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在八年级一次期末考试中有这样一道试题：
如图，A(1，－3)、B(5，－1)分别为两个仓库，X轴为一条铁路，在铁路线上选一点Q建车站，从车站到两个仓库修建两条笔直的公路，问车站建在何处才能使修路的费用最少?(画出点Q的位置，并写出点Q的坐标)。
这是一道有关轴对称和一次函数的综合应用题，它是在苏科版初中数学八年级(上册)第38页第9题的基础上结合一次函数的知识一编写出来的。从阅卷情况来看，学生普遍不会做。学生无从下手是因为他们没有建立好数学模型，缺少转化思想，缺乏联想。
我们先来回顾一下苏科版八(上)数学第38页第9题：如图：点A、B在直线L的同侧，点B′是点B关于直线L的对称点，AB′交L于点P
(1)AB′与AP+PB相等吗?为什么?
(2)在L上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+QB
与AP+PB的大小，并说明理由。
这道习题源于古希腊著名的“饮马问题”，大数学家海伦曾用轴对称方法巧妙地解决了这个问题。
学生出现的解题障碍充分说明，数学课堂教学中，以课本习题为载体，引导学生反思、概括、归纳总结，对习题进行深入研究，并加以联想、延拓，从中发现一些成果，得出新的结论，再用数学语言(文字、符号、图形)对实际研究对象进行近似刻画，将实际问题用数学方式表达，最终引导学生建立数学模型，它对于实际问题的解决有着重要的启发作用，是培养学生数学能力的一个重要方面。如：在解完八(上)数学第38页第9题后及时引导学生归纳、总结得出“利用轴对称可在直线L上找到唯一点P到A、B两点的距离之和最小”(依据是“两点之间，线段最短”)，从而引导学生建立了一种“轴对称可解决距离之和最小”的模型(以下称为“轴对称模型”)。
建立数学模型的目的是去“应用数学解决实际问题”，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构，即把生活中的一些背景不同的实际问题，抽象、转化为某一种数学模型，从而能够用同一种方法或同一思路去解决一类问题，取得“多题一解”效应，达到化繁为简、化难为易的目的。如上述期末试题，本题要求“修路的费用最少”可理解为“所修公路的总长最小”，进一步转化为在x轴上找点Q，使点Q到A、B两点的距离之和最小，再联想到用轴对称可解决此类问题，这样就完全化归为上述的“轴对称模型”，顺利解决问题了。
在初中数学中，能够用“轴对称模型”来解决的问题很多，例如：
例1：如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是。
分析：本题是一道纯几何题，乍一看不知从何处入手，但结论是有关“两条线段长度和最小”的问题，若能及时联想到上面的“轴对称模型”，便能很快地找到解题思路。先作出点D关于AB的对称点D′并连接DE、DE，则有ED′=ED，这样EC+ED=EC+ED′，在△ECD′中有EC+ED′>CD′；故有EC+ED≥CD′(当点E移动到点E时等号成立)，即CD的长就是EG+ED的最小值，下面只要求出CD的长即可。连接DB，由轴对称性质可知DZ=DB=1、∠ABD′=∠ABC=450，这样在Rt△CBD中，CB=2，DB=1，由勾股定理求得CD′=根号5，因此EC+ED的最小值是根号5。
例2：如图1，在圆柱形玻璃杯的外侧有一只蚂蚁从A点到杯内B点去吃蜜糖，已知从A点沿母线到杯口C的距离为5cm，B点沿母线到杯口D的距离为3cm，C、D两点之间的杯口弧线长为6cm。如果蚂蚁想尽快吃到蜜糖，问蚂蚁爬行的路线是多长?
分析：本题中蚂蚁想尽快吃到蜜糖，它爬行的路线就要最短。若把圆柱形玻璃杯的侧面看成是展开的一个平面图形(如图2)，把A、B看成直线CD同侧的两点。因为蚂蚁从杯子的外侧到内侧必经过杯口的边缘CD，即要在直线CD上找一点P，使PA+PB最小。这样问题又转化为“轴对称模型”，作出点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，连接PA，则点P为所求的点。折线APB就是蚂蚁要爬行的路线(AP段在杯子外侧，PB段在杯子内侧)，PA+PB的长为所求的最短路线的长。
由于PA=PA′，所以PA+PB=PA′+PB=A′B。过点B作BE⊥AA′于点E，则BE=CD=6cm，CE=BD=3cm，又有A′c=AC=5cm，所以A′E=A′C+CE=8cm，在Rt△A′BE中，由勾股定理可求得A′B=10cm。即蚂蚁爬行的最短路线的长是10cm。
例3已知点A(1，6)、点B(6，4)，在x轴和y轴上各找一点c、D，使四边形AD-CB的周长最短。
分析：四边形ADCB的边AB的长一定，只要AD+Dc+CB的值最小，四边形AD-CB的周长就最短。根据“轴对称模型”，作出点A关于y轴的对称点A′，作出点B关于x轴的对称点B′，再连接AB／分别交x、y轴于点C、D，由已知得A′(－1，6)、B′(6，－4)，进一步可求得直线AB／的关系式是：y=－x+，
从而可求得c、D两点的坐标分别是G(16/5，0)，D(0，32/7)
由此可见，大部分数学习题它们的解法虽然各不相同，但就考虑问题的思维方式而言，可归纳为若干种类型。学习中要充分发挥课本习题的作用，及时、不断地对课本习题从各个方面去类比、联想、归纳总结、延拓，力求建立对解决实际问题有启发作用的数学模型，并能将实际问题抽象化归成某一种数学模型来进行解释与应用，这样不仅可以挖掘习题的智力因素，充分发挥课本习题的潜能，而且能有效地培养学生的思维品质，更为重要的是培养了学生的创新能力。
如图，A(1，－3)、B(5，－1)分别为两个仓库，X轴为一条铁路，在铁路线上选一点Q建车站，从车站到两个仓库修建两条笔直的公路，问车站建在何处才能使修路的费用最少?(画出点Q的位置，并写出点Q的坐标)。
这是一道有关轴对称和一次函数的综合应用题，它是在苏科版初中数学八年级(上册)第38页第9题的基础上结合一次函数的知识一编写出来的。从阅卷情况来看，学生普遍不会做。学生无从下手是因为他们没有建立好数学模型，缺少转化思想，缺乏联想。
我们先来回顾一下苏科版八(上)数学第38页第9题：如图：点A、B在直线L的同侧，点B′是点B关于直线L的对称点，AB′交L于点P
(1)AB′与AP+PB相等吗?为什么?
(2)在L上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+QB
与AP+PB的大小，并说明理由。
这道习题源于古希腊著名的“饮马问题”，大数学家海伦曾用轴对称方法巧妙地解决了这个问题。
学生出现的解题障碍充分说明，数学课堂教学中，以课本习题为载体，引导学生反思、概括、归纳总结，对习题进行深入研究，并加以联想、延拓，从中发现一些成果，得出新的结论，再用数学语言(文字、符号、图形)对实际研究对象进行近似刻画，将实际问题用数学方式表达，最终引导学生建立数学模型，它对于实际问题的解决有着重要的启发作用，是培养学生数学能力的一个重要方面。如：在解完八(上)数学第38页第9题后及时引导学生归纳、总结得出“利用轴对称可在直线L上找到唯一点P到A、B两点的距离之和最小”(依据是“两点之间，线段最短”)，从而引导学生建立了一种“轴对称可解决距离之和最小”的模型(以下称为“轴对称模型”)。
建立数学模型的目的是去“应用数学解决实际问题”，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构，即把生活中的一些背景不同的实际问题，抽象、转化为某一种数学模型，从而能够用同一种方法或同一思路去解决一类问题，取得“多题一解”效应，达到化繁为简、化难为易的目的。如上述期末试题，本题要求“修路的费用最少”可理解为“所修公路的总长最小”，进一步转化为在x轴上找点Q，使点Q到A、B两点的距离之和最小，再联想到用轴对称可解决此类问题，这样就完全化归为上述的“轴对称模型”，顺利解决问题了。
在初中数学中，能够用“轴对称模型”来解决的问题很多，例如：
例1：如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是。
分析：本题是一道纯几何题，乍一看不知从何处入手，但结论是有关“两条线段长度和最小”的问题，若能及时联想到上面的“轴对称模型”，便能很快地找到解题思路。先作出点D关于AB的对称点D′并连接DE、DE，则有ED′=ED，这样EC+ED=EC+ED′，在△ECD′中有EC+ED′>CD′；故有EC+ED≥CD′(当点E移动到点E时等号成立)，即CD的长就是EG+ED的最小值，下面只要求出CD的长即可。连接DB，由轴对称性质可知DZ=DB=1、∠ABD′=∠ABC=450，这样在Rt△CBD中，CB=2，DB=1，由勾股定理求得CD′=根号5，因此EC+ED的最小值是根号5。
例2：如图1，在圆柱形玻璃杯的外侧有一只蚂蚁从A点到杯内B点去吃蜜糖，已知从A点沿母线到杯口C的距离为5cm，B点沿母线到杯口D的距离为3cm，C、D两点之间的杯口弧线长为6cm。如果蚂蚁想尽快吃到蜜糖，问蚂蚁爬行的路线是多长?
分析：本题中蚂蚁想尽快吃到蜜糖，它爬行的路线就要最短。若把圆柱形玻璃杯的侧面看成是展开的一个平面图形(如图2)，把A、B看成直线CD同侧的两点。因为蚂蚁从杯子的外侧到内侧必经过杯口的边缘CD，即要在直线CD上找一点P，使PA+PB最小。这样问题又转化为“轴对称模型”，作出点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，连接PA，则点P为所求的点。折线APB就是蚂蚁要爬行的路线(AP段在杯子外侧，PB段在杯子内侧)，PA+PB的长为所求的最短路线的长。
由于PA=PA′，所以PA+PB=PA′+PB=A′B。过点B作BE⊥AA′于点E，则BE=CD=6cm，CE=BD=3cm，又有A′c=AC=5cm，所以A′E=A′C+CE=8cm，在Rt△A′BE中，由勾股定理可求得A′B=10cm。即蚂蚁爬行的最短路线的长是10cm。
例3已知点A(1，6)、点B(6，4)，在x轴和y轴上各找一点c、D，使四边形AD-CB的周长最短。
分析：四边形ADCB的边AB的长一定，只要AD+Dc+CB的值最小，四边形AD-CB的周长就最短。根据“轴对称模型”，作出点A关于y轴的对称点A′，作出点B关于x轴的对称点B′，再连接AB／分别交x、y轴于点C、D，由已知得A′(－1，6)、B′(6，－4)，进一步可求得直线AB／的关系式是：y=－x+，
从而可求得c、D两点的坐标分别是G(16/5，0)，D(0，32/7)
由此可见，大部分数学习题它们的解法虽然各不相同，但就考虑问题的思维方式而言，可归纳为若干种类型。学习中要充分发挥课本习题的作用，及时、不断地对课本习题从各个方面去类比、联想、归纳总结、延拓，力求建立对解决实际问题有启发作用的数学模型，并能将实际问题抽象化归成某一种数学模型来进行解释与应用，这样不仅可以挖掘习题的智力因素，充分发挥课本习题的潜能，而且能有效地培养学生的思维品质，更为重要的是培养了学生的创新能力。