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函数的单调性,是函数的一个重要性质,也是高考中必然涉及到的问题。因此,在教学过程中,应予以足够的重视。而复合函数的单调性问题,更是一个难点。
常遇到这样的一类题目:判断函数y=log21/x的单调性。
解题过程如下:令g(x)=1/x,设01/x2>0,即g(x1)>g(x2)
又∵y=log2x是增函数,∴log2g(x1)>log2g(x2),即y1>y2,
因此,函数y=log21/x在(0, ∞)上递减。
我们看到,过程中有一个条件:“y=log2x是增函数”,有些学生就会产生这样的疑问:既然y=log2x是增函数,那么,y=log21/x为何又是减函数呢?这两个函数不都是以2为底的函数吗?
这里需要注意的是,这两个函数虽然底都是2,但其对应法则却有着本质的区别:y=log2x中x与y之间的关系,是直接通过“对数”连结的,而y=log21/x中,自变量x与因变量y之间的关系,却是先经过“取倒数”,然后再由“对数”连结的。后一个函数称为复合函数,即自变量x与因变量y的对应是经过两种以上的对应关系来完成的。复合函数的单调性往往容易产生以上错误的模糊的想法。为避免对概念偏解而产生错误的解法,我们应加深对函数单调性概念的进一步理解和诠释。在教学过程中,我采取了“性质动化,层层外渗”的方法,使学生巧妙地规避了概念上的模糊认识,避免了在解法上出错。
例一:判断y=log21/x在(0,∞)上的单调性。
解:设01/x2,
对上式两边同时取以2为底的对数,则有log21/x1>log21/x2
即y1>y2,所以,y=log21/x在(0, ∞)上递减。
在以上的解题过程中,不出现“y=log2x是增函数”的结论,避免了学生产生模糊的思想,而是将这个性质,置于“取以2为底的对数”这样一个变化过程之中。
例二:判断y= log1/2 (x-x2) 的单调性。
解:易知,函数定义域为(0,1),而里层函数是二次函数,单调性只能在(0,1)中考虑。进而可知,需要分情况进行讨论。
设g(x)=x-x2=-(x-1/2)2+1/4
(1)当0 两边取以1/2为底的对数,则有log1/2g(x1)>log1/2g(x2)(底小于1,不等式方向改变),即y1>y2;
所以,当0 (2)当1/2≤x<1时,同理可得y=log1/2(x-x2)递增。
例三:判断 的单调性。
解:设g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
当x≤1时,g(x)是减函数,即对x1g(x2);
对上式两边同时取以1/3(<1)为底的“指数”,则
<,即y1 同理,当x>1时, 是减函数。
以上几例的解题过程,强调了将对数函数、指数函数的性质“动化”,以“取……的对数”、“取……以的指数”的形式,体现了相应函数的性质。一个“取”字,揭示了运动的过程,也体现了“动”与“静”的辨证关系。这样,既灵活运用了对数、指数函数的性质,又可避免模糊矛盾的思想产生,对概念的深刻理解、灵活应用也起到了潜移默化的效果。
以上解题思想还可应用于求简单复合函数的值域问题。
例四:求函数y=log1/4(x2+x+1)的值域。
解:函数的定义域为R,设g(x)=x2+x+1=(x+1/2)2+3/4,
可知,对任意x∈R,g(x)≥3/4,
对上式取以1/4(<1)为底的对数,则:
log1/4g(x) ≤log1/43/4 , 即y ≤ 1+log1/43,
∴所求值域为(-∞,1+log1/43)。
例五:求y= 的值域。
解:设g(x)=4-x2 则知0 同时取以1/2为底的对数,则有log1/2g(x) ≥log1/24=-2
再对上不等式取以为底的指数,则 ≥10-2,
即y≥ ;∴所求函数的值域为[ ,+∞ ]。
“层层外渗法”对解决较难的题目,也是行之有效的方法,这里简谈一例,不再赘述。
例六:求函数 y=(x2-2x-3)-2 的单调区间。
这是复合函数求单调区间的一个难题,不太容易找到解题思路。但若遵循“由里及外,层层渗透”的方法,此题可应刃而解。
解:原函数化为y= =
由(x-1)2-4≠0,可得x≠-1且 x≠3
而对于(x-1)2来讲,又可由对称轴x=1分为不同的区间。因此,所求单调区间必然有四个区间,分别是
(- ∞,-1) , (-1,1) , (1,3) , (3,+ ∞)。
而函数在各个区间上的单调性,又将如何判断呢?
设t(x)=(x-1)2,g(t)=(t-4)2,则y=
设x1t(x2)>t(-1) 即t1>t2>4 (见图一) ,而对外层函数g(t)来讲,则有
g(t1)>g(t2)>g(4)(见图二),即g1>g2>0
(图一) (图二)
所以,1/g1<1/g2 ,即y1 所以,(-∞,-1)是所求的递增区间。
同理可知,(1,3)为增区间,(-1,1),(3,+∞)为减区间。
从做题形式上,采用由里及表、从内向外的层层外渗,使学生对此类题目的解题方法,有了形象化的认识,也加深了对性质的深层次的理解。同时,更培养了学生从不同角度审视问题、动化性质的变换能力。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
常遇到这样的一类题目:判断函数y=log21/x的单调性。
解题过程如下:令g(x)=1/x,设0
又∵y=log2x是增函数,∴log2g(x1)>log2g(x2),即y1>y2,
因此,函数y=log21/x在(0, ∞)上递减。
我们看到,过程中有一个条件:“y=log2x是增函数”,有些学生就会产生这样的疑问:既然y=log2x是增函数,那么,y=log21/x为何又是减函数呢?这两个函数不都是以2为底的函数吗?
这里需要注意的是,这两个函数虽然底都是2,但其对应法则却有着本质的区别:y=log2x中x与y之间的关系,是直接通过“对数”连结的,而y=log21/x中,自变量x与因变量y之间的关系,却是先经过“取倒数”,然后再由“对数”连结的。后一个函数称为复合函数,即自变量x与因变量y的对应是经过两种以上的对应关系来完成的。复合函数的单调性往往容易产生以上错误的模糊的想法。为避免对概念偏解而产生错误的解法,我们应加深对函数单调性概念的进一步理解和诠释。在教学过程中,我采取了“性质动化,层层外渗”的方法,使学生巧妙地规避了概念上的模糊认识,避免了在解法上出错。
例一:判断y=log21/x在(0,∞)上的单调性。
解:设0
对上式两边同时取以2为底的对数,则有log21/x1>log21/x2
即y1>y2,所以,y=log21/x在(0, ∞)上递减。
在以上的解题过程中,不出现“y=log2x是增函数”的结论,避免了学生产生模糊的思想,而是将这个性质,置于“取以2为底的对数”这样一个变化过程之中。
例二:判断y= log1/2 (x-x2) 的单调性。
解:易知,函数定义域为(0,1),而里层函数是二次函数,单调性只能在(0,1)中考虑。进而可知,需要分情况进行讨论。
设g(x)=x-x2=-(x-1/2)2+1/4
(1)当0
所以,当0
例三:判断 的单调性。
解:设g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
当x≤1时,g(x)是减函数,即对x1
对上式两边同时取以1/3(<1)为底的“指数”,则
<,即y1
以上几例的解题过程,强调了将对数函数、指数函数的性质“动化”,以“取……的对数”、“取……以的指数”的形式,体现了相应函数的性质。一个“取”字,揭示了运动的过程,也体现了“动”与“静”的辨证关系。这样,既灵活运用了对数、指数函数的性质,又可避免模糊矛盾的思想产生,对概念的深刻理解、灵活应用也起到了潜移默化的效果。
以上解题思想还可应用于求简单复合函数的值域问题。
例四:求函数y=log1/4(x2+x+1)的值域。
解:函数的定义域为R,设g(x)=x2+x+1=(x+1/2)2+3/4,
可知,对任意x∈R,g(x)≥3/4,
对上式取以1/4(<1)为底的对数,则:
log1/4g(x) ≤log1/43/4 , 即y ≤ 1+log1/43,
∴所求值域为(-∞,1+log1/43)。
例五:求y= 的值域。
解:设g(x)=4-x2 则知0
再对上不等式取以为底的指数,则 ≥10-2,
即y≥ ;∴所求函数的值域为[ ,+∞ ]。
“层层外渗法”对解决较难的题目,也是行之有效的方法,这里简谈一例,不再赘述。
例六:求函数 y=(x2-2x-3)-2 的单调区间。
这是复合函数求单调区间的一个难题,不太容易找到解题思路。但若遵循“由里及外,层层渗透”的方法,此题可应刃而解。
解:原函数化为y= =
由(x-1)2-4≠0,可得x≠-1且 x≠3
而对于(x-1)2来讲,又可由对称轴x=1分为不同的区间。因此,所求单调区间必然有四个区间,分别是
(- ∞,-1) , (-1,1) , (1,3) , (3,+ ∞)。
而函数在各个区间上的单调性,又将如何判断呢?
设t(x)=(x-1)2,g(t)=(t-4)2,则y=
设x1
g(t1)>g(t2)>g(4)(见图二),即g1>g2>0
(图一) (图二)
所以,1/g1<1/g2 ,即y1
同理可知,(1,3)为增区间,(-1,1),(3,+∞)为减区间。
从做题形式上,采用由里及表、从内向外的层层外渗,使学生对此类题目的解题方法,有了形象化的认识,也加深了对性质的深层次的理解。同时,更培养了学生从不同角度审视问题、动化性质的变换能力。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文