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作者简介：薄寒柏，男，1961年出生，汉族，毕业于陕西师范大学数学系，中学数学高级教师，户县第一中学数学教研组长。先后获“县教学先进个人、教学能手、十佳教研组长、名师、西安市先进班主任，陕西省优秀班主任”等荣誉和称号， 2007年授予“全国模范教师”称号。
由于平面向量是一个既有大小又有方向的量，所以它具有代数和几何的双重身份。比如： 这是一个几何特征， 这是一个代数特征；由于有了这个几何特征就能推出这个代数特征，反之亦然。所以以向量为背景的考题更有新的活力，更有意义。这里笔者通过近年来全国各省市高考试题，说明以向量为背景的三角问题的解法。望通行批评指正。
一、以向量为背景求角的三角函数值
以往三角函数求值的常见题型：①已知角α求该角α的三角函数值；②已知角α求该角α2、2α等的三角函数值；③已知关于角α的三角函数式的值，求该角α的三角函数值；④已知角是某几何图形（三角形、四边形等）的角，求该角α的三角函数值。有了向量这个工具，所有问题都可以在向量背景下，去求三角函数的值。
例1.（2012.陕西.文7）设向量a=（1，cosθ）与 =（-1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（ ）
A 22 B 12 C 0 D -1
解：利用向量垂直与倍角公式求得；
∵a⊥b
∴ a·b =-1+2cos2θ=0
∴ cos2θ=12
∴ cos2θ=2cos2θ-1=1-1=0
故选C.
三角函数求值通常为：知角求值和知值求值两种形式；这道试题以向量垂直为背景得出角 的值；让我们去求 的值，符合现代教育理念：在知识的交汇处出题，考查基础知识、基本技能的思想。
二、以向量为背景求三角函数式的最值
以向量为背景的三角函数式的最值问题，更具有灵活性。要求把向量的运算、三角公式记熟才能完成。
例2：（2004·湖南·理工第13题）已知向量a=（cosθ，sinθ）向量b=（3，-1），则|2a-b|的最大值是4 。
解：2a-b=（2cosθ-3，1+2sinθ）
∴|2a-b|=8-8cos（θ+π6）
∴当cos（θ+π6）=-1时，|2a-b|max=4
回味解法，所用知识：向量的减法、向量的摸、三角公式、余弦函数的值域、三角函数式的值。而将|2a-b|转化为三角函数，从而求三角函数的最值是关键。
三、以向量为背景求三角形内角的大小
求三角形的内角是解三角形最基本的问题，它要求熟练记忆三角公式，三角形中的有关定理（正弦定理、余弦定理、勾股定理、射影定理等），三角变换等知识。
例3：（2008。山东。理15）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（3，-1），n=（cosA， sinA）。若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B=
________________________________________
解：思路一：∵m⊥n
∴3cosA-sinA=0
∴tanA=3从而A=π3
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）
代入acosB+bcosA=ccosC
得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，
∴sin（A+B）=sinC
又∵A+B+C=π
∴sinC=sin2C
∴C=π2 从而B=π6。
思路二： ∵m⊥n
∴3cosA-sinA=0
∴tanA=3从而A=π3
将余弦定理代入acosB+bcosA=ccosC中，
得a×a2+c2-b22ac+b×b2+c2-a22bc =csinC
∴sinC=1
∴C=π2从而B=π6
回味解法，该试题设置以向量垂直为条件得一个三角方程，解这个三角方程求得角A， 再用正弦定理（思路1）或余弦定理（思路2）求得角C，从而由三角形内角和定理求得角B。
四、以向量为背景求三角形边长
例4：（2012。湖南。理7）在△ABC中，AB=2，AC=3，AB·BC=1则BC=（ ）
A.3 B.7 C.22 D.23
解：∵AB·BC=1
在△ABC中有：AB·BC=|AB|·|BC|cos（π-B）=2|BC|（-cosB）=-2|BC|cosB
∴cosB=-12|BC|
在△ABC中由余弦定理得：
cosB=|AB|2+|BC|2-|AC|22|AB||BC|=4+|BC|2-94|BC|
∴-12|BC|=4+|BC|2-94|BC|；
∴|BC|=3，故BC=3
该问题由向量的数量积得角B的余弦值，再余弦定理求得角B的余弦值，二式相等得三角形的边长。
五、以向量为背景求三角形的面积例5：（2010。辽宁。理8）（8）平面上O，A，B三点不共线，设OA=a，OB=b，则△OAB的面积等于（ ）
（A） |a|2 |b|2-（a·b）2
（B） |a|2 |b|2+（a·b）2
（C） 12|a|2 |b|2-（a·b）2
（D） 12|a|2 |b|2+（a·b）2 解：设向量a，b的夹角为θ， △ABC的面积为S，
∵a·b=|a||b|cosθ， sin2θ+cos2θ=1
∴cosθ=a·b|a||b|，sinθ=1-cos2θ S=12|a||b|sinθ=12|a||b|1-（a·b|a||b|）2=12|a|2|b|2-（a·b）2
故选C
本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。
六、以向量为背景的三角式恒等变形；
例6：（2012。江苏。理15）在△ABC中，已知AB·AC=3BA·BC.
（1）求证：tanB=3tanA；
（2）若cosC=55，求A的值.
解：（1）∵AB·AC=3BA·BC，
∴AB·AC·cosA=3BC·cosB，
即AC·cosA=3BA·BC·cosB。
由正弦定理，得ACsinB=BCsinA，
∴sinB·cosA=3sinA·cosB。
又∵0 ∴cosA>0，cosB>0。
∴sinBcosB=3·sinAcosA即tanB=3tanA。
这一问的变形过程是以平面向量的数量积AB·AC=3BA·BC为条件，得三角恒等式，然后由正弦定理和同角三角函数关系式，化简得要证明结果。这比以前那种给出一个繁杂的式，然后由三角公式化简的试题要好的多。
（2）∵cosC=55，0 ∴sinC=1-（55）2=255。
∴tanC=2。
∴tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2。
∴tanA+tanB1-tanA·tanB=-2。
由（1），得4tanA1-3tan2A=-2，
解得tanA=1。
∵cosA>0，
∴tanA=1。
∴A=π4。
第（2）问由cosC=55可求tanC，由三角形三角关系，得到tan[π-（A+B）]，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。该试题考查了平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。
平面向量作为工具在代数和几何中有着广泛的应用，在三角中、特别是在三角形中还有很多，这里不再赘述。
由于平面向量是一个既有大小又有方向的量，所以它具有代数和几何的双重身份。比如： 这是一个几何特征， 这是一个代数特征；由于有了这个几何特征就能推出这个代数特征，反之亦然。所以以向量为背景的考题更有新的活力，更有意义。这里笔者通过近年来全国各省市高考试题，说明以向量为背景的三角问题的解法。望通行批评指正。
一、以向量为背景求角的三角函数值
以往三角函数求值的常见题型：①已知角α求该角α的三角函数值；②已知角α求该角α2、2α等的三角函数值；③已知关于角α的三角函数式的值，求该角α的三角函数值；④已知角是某几何图形（三角形、四边形等）的角，求该角α的三角函数值。有了向量这个工具，所有问题都可以在向量背景下，去求三角函数的值。
例1.（2012.陕西.文7）设向量a=（1，cosθ）与 =（-1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（ ）
A 22 B 12 C 0 D -1
解：利用向量垂直与倍角公式求得；
∵a⊥b
∴ a·b =-1+2cos2θ=0
∴ cos2θ=12
∴ cos2θ=2cos2θ-1=1-1=0
故选C.
三角函数求值通常为：知角求值和知值求值两种形式；这道试题以向量垂直为背景得出角 的值；让我们去求 的值，符合现代教育理念：在知识的交汇处出题，考查基础知识、基本技能的思想。
二、以向量为背景求三角函数式的最值
以向量为背景的三角函数式的最值问题，更具有灵活性。要求把向量的运算、三角公式记熟才能完成。
例2：（2004·湖南·理工第13题）已知向量a=（cosθ，sinθ）向量b=（3，-1），则|2a-b|的最大值是4 。
解：2a-b=（2cosθ-3，1+2sinθ）
∴|2a-b|=8-8cos（θ+π6）
∴当cos（θ+π6）=-1时，|2a-b|max=4
回味解法，所用知识：向量的减法、向量的摸、三角公式、余弦函数的值域、三角函数式的值。而将|2a-b|转化为三角函数，从而求三角函数的最值是关键。
三、以向量为背景求三角形内角的大小
求三角形的内角是解三角形最基本的问题，它要求熟练记忆三角公式，三角形中的有关定理（正弦定理、余弦定理、勾股定理、射影定理等），三角变换等知识。
例3：（2008。山东。理15）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（3，-1），n=（cosA， sinA）。若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B=
________________________________________
解：思路一：∵m⊥n
∴3cosA-sinA=0
∴tanA=3从而A=π3
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）
代入acosB+bcosA=ccosC
得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，
∴sin（A+B）=sinC
又∵A+B+C=π
∴sinC=sin2C
∴C=π2 从而B=π6。
思路二： ∵m⊥n
∴3cosA-sinA=0
∴tanA=3从而A=π3
将余弦定理代入acosB+bcosA=ccosC中，
得a×a2+c2-b22ac+b×b2+c2-a22bc =csinC
∴sinC=1
∴C=π2从而B=π6
回味解法，该试题设置以向量垂直为条件得一个三角方程，解这个三角方程求得角A， 再用正弦定理（思路1）或余弦定理（思路2）求得角C，从而由三角形内角和定理求得角B。
四、以向量为背景求三角形边长
例4：（2012。湖南。理7）在△ABC中，AB=2，AC=3，AB·BC=1则BC=（ ）
A.3 B.7 C.22 D.23
解：∵AB·BC=1
在△ABC中有：AB·BC=|AB|·|BC|cos（π-B）=2|BC|（-cosB）=-2|BC|cosB
∴cosB=-12|BC|
在△ABC中由余弦定理得：
cosB=|AB|2+|BC|2-|AC|22|AB||BC|=4+|BC|2-94|BC|
∴-12|BC|=4+|BC|2-94|BC|；
∴|BC|=3，故BC=3
该问题由向量的数量积得角B的余弦值，再余弦定理求得角B的余弦值，二式相等得三角形的边长。
五、以向量为背景求三角形的面积例5：（2010。辽宁。理8）（8）平面上O，A，B三点不共线，设OA=a，OB=b，则△OAB的面积等于（ ）
（A） |a|2 |b|2-（a·b）2
（B） |a|2 |b|2+（a·b）2
（C） 12|a|2 |b|2-（a·b）2
（D） 12|a|2 |b|2+（a·b）2 解：设向量a，b的夹角为θ， △ABC的面积为S，
∵a·b=|a||b|cosθ， sin2θ+cos2θ=1
∴cosθ=a·b|a||b|，sinθ=1-cos2θ S=12|a||b|sinθ=12|a||b|1-（a·b|a||b|）2=12|a|2|b|2-（a·b）2
故选C
本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。
六、以向量为背景的三角式恒等变形；
例6：（2012。江苏。理15）在△ABC中，已知AB·AC=3BA·BC.
（1）求证：tanB=3tanA；
（2）若cosC=55，求A的值.
解：（1）∵AB·AC=3BA·BC，
∴AB·AC·cosA=3BC·cosB，
即AC·cosA=3BA·BC·cosB。
由正弦定理，得ACsinB=BCsinA，
∴sinB·cosA=3sinA·cosB。
又∵0
∴sinBcosB=3·sinAcosA即tanB=3tanA。
这一问的变形过程是以平面向量的数量积AB·AC=3BA·BC为条件，得三角恒等式，然后由正弦定理和同角三角函数关系式，化简得要证明结果。这比以前那种给出一个繁杂的式，然后由三角公式化简的试题要好的多。
（2）∵cosC=55，0
∴tanC=2。
∴tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2。
∴tanA+tanB1-tanA·tanB=-2。
由（1），得4tanA1-3tan2A=-2，
解得tanA=1。
∵cosA>0，
∴tanA=1。
∴A=π4。
第（2）问由cosC=55可求tanC，由三角形三角关系，得到tan[π-（A+B）]，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。该试题考查了平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。
平面向量作为工具在代数和几何中有着广泛的应用，在三角中、特别是在三角形中还有很多，这里不再赘述。