一元二次方程ax² +bx+c=0（a≠0）中，由系数组成的代数式b2－4ac称为一元二次方程的根的判别式。它可以用来判断一元二次方程的根的情况，也可以解决与一元二次方程的根有关的一些问题。现举例如下：
　　例1：方程4x²－3x+2=0的根的情况是（）
　　A．有两个不相等的实数根
　　B．有两个相等的实数根
　　C.无实数根
　　D．无法确定
　　讲评：方程中a=4,b=-3,c=2，利用b2－4ac的符号，不用解方程，可以直接判断方程的根的情况。该题中，b2－4ac=(-3)2－4×4×2=-23<0。所以方程没有实数根，应选C。
　　例2：若关于x的方程(k－1)x²－2x－2=0有两个实数根，求k的取值范围。
　　讲评：方程有两个实数根，说明b2－4ac≥0，同时，该方程的二次项系数含有字母，应考虑二次项系数不能为0的情况。
　　解：b2－4ac=4+8k－8=8k－4
　　由题意，得
　　8k－4≥0
　　k－1≠0
　　解之，得 k≥12且k≠1
　　∴k的取值范围是k≥12且k≠1
　　例3：抛物线y=ax²－6x+3与x轴有两个交点，求a的取值范围。
　　讲评：抛物线与x轴的交点个数由当y=0时的一元二次方程ax²－6x+3=0实数根的情况决定。所以本题还是判断b2－4ac的符号。
　　解：b2－4ac=36－12a
　　由题意，得
　　36－12a＞0
　　a≠0
　　解之，得a<3且a≠0
　　∴a的取值范围是a<3且a≠0
　　例4：在实数范围内，代数式3x²－2x+1的值能否为5？能否为-3？
　　讲评：令代数式3x²－2x+1等于5或-3。判断该方程有无实数根。若有实数根说明代数式的值能为5或-3，若无实数根，则说明不能。
　　解：令3x²－2x+1=5
　　整理，得3x²－2x－4=0
　　b2－4ac=4+4×3×4=52>0
　　此方程有实数根
　　∴ 3x²－2x+1的值能是5。
　　令3x²－2x+1=?3
　　整理，得3x²－2x－4=0
　　b2－4ac=4－4×3×4=-44<0
　　此方程没有实数根
　　∴ 3x²－2x+1的值不能是-3。
　　例5：已知关于x的一元二次方程x²+(4k+1)x+2k－1=0。求证：不论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根。
　　讲评：用b2－4ac证明含有字母系数的方程的根的情况。
　　先求出b2－4ac，再判断它的符号。
　　证明：b2－4ac=(4k+1)2－4(2k－1)
　　=16k2+8k+1－8k+4
　　=16k2+5
　　不论k取任何实数，k2≥0
　　∴16k2+5>0
　　即 b2－4ac>0
　　∴方程总有两个不相等的实数根。