论文部分内容阅读
【摘要】勾股定理理论通俗易懂，但它也有着非常悠久的历史，在我国有关勾股定理的公式记载追溯到周朝时期。本文以勾股定理为主要研究对象，阐述其历史发展，分析它在数学中的应用，证实它对数学学习的重要性。
【关键词】勾股定理 数学应用 重要性
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）04-0233-02
引言
勾股定理（Pythagoras Theorem）是数学界的重要内容，作为一个基本的几何定理，在中学数学学习中是非常常见的知识点。它用来解决直角三角形三边长度问题——直角三角形的两条直角边的平方和相加等于其斜边的平方数。用公式表示为：a2+b2=c2，如右图所示：
至于叫“勾股”定理的原因，是在我国古代把直角三角形称作勾股形，对其三边有固定的名称，直角边中较短的一边称为勾，较长的称股，斜边称弦。
据黄家礼编著的几何内容得知，目前，勾股定理有近500种证明方式。不仅是数学中拥有最多证明方法的定理之一，而且是人类早期就发现并加以证明的定理之一。
一、勾股定理的历史发展
（一）国内的历史脉络
根据《第三届数学史与数学教育国际研讨会论文集》中王西辞和王耀杨对“勾股定理及其相关历史发展”研究中表明，我国历史上有关勾股定理的讨论和证明就有相当多的记载。例如，刘徽所注的我國数学经典《九章算术》里的勾股章节中，将勾股定理表述为“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”（p. 85）；又如我国中算家还利用“弦图”和“青卷白表”图，推算出各种数学关系，“今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺；从之不出二尺；邪之适出。问户高、广、衺各几何？”（p. 86）。
简单来说，我国在公元前十一世纪左右，即周朝期间，就有数学家商高提出了勾股定理，表述成我们今日常见的“勾三、股四、弦五”。尤其据《周髀算经》记载，商高原话为，“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五”，意思是直角三角形三边关系为：直角短边为3，长边为4时，斜边则为5。故后人也将勾股定理称为商高定理。
后来，三国时期的赵爽对勾股定理进一步注释，而且给出了勾股定理的证明方法。据李明凯研究，后期的刘徽所注的《九章算术》中，也给出了勾股定理的详细证明。直至清朝末期，著名数学家华蘅芳对勾股定理颇有研究，证明方法超过20种。
（二）国外的发展状况
同样地，勾股定理在国外也有相当长的历史。大约在公元前三千年时，古巴比伦人就已经知道并开始应用勾股定理，除此之外，他们还对勾股数组有一定的研究。李明凯研究发现，在美国哥伦比亚大学的图书馆中就珍藏着一块古巴比伦泥板，编号为“普林顿322”，记载了不少的勾股数。除了古巴比伦人，古埃及人也对勾股定理有所研究。譬如，他们在金字塔的设计和建筑过程中，还有在尼罗河水灾泛滥的时候需要测量土地时，都曾运用过勾股定理（p. 33）。
同时，古希腊也对勾股定理有重要研究。在西方公元前六世纪左右，希腊知名的数学家毕达哥拉斯发明了他的勾股定理证法，西方人也倾向于把勾股定理称为毕达哥拉斯定理。后来，在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，就对勾股定理提出了演绎证明的方式。19世纪时，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法，这个证法被广泛采用，被称为加菲尔德证法。
但是王阳在中国社会科学报中表示，“西方学者一直使用毕达哥拉斯定理的说法，少有勾股定理的用法”。虽然中西方对于勾股定理的认识和证明思路各有千秋，但都值得肯定和认可。
二、勾股定理的证法
（一）勾股定理的中方证法
中国对勾股定理的认识与“勾三股四弦五”有重要关联，这里简单介绍一下勾股定理在中国国内的证法——刘徽的“青朱出入图”。
我国数学家用直观图形的方式进行论证，刘徽所注的“青朱出入图”，利用“割补术”的数形关系加以论证几何问题。该图被表述为“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也”。意思是任意的直角三角形，把勾宽当红色正方形（朱方）的边长，把股长当青色正方形（青方）的边长，把这两个正方形对齐底边进行排列，不用分割线，以盈补虚，那么合成弦的正方形（弦方）开方的数就是弦长。
（二）勾股定理的西方证法
由此，可以看出，虽然中西方对于勾股定理的论证各有不同，但是都是将数字和图形相结合，有理有据，让勾股定理成为数学界的重要内容，而且在实际数学问题中有重要应用。
三、勾股定理的重要性
勾股定理看似简单，却吸引了无数的数学家和研究者，甚至是平民百姓对它加以研究和论证。距今，关于勾股定理的证法已经发展了大约500种，这是世界上都非常难得的事情。也从侧面证实了勾股定理的重要意义，不仅是对数学发展，而且对生活实际都有很高的价值。
首先，它对数学思维的发展产生了深刻影响。它的论证过程通常是数字和图形的结合过程，将抽象的思维转换成实际的图形操作，把数字和图像紧密而且有机地结合在一起，对数形结合的数学发展有不可估量的作用。
其次，它具有广泛的应用性，生活中关于直角三角形的问题，或者相关定理的变式应用都有着重要意义。例如勾股定理是余弦定理中的一种，对勾股定理的使用和论证能进一步推导和论证其他相关的真命题和定理，方便了对生活中几何问题的解决。
四、勾股定理的推广
（一）二维推广
根据勾股定理的解释和论证，可以得出勾股定理的逆定理，用数学语言表示则是：如果三角形三边长分别为a，b，c，而且满足条件a2+b2=c2，那么可以得出这个三角形为直角三角形。运用勾股定理的逆定理可以判断三角形的类型（直角、钝角或锐角三角形）。 除了逆定理的推广，还有勾股定理的推广定理，这点在欧几里得的《几何原本》中有重要体现，李明凯把这点表述成“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。根据这个推广定理可以用来计算线段的长度问题。在生活中也能利用勾股定理对直角三角形的三边数字关系进行套公式计算。
（二）三维推广
通过勾股定理对直角三角形的分析和理解，将二维平面中线的关系，推广到三维空间中面的关系。肖敏就对三维空间中的直角四面体的面积关系进行论证，这里只对特殊情况的证明过程加以记录，对一般情况的直四面体论证可以参看《勾股定理的三维推广》。特殊情况论证如下：
由此，可以大胆的假设，三维空间中根据勾股定理的推广会有另一个定式：“直四面体的侧面面积的平方和等于其底面面积的平方”。
五、勾股定理的应用
除了推广公式和定理，勾股定理在数学解题中也有重要应用，可以帮助解决中学数学中的许多难题，譬如可以用来辅助解决线段长度问题和动点坐标问题，近年来成为高考中的常见题型，可以说熟练掌握了勾股定理，对考试中几何问题的分数提高有十分重要的意义。
拿黄日坤分析勾股定理在解决线段长度的问题为例，简单介绍勾股定理在数学解题中的实际应用，直观感受勾股定理的魅力和实用性。
由此可以看出，勾股定理在数学中有极为重要的应用，一个定理能有效帮助解决相关数学难题，更注意到数学思维培養和数学与图形结合和转换的重要性。
六、总结
综上所述，勾股定理在中西方发展都具有非常悠久的历史，譬如中国的《九章算术》和西方的《几何原本》都对该定理做了详细的介绍和论证。定理内容简单，直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方，但有着非常实际的用途。不仅能在二维平面推广逆定理和推广定理，还能在三维空间进行直四面体的面积和推广，在数学解题中更是发挥重要的辅助作用。总而言之，勾股定理对数学发展和实际应用有着重要意义，未来还将继续发挥作用，为数学发展做出贡献。
参考文献：
[1]李明凯.千年第一定理——勾股定理[J].亚太教育，2015（07）：33.
[2]叶建忠.青朱出入图[J].教育教学论坛，2010（5）：112-113.
[3]肖敏.勾股定理的三维推广[J].教育教学论坛，2014（12）：236-237.
【关键词】勾股定理 数学应用 重要性
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）04-0233-02
引言
勾股定理（Pythagoras Theorem）是数学界的重要内容，作为一个基本的几何定理，在中学数学学习中是非常常见的知识点。它用来解决直角三角形三边长度问题——直角三角形的两条直角边的平方和相加等于其斜边的平方数。用公式表示为：a2+b2=c2，如右图所示：
至于叫“勾股”定理的原因，是在我国古代把直角三角形称作勾股形，对其三边有固定的名称，直角边中较短的一边称为勾，较长的称股，斜边称弦。
据黄家礼编著的几何内容得知，目前，勾股定理有近500种证明方式。不仅是数学中拥有最多证明方法的定理之一，而且是人类早期就发现并加以证明的定理之一。
一、勾股定理的历史发展
（一）国内的历史脉络
根据《第三届数学史与数学教育国际研讨会论文集》中王西辞和王耀杨对“勾股定理及其相关历史发展”研究中表明，我国历史上有关勾股定理的讨论和证明就有相当多的记载。例如，刘徽所注的我國数学经典《九章算术》里的勾股章节中，将勾股定理表述为“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”（p. 85）；又如我国中算家还利用“弦图”和“青卷白表”图，推算出各种数学关系，“今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺；从之不出二尺；邪之适出。问户高、广、衺各几何？”（p. 86）。
简单来说，我国在公元前十一世纪左右，即周朝期间，就有数学家商高提出了勾股定理，表述成我们今日常见的“勾三、股四、弦五”。尤其据《周髀算经》记载，商高原话为，“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五”，意思是直角三角形三边关系为：直角短边为3，长边为4时，斜边则为5。故后人也将勾股定理称为商高定理。
后来，三国时期的赵爽对勾股定理进一步注释，而且给出了勾股定理的证明方法。据李明凯研究，后期的刘徽所注的《九章算术》中，也给出了勾股定理的详细证明。直至清朝末期，著名数学家华蘅芳对勾股定理颇有研究，证明方法超过20种。
（二）国外的发展状况
同样地，勾股定理在国外也有相当长的历史。大约在公元前三千年时，古巴比伦人就已经知道并开始应用勾股定理，除此之外，他们还对勾股数组有一定的研究。李明凯研究发现，在美国哥伦比亚大学的图书馆中就珍藏着一块古巴比伦泥板，编号为“普林顿322”，记载了不少的勾股数。除了古巴比伦人，古埃及人也对勾股定理有所研究。譬如，他们在金字塔的设计和建筑过程中，还有在尼罗河水灾泛滥的时候需要测量土地时，都曾运用过勾股定理（p. 33）。
同时，古希腊也对勾股定理有重要研究。在西方公元前六世纪左右，希腊知名的数学家毕达哥拉斯发明了他的勾股定理证法，西方人也倾向于把勾股定理称为毕达哥拉斯定理。后来，在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，就对勾股定理提出了演绎证明的方式。19世纪时，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法，这个证法被广泛采用，被称为加菲尔德证法。
但是王阳在中国社会科学报中表示，“西方学者一直使用毕达哥拉斯定理的说法，少有勾股定理的用法”。虽然中西方对于勾股定理的认识和证明思路各有千秋，但都值得肯定和认可。
二、勾股定理的证法
（一）勾股定理的中方证法
中国对勾股定理的认识与“勾三股四弦五”有重要关联，这里简单介绍一下勾股定理在中国国内的证法——刘徽的“青朱出入图”。
我国数学家用直观图形的方式进行论证，刘徽所注的“青朱出入图”，利用“割补术”的数形关系加以论证几何问题。该图被表述为“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也”。意思是任意的直角三角形，把勾宽当红色正方形（朱方）的边长，把股长当青色正方形（青方）的边长，把这两个正方形对齐底边进行排列，不用分割线，以盈补虚，那么合成弦的正方形（弦方）开方的数就是弦长。
（二）勾股定理的西方证法
由此，可以看出，虽然中西方对于勾股定理的论证各有不同，但是都是将数字和图形相结合，有理有据，让勾股定理成为数学界的重要内容，而且在实际数学问题中有重要应用。
三、勾股定理的重要性
勾股定理看似简单，却吸引了无数的数学家和研究者，甚至是平民百姓对它加以研究和论证。距今，关于勾股定理的证法已经发展了大约500种，这是世界上都非常难得的事情。也从侧面证实了勾股定理的重要意义，不仅是对数学发展，而且对生活实际都有很高的价值。
首先，它对数学思维的发展产生了深刻影响。它的论证过程通常是数字和图形的结合过程，将抽象的思维转换成实际的图形操作，把数字和图像紧密而且有机地结合在一起，对数形结合的数学发展有不可估量的作用。
其次，它具有广泛的应用性，生活中关于直角三角形的问题，或者相关定理的变式应用都有着重要意义。例如勾股定理是余弦定理中的一种，对勾股定理的使用和论证能进一步推导和论证其他相关的真命题和定理，方便了对生活中几何问题的解决。
四、勾股定理的推广
（一）二维推广
根据勾股定理的解释和论证，可以得出勾股定理的逆定理，用数学语言表示则是：如果三角形三边长分别为a，b，c，而且满足条件a2+b2=c2，那么可以得出这个三角形为直角三角形。运用勾股定理的逆定理可以判断三角形的类型（直角、钝角或锐角三角形）。 除了逆定理的推广，还有勾股定理的推广定理，这点在欧几里得的《几何原本》中有重要体现，李明凯把这点表述成“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。根据这个推广定理可以用来计算线段的长度问题。在生活中也能利用勾股定理对直角三角形的三边数字关系进行套公式计算。
（二）三维推广
通过勾股定理对直角三角形的分析和理解，将二维平面中线的关系，推广到三维空间中面的关系。肖敏就对三维空间中的直角四面体的面积关系进行论证，这里只对特殊情况的证明过程加以记录，对一般情况的直四面体论证可以参看《勾股定理的三维推广》。特殊情况论证如下：
由此，可以大胆的假设，三维空间中根据勾股定理的推广会有另一个定式：“直四面体的侧面面积的平方和等于其底面面积的平方”。
五、勾股定理的应用
除了推广公式和定理，勾股定理在数学解题中也有重要应用，可以帮助解决中学数学中的许多难题，譬如可以用来辅助解决线段长度问题和动点坐标问题，近年来成为高考中的常见题型，可以说熟练掌握了勾股定理，对考试中几何问题的分数提高有十分重要的意义。
拿黄日坤分析勾股定理在解决线段长度的问题为例，简单介绍勾股定理在数学解题中的实际应用，直观感受勾股定理的魅力和实用性。
由此可以看出，勾股定理在数学中有极为重要的应用，一个定理能有效帮助解决相关数学难题，更注意到数学思维培養和数学与图形结合和转换的重要性。
六、总结
综上所述，勾股定理在中西方发展都具有非常悠久的历史，譬如中国的《九章算术》和西方的《几何原本》都对该定理做了详细的介绍和论证。定理内容简单，直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方，但有着非常实际的用途。不仅能在二维平面推广逆定理和推广定理，还能在三维空间进行直四面体的面积和推广，在数学解题中更是发挥重要的辅助作用。总而言之，勾股定理对数学发展和实际应用有着重要意义，未来还将继续发挥作用，为数学发展做出贡献。
参考文献：
[1]李明凯.千年第一定理——勾股定理[J].亚太教育，2015（07）：33.
[2]叶建忠.青朱出入图[J].教育教学论坛，2010（5）：112-113.
[3]肖敏.勾股定理的三维推广[J].教育教学论坛，2014（12）：236-237.