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摘 要： 教材中的基本知识始终是高考命题的主要来源。本文从真题出发，追本溯源，谈谈向量模的问题与教材之间千丝万缕的的联系。
关键词： 教材；向量；三角不等式；模恒等式；极化恒等式
【中图分类号】 G632 【文献标识码】 A 【文章编号】 2236-1879（2018）11-0062-02
高考试题虽然年年不同，但是教材中的基本知识、基本定理原理始终是考试的终点，教材是高考命题的主要来源。所以在高考复习中，尤其是后阶段，教师适当引领学生回归教材，重点研究高考题考查的内容和能力。只有具备了相关的知识与能力，方能赢得高考。
1 从真题出发思考。
例1 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|+|b|=2，则|a-b|的最小值是____，最大值是____。
（2017年浙江省数学高考试题第15题）
分析：一方面，若向量a、b共线，方向相同或相反，都有|a+b|+|a-b|=4，若向量a、b不共线，如图1， 其中OF=AE=a，OB=BD=b，OC=a+b，BA=CE=DC=a-b，数形结合可知：|a+b|+|a-b=|OC|+|CE|>|OE|=2|a|=2，|a+b|+|a-b|=|OC|+|CE|=|OC|+|CD|>|OD|=2|b|=4，所以|a+b|+|a-b|4。
另一方面，，平方和是定值10，利用重要不等式易得：
所以，当且仅当，即时取到最大值25。
笔者认为此题考查了向量模的性质，也称向量模恒等式，又重点考查了三角不等式的应用能力。
（1） （向量三角不等式）
（2）（向量模恒等式）
它们都是教材的内容，都是高考的重点内容。
2 回归教材，追本溯源
2.1 向量三角不等式的来源。
人教版数学必修4第二章平面向量中2.2平面向量的线性运算第81页的【例题】：已知向量a、b，求作向量a+b。
在82页安排了【探究】：处于什么位置时，（1）
（2）
根据三角形两边之和（差）与第三边的大小关系，再结合等号成立的情况，得到不等式。这就是教材中对向量三角不等式的完整的介绍。那么例1中，只需令，即可得到最小值4。向量三角不等式在历年的高考真题中数次考查，可见其重要性。
教材的82页又安排了【思考】：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？
笔者揣摩教材中作这样的安排，旨在揭示数的绝对值与向量的模之间的关系。事实上，与向量的模的三角不等式相似，实数有绝对值不等式：
例2 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有最大值是_____。
（2016年浙江省数学高考试题第15題）
或 恒成立，可得。这里应该引导学生注意向量的模与实数的绝对值之间的区别与联系。
或者根据实数的绝对值不等式：，可以得到：，所以问题等价于对任意单位向量，
2.2 向量模恒等式的来源。
人教版数学必修4 2.5平面向量应用举例中2.5.1平面几何中的向量方法第109页的【例题】：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
（向量模恒等式），它的几何意义为“平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍”。这个恒等式在往年的高考中也常常出现。
（2014年浙江省数学高考试题第8题）
分析：正确理解分段函数的含义，并运用这些模的几何意义，首先平行四边形的对角线与其边长不能比较大小，另一方面恒有 。从中感受到高考题来源于教材，综合考查几个知识点与几个不同方面的如抽象逻辑计数等能力。
3 理解教材，挖掘教材。
仔细研读教材，认真看了教材中的例题之后，如何理解教材编写者的意图，如何在自己的教学实践中引领学生感受与发现，并且能有一定程度的升华，这就需要教师对教材进行再加工，再琢磨，充分挖掘教材。例如，
不妨尝试（3）（4）可得：，即这个恒等式被称为极化恒等式。它的几何意义为“向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形两条对角线的平方差的14”。这个等式在高考题中有许多妙用[1]。笔者以江苏省2016年的一个试题为例谈谈极化恒等式的应用。
例4 如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
的值是_____。
（2016年江苏省数学高考试题第13题）
分析： ，同理可得：，，所以容易得到。
事实上，在△ABC中，D是BC的中点，在三角形模型里，极化恒等式反映的是邻边的数量积是中线与半边长的平方差。这样推导：
所以，笔者揣测极化恒等式教材中并为给出，也许是这个理由，它可以由向量的线性表示，然后化简得到，并不一定需要由极化恒等式出发。从这个角度出发，向量模的恒等式是更有研究意义的。但这并不影响极化恒等式受到重用。
4 结束语
数学家克莱因说：“教师掌握的知识要比他所教的知识多得多，才能引导学生绕过悬崖，渡过险滩。”复习的最后阶段，返璞归真，研读教材，感知最基础的知识，或许会有新的发现，闪现新的灵感！
参考文献
[1] 王红权，李学军，朱成万.巧用极化恒等式 妙解一类向量题 [J].中学教研（数学），2013（8）：24-25.
关键词： 教材；向量；三角不等式；模恒等式；极化恒等式
【中图分类号】 G632 【文献标识码】 A 【文章编号】 2236-1879（2018）11-0062-02
高考试题虽然年年不同，但是教材中的基本知识、基本定理原理始终是考试的终点，教材是高考命题的主要来源。所以在高考复习中，尤其是后阶段，教师适当引领学生回归教材，重点研究高考题考查的内容和能力。只有具备了相关的知识与能力，方能赢得高考。
1 从真题出发思考。
例1 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|+|b|=2，则|a-b|的最小值是____，最大值是____。
（2017年浙江省数学高考试题第15题）
分析：一方面，若向量a、b共线，方向相同或相反，都有|a+b|+|a-b|=4，若向量a、b不共线，如图1， 其中OF=AE=a，OB=BD=b，OC=a+b，BA=CE=DC=a-b，数形结合可知：|a+b|+|a-b=|OC|+|CE|>|OE|=2|a|=2，|a+b|+|a-b|=|OC|+|CE|=|OC|+|CD|>|OD|=2|b|=4，所以|a+b|+|a-b|4。
另一方面，，平方和是定值10，利用重要不等式易得：
所以，当且仅当，即时取到最大值25。
笔者认为此题考查了向量模的性质，也称向量模恒等式，又重点考查了三角不等式的应用能力。
（1） （向量三角不等式）
（2）（向量模恒等式）
它们都是教材的内容，都是高考的重点内容。
2 回归教材，追本溯源
2.1 向量三角不等式的来源。
人教版数学必修4第二章平面向量中2.2平面向量的线性运算第81页的【例题】：已知向量a、b，求作向量a+b。
在82页安排了【探究】：处于什么位置时，（1）
（2）
根据三角形两边之和（差）与第三边的大小关系，再结合等号成立的情况，得到不等式。这就是教材中对向量三角不等式的完整的介绍。那么例1中，只需令，即可得到最小值4。向量三角不等式在历年的高考真题中数次考查，可见其重要性。
教材的82页又安排了【思考】：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？
笔者揣摩教材中作这样的安排，旨在揭示数的绝对值与向量的模之间的关系。事实上，与向量的模的三角不等式相似，实数有绝对值不等式：
例2 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有最大值是_____。
（2016年浙江省数学高考试题第15題）
或 恒成立，可得。这里应该引导学生注意向量的模与实数的绝对值之间的区别与联系。
或者根据实数的绝对值不等式：，可以得到：，所以问题等价于对任意单位向量，
2.2 向量模恒等式的来源。
人教版数学必修4 2.5平面向量应用举例中2.5.1平面几何中的向量方法第109页的【例题】：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
（向量模恒等式），它的几何意义为“平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍”。这个恒等式在往年的高考中也常常出现。
（2014年浙江省数学高考试题第8题）
分析：正确理解分段函数的含义，并运用这些模的几何意义，首先平行四边形的对角线与其边长不能比较大小，另一方面恒有 。从中感受到高考题来源于教材，综合考查几个知识点与几个不同方面的如抽象逻辑计数等能力。
3 理解教材，挖掘教材。
仔细研读教材，认真看了教材中的例题之后，如何理解教材编写者的意图，如何在自己的教学实践中引领学生感受与发现，并且能有一定程度的升华，这就需要教师对教材进行再加工，再琢磨，充分挖掘教材。例如，
不妨尝试（3）（4）可得：，即这个恒等式被称为极化恒等式。它的几何意义为“向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形两条对角线的平方差的14”。这个等式在高考题中有许多妙用[1]。笔者以江苏省2016年的一个试题为例谈谈极化恒等式的应用。
例4 如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
的值是_____。
（2016年江苏省数学高考试题第13题）
分析： ，同理可得：，，所以容易得到。
事实上，在△ABC中，D是BC的中点，在三角形模型里，极化恒等式反映的是邻边的数量积是中线与半边长的平方差。这样推导：
所以，笔者揣测极化恒等式教材中并为给出，也许是这个理由，它可以由向量的线性表示，然后化简得到，并不一定需要由极化恒等式出发。从这个角度出发，向量模的恒等式是更有研究意义的。但这并不影响极化恒等式受到重用。
4 结束语
数学家克莱因说：“教师掌握的知识要比他所教的知识多得多，才能引导学生绕过悬崖，渡过险滩。”复习的最后阶段，返璞归真，研读教材，感知最基础的知识，或许会有新的发现，闪现新的灵感！
参考文献
[1] 王红权，李学军，朱成万.巧用极化恒等式 妙解一类向量题 [J].中学教研（数学），2013（8）：24-25.