论文部分内容阅读
【摘要】数学素养如何在教学中真正落地是值得深入研究的问题。本文以“等腰三角形的性质”探究为例，探讨了在教学中如何落实数学素养的问题，首先分析了等腰三角形的性质在培养学生数学学科能力方面的价值，然后结合改进前的教学环节逐一进行案例分析，讨论培养和发展学生数学学科能力的策略，在此基础上提出了改进后的教学设计，并进行了教学实践。
【关键词】直观想象；逻辑推理；等腰三角形的性质；数学素养；数学学科能力
设计适度开放、有挑战性的问题和活动，对培养学生数学核心素养与关键能力起着重要的作用。平面几何的学习是培养和发展学生直观想象、逻辑推理素养不可替代的重要载体。本文以探究“等腰三角形的性质”为例，探讨在教学实施过程中，如何有目的、有侧重点地培养学生的数学核心素养。
笔者通过对“等腰三角形的性质”文献分析发现，教学目标的制定虽然表明教师具有培养学生探究能力的意识，但其在教学设计和教学实施中并没有很好地体现和落实[1-3]。
一、等腰三角形的性質的教育价值分析
（一）等腰三角形的性质：作为概念性知识的价值
“等腰三角形的性质”是人教版数学八年级上册第十三章第三节第一课时的内容。等腰三角形的性质揭示了等腰三角形边角等各个要素之间的关系。等腰三角形的各个要素包括等腰三角形的边、角这些基本的组成要素，也包括等腰三角形的高线、中线和角平分线等衍生要素，还包括角的大小、等腰三角形的面积、周长等度量要素，性质就是组成要素、衍生要素和度量要素之间的关系。在等腰三角形的诸多性质中，“两底角相等”和“三线合一”是两个最重要的性质，其中，由于欧几里得在《几何原本》中的证明方法巧妙而烦琐，“两底角相等”的性质不容易被初学者理解而被称为“驴桥定理”（Asses Bridge）。这两个性质也是等腰三角形直观而又优美的对称性的体现。“三线合一”的性质实际上是三个命题，在教学中需要引导学生分解出三个命题，写出已知和求证并进行证明。性质的证明不仅仅是常规的作顶点的角平分线、底边的中线和高线，还可以作腰的中线、高线和对角的角平分线，不同的作辅助线的方法体现了不同的思维方式和难度，对学生的思维有很好的锻炼作用。等腰三角形的性质是轴对称的具体形象。借助等腰三角形，学生可以深入理解一般轴对称的性质。
（二）等腰三角形的性质：作为方法性知识的价值
学生在小学已经认识了等腰三角形，对等腰三角形的性质有一些直观的感受，并能够猜想出一些结论。学生的这些经验和直觉在教学中不可被忽视。在探究等腰三角形性质的过程中，教师需要激活学生已有的知识经验和生活经验，在几何直观的基础上，猜想性质并推理论证，形成结论，培养学生的数学猜想探究能力和推理论证能力。同时，猜想也不仅仅局限于教材中的两个性质，可以发散到更多等腰三角形的性质中去。教师对性质进行梳理的同时，也要帮助学生提炼猜想探究的方法，比如类比、直观、推理等。在教学中，教师可以根据学生的认知基础，引导学生从不同的角度证明性质定理，学习添加不同辅助线的方法。学生不仅需要掌握这些方法是什么，更需要理解这些方法是如何想出来的。方法和方法是如何形成的，是比概念性质更高级的方法性知识，在解决更为一般的问题时可对其进行创造与迁移[4]。
（三）数学交流与反思：作为情感、态度与价值观的价值
清晰地进行数学交流与表达的能力是学生须具备的数学素养之一。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，学生应能清晰地表达自己的想法，学会与他人合作交流，逐步形成评价与反思的意识，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。在不同的情境下，表达和阐释自己的数学观点（the communication competency）也是一种PISA（国际学生评估项目）2012数学素养测评的核心数学能力[5]。学生需要独立思考等腰三角形的性质都有哪些，从哪几个方面进行思考，如何推理与论证自己的观点，并借助文字、图形和数学符号等工具清晰地向别人介绍自己的思路，学习如何恰当地质疑他人的观点，对他人或自己的做法进行反思与提升，学习借助小组合作突破困难。
学生在经历、感悟和学习的过程中，会不自觉地运用和发展观察、类比、猜想、解释交流、推理论证等数学学科能力。那么，如何在教学中让数学学科能力的培养真正落地呢？下面，笔者借助两次教学的改进案例进行分析和阐述。
二、等腰三角形教学改进前的案例分析
等腰三角形的性质（第一课时）的教学目标和教学重难点是：
教学目标：
①学生通过制作或者画一个等腰三角形，经历提出问题及探索、概括、证明等腰三角形性质的过程，发展猜想探究能力。
②掌握等腰三角形性质1和性质2及其不同证明方法。
③在探索过程中，学生提高独立思考和数学交流的能力，能够清晰表达自己的观点，尊重他人观点，敢于质疑和反思。
教学重点：
等腰三角形的性质定理。
教学难点：
证明等腰三角形的性质时添加辅助线的不同方法。
（一）问题提出
问题提出的环节，也常常被称为情境引入。问题情境包含本节课的研究问题，教师在教学中需要把研究问题明确提出来。
1改进前的情境引入：限制了学生的思路
在第一次的教学中，教师采用了如下的方式提出问题。
师：把一张长方形的纸按照图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？（如教材图133-1所示）
师：请同学们按照图片所示（此处图略）的方法剪一个三角形，并判断这是什么三角形？
（教师板书等腰三角形的定义）
2问题情境的特征
问题情境需要满足三个特征：挑战性、有趣、关己。在这个环节中，学生按照教师出示的方法制作三角形，然后根据等腰三角形的定义判断△ABC的形状。此举看似学生在动手操作、观察与思考的基础上得到结论，实则限制了学生的思维。学生被动地跟着教师的指示操作，这其实存在着一个问题：为什么要如此剪三角形？该方法的根据则是等腰三角形的性质。在小学，学生已经了解等腰三角形，也有很多办法画一个等腰三角形。因而，该活动并没有很好地激发学生的兴趣和能动性，挑战性和开放性也不足。 （二）探索等腰三角形的性质
1改进前的等腰三角形性质探索
观察猜想：
师：（引导学生折纸）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕（AD所在的直线）对折后，你发现了什么？观察折叠后的图形，找出其中重合的线段和角，填入表1[6]：
师：你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗？
2不能降低学生探究的思维含量
在等腰三角形的性质探索活动中，教师引导学生对折三角形纸片，观察折叠后的纸片，找出重合的角和边，提出问题：等腰三角形有什么性质？本活动的特点是，研究问题由教师提出，研究方法（重合）与研究思路（对折、列表、观察）也是由教师设计，学生仍然在教师的强力牵引下，思维跟着教师亦步亦趋。几何研究图形的数量关系和位置关系，重合意味着数量上的相等，本应该由学生探究的结论却由教师直接提出、学生操作验证，由此降低了学生猜想探究的思维含量。本活动可以更加開放，直接放手让学生探究等腰三角形具有怎样的性质。教师可以不拘泥于“等边对等角”和“三线合一”这两个性质，给学生时间和空间发散思维，然后经历对猜想进行归纳和提炼的聚焦过程。
（三）等腰三角形性质的证明：倾听学生的思维过程
1改进前的性质证明
（1）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。
（2）讨论研究，验证猜想
①性质1（等腰三角形的两底角相等）的条件和结论分别是什么？
②用数学符号如何表达条件和结论？
③如何证明性质1和性质2？
2学生探究的时间和空间如何落地
这个环节是研究验证和证明猜想。在教学设计中，教师希望学生能够充分进行小组合作交流，在轻松的环境下发表观点，尊重他人的观点，说明教师具有建立有利于猜想探究的氛围和课堂文化的意识。但在实际教学中，教师采用了“一对一”的提问方式，比如，“谁能证明等边对等角？××，你来说一下”。教师提出问题之后并没有给学生思考的时间，而是直接提问让学生作答，在××同学阐述证明思路时，其他学生都在静静地听着，都没有独立思考的机会，讨论交流也不曾发生。学生依据教师制定的次序，依次证明性质1和性质2，殊不知，性质1和性质2的证明思路是可以整合的。
在第一次教学中，被提问作答的一名同学提出添加辅助线的方法：“作BC的中垂线AD”，然后利用全等证明。学生的话音刚落，教师脱口而出：“同学们，我们作辅助线一下子能满足这两项要求吗？既是中垂线，又过点A？不能！还有没有别的方法？”那名同学讪讪地坐下，一脸羞愧。这个同学的做法有没有其合理性？首先，由于等腰三角形的对称性带给学生这样的图形直观，使学生默认了中垂线经过点A而没有加以论证。其次，作这条辅助线和其他辅助线的方法不一样之处在于，需要学生去证明“点在线上”，而学生习惯利用“点在线上”，这与学生常用的推理思维是逆向的。因此，作BC的中垂线没有问题，但需要对中垂线是否经过点A进行论证，而论证的方法对学生来说不是很难，因为前面刚刚学过“到线段两端相等的点在线段的中垂线上”这个结论。因此，这是一个激发学生兴趣、锻炼学生分析问题和发展从直观到推理思维的非常好的机会。
在证明过程中，教师需要对学生的证明方法进行分析和提炼，比如，为什么这样添加辅助线？你是怎么想到的？这几种证明方法有什么异同点？证明等边对等角常用的方法是过顶点A作底边的高或中线或角平分线，除此之外还有别的证明方法吗？过点B和点C分别作对边的高或中线呢？以此激发学生用不同的方法去证明，发散思维。
三、改进后的教学设计
在对改进前的教学案例分析的基础上，教师进行了教学再设计，并进行了第二次教学实践。教学目标和教学重点难点没有改变。
课前，教师请同学们独立制作或画一个等腰三角形。
环节一提出问题
（1）如何画或者制作等腰三角形
学生的方法预设：①长方形折叠剪三角形；②作线段的垂直平分线，在垂直平分线上任取一点，与端点连线；③在线段的两端用量角器量出相同的角度。
（2）为什么它是一个等腰三角形
预设：依据等腰三角形的定义。（师板书等腰三角形定义要点）
追问：你怎么想到要这么做？（为后面的证明铺垫）
（3）关于等腰三角形，你们想研究哪些问题
提示：想想关于平行线，我们都研究了哪些问题，以此渗透提出问题的方法。
对学生想要研究的问题进行归纳与聚焦，预设：①等腰三角形的性质；②等腰三角形的判定。
（4）选择研究问题：本节课先研究的等腰三角形的性质有哪些（辨析什么叫作“性质”）
环节二探究问题
（1）提出猜想
师：独立观察、思考，写下你发现的等腰三角形的性质，然后和小组的同学交流，以小组为单位，全班分享，你们的猜想是什么？你们是怎么发现的？
（2）归纳聚焦
师：以上猜想得到的性质都反映了等腰三角形的哪些方面呢？
预设1：渗透几何图形研究的两个方面——数量关系和位置关系，可以类比三角形的研究。
预设2：研究等腰三角形的角之间的关系，边之间的关系，角和边之间的关系，重要线段（高线、中线、角平分线）的性质及图形的对称性。
环节三证明猜想
（1）推理论证猜想
师：请把你的猜想写成“已知……求证……”的命题形式，画出图形，证明猜想。
预设1：过顶点作底边上的高，证明全等（HL）——两底角相等，高线也是顶角的角平分线和底边的中线。 预设2：过顶点作底边上的中线，证明全等（SSS）——两底角相等，中线也是顶角的角平分线和底边的高。
预设3：过顶点作角平分线，证明全等（SAS）——两底角相等，顶角的角平分线也是底边的高和中线。
（2）形成定理
概括性质：性质1（等边对等角），性质2（三线合一），三种语言表征定理。
（3）证明思路扩展，发散思维
由于等腰三角形具有非常优美的对称性，学生很容易想到作底边上的高、中线或顶角的角平分线。那么，能否作腰上的高、中线、底角的角平分线进行证明呢？教师让学生尝试一下，以激发学生的兴趣和好奇心。本证明思路具有挑战性，小组合作完成，每个小组选择作腰上的一条辅助线，全班分享交流。如果时间紧张，这个环节可以变为课后作业。
环节四反思与总结
师：（总结）本节课大家的收获是什么？
（1）猜想探究的思路
提出问题—提出猜想—论证猜想。
（2）猜想探究的方法
类比（提出问题——数量关系和位置关系）、测量、折叠、推理论证。
（3）从不同的角度论证定理
推理的方法不是凭空产生，而是可以找到线索的，比如类比作底边上的高，想到作腰上的高。
（4）同学之间的合作与交流很重要
在第二次教学的环节一中，学生提出了四种画或制作等腰三角形的方法，除预设的三种外，第四种方法是分别以线段的两个端点为圆心，以相同半径作圆；在环节二，学生经过独立思考和小组讨论，共得到了等腰三角形的七个性质：
①等腰三角形的两个底角相等——对折之后重合；②等腰三角形底边上的中线也是其高和顶角的角平分线——折叠或测量或简述推理；③等腰三角形底边上的高也是其中线和顶角的角平分线——折叠或测量或简述推理；④等腰三角形顶角的角平分线也是底边上的高和中线——折叠或测量或简述推理；[JP+1]⑤等腰三角形是轴对称图形，對称轴是其底边上的高或中线或顶角的角平分线；⑥等腰三角形的底角是锐角，不能是钝角；⑦底边上的中线、高和角平分线分成的两个三角形全等。
我们从中发现，很多学生的思维不仅仅局限于教师“设定的框架”，他们对等腰三角形做了全方位的剖析，这对发展学生的发散思维非常有帮助。同时，学生在发现性质的过程中，有的使用了测量或折叠，有的已经使用了几何推理。
学生数学素养的培养需要在教学中真正落地，这就需要教师的活动设计具有趣味性、开放性和挑战性，不能束缚学生的思维，在探究过程中给学生充分的探究空间和时间。学生需要经历完整的探究环节，探究活动不能被教师强行分割成一个个单元，否则学生的思维会被教师强行打断。教师需要倾听学生的回答，哪怕是错误的，也会有其合理性的一方面，然后抓住这样的课堂生成，错误就会变成“精彩”，给学生自由地表达自己观点的机会，培养其独立思考和反思的高层次思维品质，促进学生数学学科能力的发展。
参考文献：
[1]佟胜海《等腰三角形》教学设计及评析[J]教育实践与研究，2010（6）：63-64
[2]魏晓丽，王冰“等腰三角形的性质”教学设计及点评[J]中国数学教育，2013（7/8）：36-38
[3]张维强“等腰三角形性质”教学的再发现：“同课异构”课题研究之反思[J]中小学数学（中学版），2011（10）：40-42
[4]季苹教什么知识：对教学的知识论基础的认识[M]北京：教育科学出版社，2009
[5]凯·斯泰西，罗斯·特纳数学素养测评：走进PISA测试[M]曹一鸣，李娜，董连春，等译北京：教育科学出版社，2017
[6]蔡品柱“等腰三角形性质”探究性学习的教学设计与反思[J]福建中学数学，2008（4）：26-28
【关键词】直观想象；逻辑推理；等腰三角形的性质；数学素养；数学学科能力
设计适度开放、有挑战性的问题和活动，对培养学生数学核心素养与关键能力起着重要的作用。平面几何的学习是培养和发展学生直观想象、逻辑推理素养不可替代的重要载体。本文以探究“等腰三角形的性质”为例，探讨在教学实施过程中，如何有目的、有侧重点地培养学生的数学核心素养。
笔者通过对“等腰三角形的性质”文献分析发现，教学目标的制定虽然表明教师具有培养学生探究能力的意识，但其在教学设计和教学实施中并没有很好地体现和落实[1-3]。
一、等腰三角形的性質的教育价值分析
（一）等腰三角形的性质：作为概念性知识的价值
“等腰三角形的性质”是人教版数学八年级上册第十三章第三节第一课时的内容。等腰三角形的性质揭示了等腰三角形边角等各个要素之间的关系。等腰三角形的各个要素包括等腰三角形的边、角这些基本的组成要素，也包括等腰三角形的高线、中线和角平分线等衍生要素，还包括角的大小、等腰三角形的面积、周长等度量要素，性质就是组成要素、衍生要素和度量要素之间的关系。在等腰三角形的诸多性质中，“两底角相等”和“三线合一”是两个最重要的性质，其中，由于欧几里得在《几何原本》中的证明方法巧妙而烦琐，“两底角相等”的性质不容易被初学者理解而被称为“驴桥定理”（Asses Bridge）。这两个性质也是等腰三角形直观而又优美的对称性的体现。“三线合一”的性质实际上是三个命题，在教学中需要引导学生分解出三个命题，写出已知和求证并进行证明。性质的证明不仅仅是常规的作顶点的角平分线、底边的中线和高线，还可以作腰的中线、高线和对角的角平分线，不同的作辅助线的方法体现了不同的思维方式和难度，对学生的思维有很好的锻炼作用。等腰三角形的性质是轴对称的具体形象。借助等腰三角形，学生可以深入理解一般轴对称的性质。
（二）等腰三角形的性质：作为方法性知识的价值
学生在小学已经认识了等腰三角形，对等腰三角形的性质有一些直观的感受，并能够猜想出一些结论。学生的这些经验和直觉在教学中不可被忽视。在探究等腰三角形性质的过程中，教师需要激活学生已有的知识经验和生活经验，在几何直观的基础上，猜想性质并推理论证，形成结论，培养学生的数学猜想探究能力和推理论证能力。同时，猜想也不仅仅局限于教材中的两个性质，可以发散到更多等腰三角形的性质中去。教师对性质进行梳理的同时，也要帮助学生提炼猜想探究的方法，比如类比、直观、推理等。在教学中，教师可以根据学生的认知基础，引导学生从不同的角度证明性质定理，学习添加不同辅助线的方法。学生不仅需要掌握这些方法是什么，更需要理解这些方法是如何想出来的。方法和方法是如何形成的，是比概念性质更高级的方法性知识，在解决更为一般的问题时可对其进行创造与迁移[4]。
（三）数学交流与反思：作为情感、态度与价值观的价值
清晰地进行数学交流与表达的能力是学生须具备的数学素养之一。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，学生应能清晰地表达自己的想法，学会与他人合作交流，逐步形成评价与反思的意识，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。在不同的情境下，表达和阐释自己的数学观点（the communication competency）也是一种PISA（国际学生评估项目）2012数学素养测评的核心数学能力[5]。学生需要独立思考等腰三角形的性质都有哪些，从哪几个方面进行思考，如何推理与论证自己的观点，并借助文字、图形和数学符号等工具清晰地向别人介绍自己的思路，学习如何恰当地质疑他人的观点，对他人或自己的做法进行反思与提升，学习借助小组合作突破困难。
学生在经历、感悟和学习的过程中，会不自觉地运用和发展观察、类比、猜想、解释交流、推理论证等数学学科能力。那么，如何在教学中让数学学科能力的培养真正落地呢？下面，笔者借助两次教学的改进案例进行分析和阐述。
二、等腰三角形教学改进前的案例分析
等腰三角形的性质（第一课时）的教学目标和教学重难点是：
教学目标：
①学生通过制作或者画一个等腰三角形，经历提出问题及探索、概括、证明等腰三角形性质的过程，发展猜想探究能力。
②掌握等腰三角形性质1和性质2及其不同证明方法。
③在探索过程中，学生提高独立思考和数学交流的能力，能够清晰表达自己的观点，尊重他人观点，敢于质疑和反思。
教学重点：
等腰三角形的性质定理。
教学难点：
证明等腰三角形的性质时添加辅助线的不同方法。
（一）问题提出
问题提出的环节，也常常被称为情境引入。问题情境包含本节课的研究问题，教师在教学中需要把研究问题明确提出来。
1改进前的情境引入：限制了学生的思路
在第一次的教学中，教师采用了如下的方式提出问题。
师：把一张长方形的纸按照图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？（如教材图133-1所示）
师：请同学们按照图片所示（此处图略）的方法剪一个三角形，并判断这是什么三角形？
（教师板书等腰三角形的定义）
2问题情境的特征
问题情境需要满足三个特征：挑战性、有趣、关己。在这个环节中，学生按照教师出示的方法制作三角形，然后根据等腰三角形的定义判断△ABC的形状。此举看似学生在动手操作、观察与思考的基础上得到结论，实则限制了学生的思维。学生被动地跟着教师的指示操作，这其实存在着一个问题：为什么要如此剪三角形？该方法的根据则是等腰三角形的性质。在小学，学生已经了解等腰三角形，也有很多办法画一个等腰三角形。因而，该活动并没有很好地激发学生的兴趣和能动性，挑战性和开放性也不足。 （二）探索等腰三角形的性质
1改进前的等腰三角形性质探索
观察猜想：
师：（引导学生折纸）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕（AD所在的直线）对折后，你发现了什么？观察折叠后的图形，找出其中重合的线段和角，填入表1[6]：
师：你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗？
2不能降低学生探究的思维含量
在等腰三角形的性质探索活动中，教师引导学生对折三角形纸片，观察折叠后的纸片，找出重合的角和边，提出问题：等腰三角形有什么性质？本活动的特点是，研究问题由教师提出，研究方法（重合）与研究思路（对折、列表、观察）也是由教师设计，学生仍然在教师的强力牵引下，思维跟着教师亦步亦趋。几何研究图形的数量关系和位置关系，重合意味着数量上的相等，本应该由学生探究的结论却由教师直接提出、学生操作验证，由此降低了学生猜想探究的思维含量。本活动可以更加開放，直接放手让学生探究等腰三角形具有怎样的性质。教师可以不拘泥于“等边对等角”和“三线合一”这两个性质，给学生时间和空间发散思维，然后经历对猜想进行归纳和提炼的聚焦过程。
（三）等腰三角形性质的证明：倾听学生的思维过程
1改进前的性质证明
（1）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。
（2）讨论研究，验证猜想
①性质1（等腰三角形的两底角相等）的条件和结论分别是什么？
②用数学符号如何表达条件和结论？
③如何证明性质1和性质2？
2学生探究的时间和空间如何落地
这个环节是研究验证和证明猜想。在教学设计中，教师希望学生能够充分进行小组合作交流，在轻松的环境下发表观点，尊重他人的观点，说明教师具有建立有利于猜想探究的氛围和课堂文化的意识。但在实际教学中，教师采用了“一对一”的提问方式，比如，“谁能证明等边对等角？××，你来说一下”。教师提出问题之后并没有给学生思考的时间，而是直接提问让学生作答，在××同学阐述证明思路时，其他学生都在静静地听着，都没有独立思考的机会，讨论交流也不曾发生。学生依据教师制定的次序，依次证明性质1和性质2，殊不知，性质1和性质2的证明思路是可以整合的。
在第一次教学中，被提问作答的一名同学提出添加辅助线的方法：“作BC的中垂线AD”，然后利用全等证明。学生的话音刚落，教师脱口而出：“同学们，我们作辅助线一下子能满足这两项要求吗？既是中垂线，又过点A？不能！还有没有别的方法？”那名同学讪讪地坐下，一脸羞愧。这个同学的做法有没有其合理性？首先，由于等腰三角形的对称性带给学生这样的图形直观，使学生默认了中垂线经过点A而没有加以论证。其次，作这条辅助线和其他辅助线的方法不一样之处在于，需要学生去证明“点在线上”，而学生习惯利用“点在线上”，这与学生常用的推理思维是逆向的。因此，作BC的中垂线没有问题，但需要对中垂线是否经过点A进行论证，而论证的方法对学生来说不是很难，因为前面刚刚学过“到线段两端相等的点在线段的中垂线上”这个结论。因此，这是一个激发学生兴趣、锻炼学生分析问题和发展从直观到推理思维的非常好的机会。
在证明过程中，教师需要对学生的证明方法进行分析和提炼，比如，为什么这样添加辅助线？你是怎么想到的？这几种证明方法有什么异同点？证明等边对等角常用的方法是过顶点A作底边的高或中线或角平分线，除此之外还有别的证明方法吗？过点B和点C分别作对边的高或中线呢？以此激发学生用不同的方法去证明，发散思维。
三、改进后的教学设计
在对改进前的教学案例分析的基础上，教师进行了教学再设计，并进行了第二次教学实践。教学目标和教学重点难点没有改变。
课前，教师请同学们独立制作或画一个等腰三角形。
环节一提出问题
（1）如何画或者制作等腰三角形
学生的方法预设：①长方形折叠剪三角形；②作线段的垂直平分线，在垂直平分线上任取一点，与端点连线；③在线段的两端用量角器量出相同的角度。
（2）为什么它是一个等腰三角形
预设：依据等腰三角形的定义。（师板书等腰三角形定义要点）
追问：你怎么想到要这么做？（为后面的证明铺垫）
（3）关于等腰三角形，你们想研究哪些问题
提示：想想关于平行线，我们都研究了哪些问题，以此渗透提出问题的方法。
对学生想要研究的问题进行归纳与聚焦，预设：①等腰三角形的性质；②等腰三角形的判定。
（4）选择研究问题：本节课先研究的等腰三角形的性质有哪些（辨析什么叫作“性质”）
环节二探究问题
（1）提出猜想
师：独立观察、思考，写下你发现的等腰三角形的性质，然后和小组的同学交流，以小组为单位，全班分享，你们的猜想是什么？你们是怎么发现的？
（2）归纳聚焦
师：以上猜想得到的性质都反映了等腰三角形的哪些方面呢？
预设1：渗透几何图形研究的两个方面——数量关系和位置关系，可以类比三角形的研究。
预设2：研究等腰三角形的角之间的关系，边之间的关系，角和边之间的关系，重要线段（高线、中线、角平分线）的性质及图形的对称性。
环节三证明猜想
（1）推理论证猜想
师：请把你的猜想写成“已知……求证……”的命题形式，画出图形，证明猜想。
预设1：过顶点作底边上的高，证明全等（HL）——两底角相等，高线也是顶角的角平分线和底边的中线。 预设2：过顶点作底边上的中线，证明全等（SSS）——两底角相等，中线也是顶角的角平分线和底边的高。
预设3：过顶点作角平分线，证明全等（SAS）——两底角相等，顶角的角平分线也是底边的高和中线。
（2）形成定理
概括性质：性质1（等边对等角），性质2（三线合一），三种语言表征定理。
（3）证明思路扩展，发散思维
由于等腰三角形具有非常优美的对称性，学生很容易想到作底边上的高、中线或顶角的角平分线。那么，能否作腰上的高、中线、底角的角平分线进行证明呢？教师让学生尝试一下，以激发学生的兴趣和好奇心。本证明思路具有挑战性，小组合作完成，每个小组选择作腰上的一条辅助线，全班分享交流。如果时间紧张，这个环节可以变为课后作业。
环节四反思与总结
师：（总结）本节课大家的收获是什么？
（1）猜想探究的思路
提出问题—提出猜想—论证猜想。
（2）猜想探究的方法
类比（提出问题——数量关系和位置关系）、测量、折叠、推理论证。
（3）从不同的角度论证定理
推理的方法不是凭空产生，而是可以找到线索的，比如类比作底边上的高，想到作腰上的高。
（4）同学之间的合作与交流很重要
在第二次教学的环节一中，学生提出了四种画或制作等腰三角形的方法，除预设的三种外，第四种方法是分别以线段的两个端点为圆心，以相同半径作圆；在环节二，学生经过独立思考和小组讨论，共得到了等腰三角形的七个性质：
①等腰三角形的两个底角相等——对折之后重合；②等腰三角形底边上的中线也是其高和顶角的角平分线——折叠或测量或简述推理；③等腰三角形底边上的高也是其中线和顶角的角平分线——折叠或测量或简述推理；④等腰三角形顶角的角平分线也是底边上的高和中线——折叠或测量或简述推理；[JP+1]⑤等腰三角形是轴对称图形，對称轴是其底边上的高或中线或顶角的角平分线；⑥等腰三角形的底角是锐角，不能是钝角；⑦底边上的中线、高和角平分线分成的两个三角形全等。
我们从中发现，很多学生的思维不仅仅局限于教师“设定的框架”，他们对等腰三角形做了全方位的剖析，这对发展学生的发散思维非常有帮助。同时，学生在发现性质的过程中，有的使用了测量或折叠，有的已经使用了几何推理。
学生数学素养的培养需要在教学中真正落地，这就需要教师的活动设计具有趣味性、开放性和挑战性，不能束缚学生的思维，在探究过程中给学生充分的探究空间和时间。学生需要经历完整的探究环节，探究活动不能被教师强行分割成一个个单元，否则学生的思维会被教师强行打断。教师需要倾听学生的回答，哪怕是错误的，也会有其合理性的一方面，然后抓住这样的课堂生成，错误就会变成“精彩”，给学生自由地表达自己观点的机会，培养其独立思考和反思的高层次思维品质，促进学生数学学科能力的发展。
参考文献：
[1]佟胜海《等腰三角形》教学设计及评析[J]教育实践与研究，2010（6）：63-64
[2]魏晓丽，王冰“等腰三角形的性质”教学设计及点评[J]中国数学教育，2013（7/8）：36-38
[3]张维强“等腰三角形性质”教学的再发现：“同课异构”课题研究之反思[J]中小学数学（中学版），2011（10）：40-42
[4]季苹教什么知识：对教学的知识论基础的认识[M]北京：教育科学出版社，2009
[5]凯·斯泰西，罗斯·特纳数学素养测评：走进PISA测试[M]曹一鸣，李娜，董连春，等译北京：教育科学出版社，2017
[6]蔡品柱“等腰三角形性质”探究性学习的教学设计与反思[J]福建中学数学，2008（4）：26-28