫sinxex dx移项、整理得∫ex sinxdx=ex sinx-ex cosx+c
例5：求∫cos（lnx）dx
解：取u =cos（lnx），dx=dv 则
原式=xcos（lnx）∫sin（lnx）dx
= xcos（lnx）xsin（lnx）-∫cos（lnx）dx 所以
原式=[cos（lnx）sin（lnx）]C.
事实上，有些题并非只有一种解法，而且大多数题目求解的过程也同时涉及到多种方法。由此可见，求解不定积分时，不同的思路可产生不同的解法。
三、分部积分法给人们的另一个启发是：即使是经典的学科，其中也有很多的问题解决的并不完满
比如，关于不定积分问题，人们知道了被积函数为幂函数（正整数次幂的幂函数）和其它四类基本初等函数的乘积时的不定积分是一定存在的（原函数是初等函数），但任意两种基本初等函数和乘积作为被积函数的不定积分却不一定都存在，比如，和都是不可积的（原函数虽然存在，但都不是初等函数）。
参考文献：
[1]同济大学应用数学系主编，高等数学（第五版）上册，2002.07
[2]樊映川.高等数学讲义：上册[M].北京：人民出版社，1964
[3]刘贵濂. 高等数学[M].北京：机械工业出版社，2006
【关键词】不定积分 分部积分法 数学思想方法 积分公式
【中图分类号】O172.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）10-0141-01
高等数学研究的对象是函数，其中主要研究的是初等函数。在研究初等函数时，先从五类基本初等函数开始，在研究了基本初等函数之后，再研究更为复杂的初等函数。高等数学课程研究的主线是先研究极限和连续，再研究导数和积分等。
在分部积分法教学中，u与dv的选择作为教学难点，初学者往往对u与dv的选择的预见性难以把握， 为了突破这一难点，许多具有多年教学实践的教师结合学情，总结出很多关于选择u与dv的口诀或规律， 帮助学生快速掌握分部积分法。
一、公式产生的原因和推导
在引导分步积分法的公式时，教学模式一般都是直接由设函数u=u（x）；v=v（x）具有连续导数，根据函数乘积的微分运算法则有：duv=vdu+udv，移项得udv=duv-vdu，两边积分得∫udv=uv-∫vdu继而给出选择u、v的口诀，最后通过大量习题的演练从而达到熟练应用。分部积分法是在解决诸如∫xn、ex、dx、∫xn、cosxdx等积分问题时出现的，显然被积函数既不能用直接积分法求得原函数，也不能用换元法来代换后再积分，因此只能回过头再来观察被积函数x■。如果被积函数只是x■，它的原函数就是ex+c。但如何将x■转变成 =1·ex？也就是将x如何转变为1？显然学生会立刻想到刚刚学习的最熟悉的导数可以将x如何转变为1，也就是要把x导一次而ex不导，被积函数就可以转变为ex了，也就是“前导后不导”，这样，学生自然而然联想到了函数乘积的导数问题，即uv′=u′v+uv′。但是积分与微分互为逆运算，因此又联想到了函数乘积的微分运算法则，即duv=vdu+udv移项得udv=duv-vdu，两边积分得乙udv=uv-∫vdu，用这个公式就可以实现将x 转变为1的愿望，只需要让x扮演公式中u的角色，而 exdx转变为dex就知道v 的角色是ex扮演了。这样，∫xex dx的积分问题也就迎刃而解了。
微分学中最重要的求导法则是链式法则。设u=g（x）可微，F（u）在g（x）的值域区间I上可微而且F′（u）=f（u），则有
d[F（g（x））]= F′（g（x））d（g（x））=f（g（x））d（g（x））=f（g（x））g′（x）dx.
利用F′（u）=f（u），u =g（x）两边积分得
∫f（g（x））g′（x）dx=∫f（g（x））d（g（x））=F（g（x））+C
= F（u）+C =∫f（u）du
上式称为不定积分的第一类换元法（或称凑微分法）。
如果将被积函数展开，利用积分的线性运算性质以及幂函数的积分公式来解上题是相当繁琐的，从中可以体会出进行积分换元的好处。
二、學习前人总结出来的经验，解决有关分部积分的不定积分问题
例2：求∫x sin xdx分析：被积函数是幂函数与三角函数 的乘积，用直接积分法和换元法都不能求解，但sinx 的原函数是-cosx，因此需要把被积函数xsinx转化为sinx，也就是x将一阶导转化为1，故x 就是u 的角色，即解：设u=x，dv=sinxdx=d（-cosx），故v=-cosx由分部积分法的公式，有∫xsinxdx=∫xd（-cosx）=-xcosx-∫（-cosx）dx=-xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+c.
总结：被积函数是幂函数与三角函数的乘积时，将幂函数设为u，通过导数将幂函数转化为1。
例3：求∫x2e2dx分析：被积函数是幂函数与指数函数的乘积，指数函数是不能通过导数转化为1 的，因此只能将幂函数通过导数转化为1，这里的幂函数是x2，因而要导两次，即解：设u=x2，dv=e2dx=de2 故v=e2由分部积分法的公式可得到：
∫x2e2dx=x2dex=x2ex-∫exdx2=x2ex-∫2xexdx=x2ex -2∫xex dx对等式右边的不定积分是很熟悉的，只要再次用分部积分法求之，即再设有u=x，dv=e2dx=dex ，故v=ex，有∫x2e2 dx=∫x2dex =x2ex-∫exdx2=x2ex-∫2xexdx
=x2ex-2∫xexdx
=x2ex -2∫xdex=xex-2（xex -∫exdx）=x2ex-2xex+ex+c
例4：求∫exsinxdx分析：被积函数是指数函数与三解函数的乘积， sinx和ex通过导数都不能转化为1，第一感觉是不能用分部积分法解决问题，但是也不能用直接积分法和换元积分法求解，还是回到分部积分法上，发现sinx的二次导数是-sinx，而ex的导数是本身，等式的右端也出现了式子∫ ex sinxdx，即解：设u=sinx，dv=exdx=dex，故v=ex由分部积分法的公式，有∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx-∫exdsinx =exsinx-∫cosxexdx对等式右边不定积分再次用分部积分法，即设u=cosx，dv = ex dx=dex，故v=ex，于是∫exsinxdx=exsinx-∫cosxex dx=exsinx-∫cosxdex =ex sinx-（ex cosx-∫ex dcosx）=ex sinxex cosx-∫sinxex dx移项、整理得∫ex sinxdx=ex sinx-ex cosx+c
例5：求∫cos（lnx）dx
解：取u =cos（lnx），dx=dv 则
原式=xcos（lnx）∫sin（lnx）dx
= xcos（lnx）xsin（lnx）-∫cos（lnx）dx 所以
原式=[cos（lnx）sin（lnx）]C.
事实上，有些题并非只有一种解法，而且大多数题目求解的过程也同时涉及到多种方法。由此可见，求解不定积分时，不同的思路可产生不同的解法。
三、分部积分法给人们的另一个启发是：即使是经典的学科，其中也有很多的问题解决的并不完满
比如，关于不定积分问题，人们知道了被积函数为幂函数（正整数次幂的幂函数）和其它四类基本初等函数的乘积时的不定积分是一定存在的（原函数是初等函数），但任意两种基本初等函数和乘积作为被积函数的不定积分却不一定都存在，比如，和都是不可积的（原函数虽然存在，但都不是初等函数）。
参考文献：
[1]同济大学应用数学系主编，高等数学（第五版）上册，2002.07
[2]樊映川.高等数学讲义：上册[M].北京：人民出版社，1964
[3]刘贵濂. 高等数学[M].北京：机械工业出版社，2006