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数学教学的一个主要目标是：帮助学生学会思维。计算教学的重点是：数的运算。这是小学数学教学的一条主线。计算教学时我们往往关注：如何让学生通过一定的计算获得相关的计算技能，却忽视了超越具体的计算，从更一般的角度分析思考，认识不同运算之间的关系，并原有的知识之上进行抽象概括。计算教学中最重要的是动脑思考，而不是动手计算，要把握好动手计算与动脑思考之间的关系。也就是说要在学生动手计算之前，先引导学生进行思考：应该怎么做？为什么这样做？不能让学生一味地做，一味地算，一味地动手，就是不动脑，从而出现“盲目干”的现象。因此，我们在教学中就不应简单地提倡动手计算，关注计算能力，而应更重视“活动的内化”。通过计算教学活动，为学生创造机会，帮助学生学会思维，为他们以后的学习奠定坚实的基础。
我们的教学习惯性地在低水平的技能训练上进行较大强度的训练，在高水平的技能发展上却不够关注，我们要努力做到高低适度。不管层次多高的数学学习都离不开做题，关键的是做怎样的题。决定学生数学素养的不是做题的数量，而是题目的质量。衡量一个学生的收获不是题目做了多少，而是思维能力的发展。有的题做得再多，也只是技能的短时熟练，而有的题做得不多，促进的却是思维的长期发展。
一、留足空间，积极思考
数学是学生自己通过思考的产物，首先要让学生思考起来，把自己的方法和别人的方法交换，收到的效果就会更佳。思考数学问题是很费时的，我们在课堂上要留下足够的时间和空间，能够提供给学生思考，努力帮助学生更积极地思考，并逐步学会想得更合理、更深远、更清晰。只有通过自己思考，才能真正做到“心中有数”，更好地实现超越具体计算，分析、变化和比较，并在老师的指导下慢慢感悟，不断进行優化。
“100以内的退位减法”是二年级上册的教学重点和难点，以往的教学总是聚焦在计算方法上：借助学具操作，明白个位不够减，从十位退“1”作“10”再减的计算方法。这样的教学定位，虽然能很好地训练学生的计算技能，但是缺乏思维含量。为了使学生从会计算到会思考，我决定放手让学生利用已有知识进行自主探索。学生的基础不一样，在完成题目的时候会出现时间先后的差异和计算方法的差异，这些差异就是教学展开的资源。
学生在动手计算和独立思考后，主要得出以下几种方法。
51-36=？（新人教版二年级上册第19面例2）
1.用列竖式的方法进行计算。
2.11-6=5 40-30=10 10 5=15（此法与列竖式
方法相同）
3.51-31=20 20-5=15 （把36拆成31和5）
4.51-30=21 21-6=15 （把36拆成30和6）
5.50-6=44 44-30 1=15 （相当于20以内退位减法
的破十法）
6.6-1=5 50-30=20 20-5=15
这种计算方法一时难以判断是不是巧合，于是就换了两个数试了几回，结果都是正确的，但其中的算理该如何解释？就在大家百思不得其解时，这位学生对自己的算法给出了解释：6-1=5，是被减数个位的1比减数个位的6小5，第一步减掉了1个，接着减去30后还要减去刚才少减的5。学生的奇思妙想得到了肯定，全班都为之兴高采烈，这也是对学生的最佳鼓励和褒奖。
学生的差异就是一部鲜活的教材。以学生不同的算法为教学资源，并进行算法沟通和优化。首先要判断每一种计算方法是否正确，如果错了，找出错因并进行改正。接着让学生说说自己的计算方法，再看看别人怎么算？找找自己的算法和他人的算法有什么不同？这样不但能把自己的思维清晰、准确地表达出来，而且学会了理解别人的思路。在这么多种算法中，学生自己想出来的方法，往往是最容易理解的，但未必是最简捷的。此时，不必强制学生接受书本上的算法，而是引导学生沟通不同算法的联系，在明白不同算法的基础上理解书本上最优算法的算理。使学生既会书本上的算法，又会根据自己的理解选择不同的计算方法。这时学生既收获了学习的自信和自豪感，又能逐步养成善于思考、勇于探索的习惯。
二、精练细导，以练提思
练习题在数学教学中占据着“半壁江山”，如果发展学生的数学思维仅仅是新授课的教学任务，肯定会对优化效果产生负面影响，练习课同样也要承担起提高学生数学思维能力的教学任务，要从纯粹的解题走向思考感悟和经验积累。因此教师应积极挖掘练习题中的数学思维因素，放慢教学的脚步，放大数学思维的空间，让“小”习题闪耀出“大”思维的光芒。
例如：新人教版五年级上册“小数除法”P31练习七中的第9题：
9.计算下面各题，你能发现什么？
6÷1.5 1.2÷1.2 49.5÷1.1
6÷1 1.2÷1 49.5÷1
6÷0.5 1.2÷0.8 49.5÷0.45
通过计算、比较商与被除数的关系，学生会发现：
一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。
一个数（0除外）除以等于1的数，商等于被除数。
一个数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数。
当学生通过计算发现：一个数（0除外）除以大于1（等于1或小于1）的数时，商与被除数之间大小关系的规律后，我顺手把原来题目中的除号全都改成乘号。让学生不计算先说一说：计算的结果和第一个因数的关系比较有什么变化规律？这变化规律与刚才的除法规律一样吗？然后再让学生进行计算验证，得出规律。到这里我并没有就此罢手，而是接着问：为什么乘法和除法的规律会不一样呢？请你举例说明。一学生答道：6×0.5表示：6的一半是多少？答案肯定比6小。而6÷0.5表示：什么数的一半是6？这个数肯定比6大。经过这位同学的启发，又一学生抢答道：6×1.5表示：6的1.5倍是多少？一倍刚刚是6，一倍多的数肯定比6大。而6÷1.5恰恰相反，表示：什么数的1.5倍是6。这个数肯定比6要小。在练习商与被除数关系时顺带复习积与第一个因数的关系，以补全学生的知识结构，形成完整的知识网络。对于此类练习，教师在备课过程中就要做到心中有数，进而有的放矢。 数学思维的提升不是一蹴而就的，需要长期不断积累。练习题的解决过程往往就是数学思想方法的运用过程，暗藏着数学思维开发的契机。有时只要一个小小的改变，一个小小的追问，创造机会敏锐地捕捉数学思维开发的机会，使学生的思维过程得以展现，实现隐性思维可视化，在练习巩固过程中锻炼推理能力。
三、变式练习，搅动思维
在学习过程中，学生会养成这样一种解题习惯，遇到一个问题时，首先想到的是怎么算，关注问题的解决，而不是对问题的分析与思考。通过课堂观察，我们发现：当学生遇到问题时，他们首先想到的是：如何求得结果，而不是分析数量关系。因此我们应从源头出发，不仅要把握学生的思维动向，还要了解学生的经验基础。从问题的预设开始，提出与学生认知水平相适应的问题，优化设计，引导学生完善思维历程。
例如：新人教版五年级上册“小数乘法”P17练习四中的第5题：
学生刚刚学习了小数乘法，已经熟练掌握了小数乘法的计算方法。一看到题目就迫不及待地动笔算起来，使探索解题的思考过程缩水了。当然练习的主要目的是巩固和内化学生的认知。但是在巩固和内化的过程中我们不能一味“傻练”，而应有所变化——从不同角度破除认知的僵硬模式，借助问题设计，帮助学生逐步实现认知的抽象化和深刻化。为此，我把题目做了如下改变：
把水果的价格变成不确定，逼着学生思考：苹果和梨的总价最高为49.1元，香蕉每箱价格不能超过多少元，100元钱够了。如果香蕉每箱为29.8元，要想购买这四箱水果，苹果的价格只能是多少元？香蕉每箱的价格还有可能是多少元？要想用100元买下这四箱水果，苹果的价格有可能是多少？为什么大家很少考虑梨的价格呢？对问题做这样的改变，目的是打破学生一贯的思维模式，顺着问题设计展开教学，让教学的指向与学生的思维发展的进程合拍，引领学生一步步经历思维过程。学生思维的深入需要老师有意识地引导，通过对问题进行发掘，帮助学生在更高层面上展开有根有据的思考。
四、魅力共振，深思致远
教学的情境设置对调动学生的学习积极性有一定的意义，但这些外在的力量相较于数学自身内在的魅力会黯然失色。数学的理性美、智慧精神、至高无上的魅力更能吸引学生探索真知、渴求智慧、涵养心性。苏霍姆林斯基说过：人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探索者。在儿童的精神世界中，这种需求特别强烈，我们要不断向这种需求提供养料，否则它就会逐渐消失，探索与求知的欲望也会与之一道熄灭。于是我们要努力让自己保持对数学的新奇感，开发与学生共同分享的课程，以便与学生一起沉浸于智慧挑战、发现乐趣与数学美的享受中。
数学课堂既是问题不断产生的地方，又是问题不断消失的地方。让问题渗透贯穿教学每个过程，见缝插针，因“题”制宜，精心设计教学活动，让学生在具体生动的习题中，感受数学魅力，逐渐形成认识的乐趣。例如：新人教版一年级上册“整理与复习”P101的第一道练习题：这是对20以内所有的进位加法算式进行整理。
一出示表格我就问：你能把余下的算式填完吗？当学生完成后。师：你是怎么填的？生：我是竖着填，第一个加数都是一样的，第二个加数都增加1。师：你们觉得他说得对吗？当第一个加数不变，第二个加数增加1，和会怎么变？学生会顺利找出规律。师：如果第一个加数不变，第二个加数减少，和会怎么变？生：第一个加数不变，第二个加数减少几，和就会减少几，比如：7 8=15，7 7=14，7 6=13……生：增加也是一样的，第一个加数不变，第二个加数增加几，和就会增加几。得出：一个加数不变，另一个加数增加几（减少几），和也会增加几（减少几）。接着利用规律练习，让学生在相互出题的过程中，利用规律计算，感受便捷。正在学生兴奋互算时，我问：有谁横着填吗？横着填有什么发现吗？生：横着填，和都是一样的。师：为什么两个加数不一样，而和却一样呢？这两个加数是有什么联系？生：就像9 2=11，8 3=11第一个加数减少1，第二个加数增加1，而和不变。生：还有7 4=11，第一个加数减少2，第二个加数增加2，和不变，得出：一个加数增加几，另一个加数减少相同的数，和不变。师：如果第一个加数增加1，第二个加数增加2，和还是不变吗？如果第一个加数减少1，第二个加数减少3，和会怎么变？生：变的。比如：……得出：一个加数增加（减少）a，另一个加数增加（减少）b，和就会增加（减少）（a b）。师：如果一个加数增加a，而另一个加数减少b，和会怎么变？从而得出和的变化规律。
接着让学生找出两个相同数相加的式题，并说出得数。师：你只要知道几道题的得数就行了？生：我只要记住二十题就行，其他几题只是把加数的位置进行交换，和不变。可是有个学生大声叫道：我只要记住一道题就行了，其他各题根据和的变化规律，很快就能算出来。不信你们可以考考我……生：这方法真不错！不过我还发现：第一行的和都是单数，第二行的和都是双数。师：单数也叫奇数，双数也叫偶数。哪两个数相加和是奇数？哪两个数相加和是偶数？生：9 2，8 3，7 6……的和是奇数，9 3，8 4，7 7……的和是偶数。生：一个偶数加一个奇数的和是奇数，两个偶数的和，两个奇数的和是偶数。生：偶数 奇数=奇数，偶数 偶数=偶数，奇数 奇数=偶数。
以上这些都是学生通过努力，对表格展开进攻所斩获的。学生在不断地思维撞击中，让数学显得可感、可操作、奇趣、亲切甚至引人入胜，在不停探究中发现一个个奇趣的规律，感受和体会数学之美，获得对数学的认同。学生要解决的问题有时可能会很平常，很简单，如果它能激起学生的好奇心，把学生的创造力发挥出来，并能用自己的方法解决，那么学生就会经历解决问题的那种快感，享受发现的喜悦，这样的经历会培养出对思考的爱好，并对思想和性格产生终身影响。
数学能让一部分人终身追随，不仅仅因为简单，而是有点难，数学因此而变得更有魅力。想方设法地让学生思考——問题能解决又不能信手可得，学习有信心又需要再努力。使学生从此爱上了思考，努力地克服一个个难题，不断体验思考的快乐。
参考文献：
[1]郑毓信.教数学想数学学数学系列.小学数学教师，2015-03-06.
[2]朱宇.优化问题设计.让思维不“抄近路”.小学数学教师，2015-04-71.
[3]唐彩斌.使劲的方向.小学数学教师，2015-03-01.
我们的教学习惯性地在低水平的技能训练上进行较大强度的训练，在高水平的技能发展上却不够关注，我们要努力做到高低适度。不管层次多高的数学学习都离不开做题，关键的是做怎样的题。决定学生数学素养的不是做题的数量，而是题目的质量。衡量一个学生的收获不是题目做了多少，而是思维能力的发展。有的题做得再多，也只是技能的短时熟练，而有的题做得不多，促进的却是思维的长期发展。
一、留足空间，积极思考
数学是学生自己通过思考的产物，首先要让学生思考起来，把自己的方法和别人的方法交换，收到的效果就会更佳。思考数学问题是很费时的，我们在课堂上要留下足够的时间和空间，能够提供给学生思考，努力帮助学生更积极地思考，并逐步学会想得更合理、更深远、更清晰。只有通过自己思考，才能真正做到“心中有数”，更好地实现超越具体计算，分析、变化和比较，并在老师的指导下慢慢感悟，不断进行優化。
“100以内的退位减法”是二年级上册的教学重点和难点，以往的教学总是聚焦在计算方法上：借助学具操作，明白个位不够减，从十位退“1”作“10”再减的计算方法。这样的教学定位，虽然能很好地训练学生的计算技能，但是缺乏思维含量。为了使学生从会计算到会思考，我决定放手让学生利用已有知识进行自主探索。学生的基础不一样，在完成题目的时候会出现时间先后的差异和计算方法的差异，这些差异就是教学展开的资源。
学生在动手计算和独立思考后，主要得出以下几种方法。
51-36=？（新人教版二年级上册第19面例2）
1.用列竖式的方法进行计算。
2.11-6=5 40-30=10 10 5=15（此法与列竖式
方法相同）
3.51-31=20 20-5=15 （把36拆成31和5）
4.51-30=21 21-6=15 （把36拆成30和6）
5.50-6=44 44-30 1=15 （相当于20以内退位减法
的破十法）
6.6-1=5 50-30=20 20-5=15
这种计算方法一时难以判断是不是巧合，于是就换了两个数试了几回，结果都是正确的，但其中的算理该如何解释？就在大家百思不得其解时，这位学生对自己的算法给出了解释：6-1=5，是被减数个位的1比减数个位的6小5，第一步减掉了1个，接着减去30后还要减去刚才少减的5。学生的奇思妙想得到了肯定，全班都为之兴高采烈，这也是对学生的最佳鼓励和褒奖。
学生的差异就是一部鲜活的教材。以学生不同的算法为教学资源，并进行算法沟通和优化。首先要判断每一种计算方法是否正确，如果错了，找出错因并进行改正。接着让学生说说自己的计算方法，再看看别人怎么算？找找自己的算法和他人的算法有什么不同？这样不但能把自己的思维清晰、准确地表达出来，而且学会了理解别人的思路。在这么多种算法中，学生自己想出来的方法，往往是最容易理解的，但未必是最简捷的。此时，不必强制学生接受书本上的算法，而是引导学生沟通不同算法的联系，在明白不同算法的基础上理解书本上最优算法的算理。使学生既会书本上的算法，又会根据自己的理解选择不同的计算方法。这时学生既收获了学习的自信和自豪感，又能逐步养成善于思考、勇于探索的习惯。
二、精练细导，以练提思
练习题在数学教学中占据着“半壁江山”，如果发展学生的数学思维仅仅是新授课的教学任务，肯定会对优化效果产生负面影响，练习课同样也要承担起提高学生数学思维能力的教学任务，要从纯粹的解题走向思考感悟和经验积累。因此教师应积极挖掘练习题中的数学思维因素，放慢教学的脚步，放大数学思维的空间，让“小”习题闪耀出“大”思维的光芒。
例如：新人教版五年级上册“小数除法”P31练习七中的第9题：
9.计算下面各题，你能发现什么？
6÷1.5 1.2÷1.2 49.5÷1.1
6÷1 1.2÷1 49.5÷1
6÷0.5 1.2÷0.8 49.5÷0.45
通过计算、比较商与被除数的关系，学生会发现：
一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。
一个数（0除外）除以等于1的数，商等于被除数。
一个数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数。
当学生通过计算发现：一个数（0除外）除以大于1（等于1或小于1）的数时，商与被除数之间大小关系的规律后，我顺手把原来题目中的除号全都改成乘号。让学生不计算先说一说：计算的结果和第一个因数的关系比较有什么变化规律？这变化规律与刚才的除法规律一样吗？然后再让学生进行计算验证，得出规律。到这里我并没有就此罢手，而是接着问：为什么乘法和除法的规律会不一样呢？请你举例说明。一学生答道：6×0.5表示：6的一半是多少？答案肯定比6小。而6÷0.5表示：什么数的一半是6？这个数肯定比6大。经过这位同学的启发，又一学生抢答道：6×1.5表示：6的1.5倍是多少？一倍刚刚是6，一倍多的数肯定比6大。而6÷1.5恰恰相反，表示：什么数的1.5倍是6。这个数肯定比6要小。在练习商与被除数关系时顺带复习积与第一个因数的关系，以补全学生的知识结构，形成完整的知识网络。对于此类练习，教师在备课过程中就要做到心中有数，进而有的放矢。 数学思维的提升不是一蹴而就的，需要长期不断积累。练习题的解决过程往往就是数学思想方法的运用过程，暗藏着数学思维开发的契机。有时只要一个小小的改变，一个小小的追问，创造机会敏锐地捕捉数学思维开发的机会，使学生的思维过程得以展现，实现隐性思维可视化，在练习巩固过程中锻炼推理能力。
三、变式练习，搅动思维
在学习过程中，学生会养成这样一种解题习惯，遇到一个问题时，首先想到的是怎么算，关注问题的解决，而不是对问题的分析与思考。通过课堂观察，我们发现：当学生遇到问题时，他们首先想到的是：如何求得结果，而不是分析数量关系。因此我们应从源头出发，不仅要把握学生的思维动向，还要了解学生的经验基础。从问题的预设开始，提出与学生认知水平相适应的问题，优化设计，引导学生完善思维历程。
例如：新人教版五年级上册“小数乘法”P17练习四中的第5题：
学生刚刚学习了小数乘法，已经熟练掌握了小数乘法的计算方法。一看到题目就迫不及待地动笔算起来，使探索解题的思考过程缩水了。当然练习的主要目的是巩固和内化学生的认知。但是在巩固和内化的过程中我们不能一味“傻练”，而应有所变化——从不同角度破除认知的僵硬模式，借助问题设计，帮助学生逐步实现认知的抽象化和深刻化。为此，我把题目做了如下改变：
把水果的价格变成不确定，逼着学生思考：苹果和梨的总价最高为49.1元，香蕉每箱价格不能超过多少元，100元钱够了。如果香蕉每箱为29.8元，要想购买这四箱水果，苹果的价格只能是多少元？香蕉每箱的价格还有可能是多少元？要想用100元买下这四箱水果，苹果的价格有可能是多少？为什么大家很少考虑梨的价格呢？对问题做这样的改变，目的是打破学生一贯的思维模式，顺着问题设计展开教学，让教学的指向与学生的思维发展的进程合拍，引领学生一步步经历思维过程。学生思维的深入需要老师有意识地引导，通过对问题进行发掘，帮助学生在更高层面上展开有根有据的思考。
四、魅力共振，深思致远
教学的情境设置对调动学生的学习积极性有一定的意义，但这些外在的力量相较于数学自身内在的魅力会黯然失色。数学的理性美、智慧精神、至高无上的魅力更能吸引学生探索真知、渴求智慧、涵养心性。苏霍姆林斯基说过：人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探索者。在儿童的精神世界中，这种需求特别强烈，我们要不断向这种需求提供养料，否则它就会逐渐消失，探索与求知的欲望也会与之一道熄灭。于是我们要努力让自己保持对数学的新奇感，开发与学生共同分享的课程，以便与学生一起沉浸于智慧挑战、发现乐趣与数学美的享受中。
数学课堂既是问题不断产生的地方，又是问题不断消失的地方。让问题渗透贯穿教学每个过程，见缝插针，因“题”制宜，精心设计教学活动，让学生在具体生动的习题中，感受数学魅力，逐渐形成认识的乐趣。例如：新人教版一年级上册“整理与复习”P101的第一道练习题：这是对20以内所有的进位加法算式进行整理。
一出示表格我就问：你能把余下的算式填完吗？当学生完成后。师：你是怎么填的？生：我是竖着填，第一个加数都是一样的，第二个加数都增加1。师：你们觉得他说得对吗？当第一个加数不变，第二个加数增加1，和会怎么变？学生会顺利找出规律。师：如果第一个加数不变，第二个加数减少，和会怎么变？生：第一个加数不变，第二个加数减少几，和就会减少几，比如：7 8=15，7 7=14，7 6=13……生：增加也是一样的，第一个加数不变，第二个加数增加几，和就会增加几。得出：一个加数不变，另一个加数增加几（减少几），和也会增加几（减少几）。接着利用规律练习，让学生在相互出题的过程中，利用规律计算，感受便捷。正在学生兴奋互算时，我问：有谁横着填吗？横着填有什么发现吗？生：横着填，和都是一样的。师：为什么两个加数不一样，而和却一样呢？这两个加数是有什么联系？生：就像9 2=11，8 3=11第一个加数减少1，第二个加数增加1，而和不变。生：还有7 4=11，第一个加数减少2，第二个加数增加2，和不变，得出：一个加数增加几，另一个加数减少相同的数，和不变。师：如果第一个加数增加1，第二个加数增加2，和还是不变吗？如果第一个加数减少1，第二个加数减少3，和会怎么变？生：变的。比如：……得出：一个加数增加（减少）a，另一个加数增加（减少）b，和就会增加（减少）（a b）。师：如果一个加数增加a，而另一个加数减少b，和会怎么变？从而得出和的变化规律。
接着让学生找出两个相同数相加的式题，并说出得数。师：你只要知道几道题的得数就行了？生：我只要记住二十题就行，其他几题只是把加数的位置进行交换，和不变。可是有个学生大声叫道：我只要记住一道题就行了，其他各题根据和的变化规律，很快就能算出来。不信你们可以考考我……生：这方法真不错！不过我还发现：第一行的和都是单数，第二行的和都是双数。师：单数也叫奇数，双数也叫偶数。哪两个数相加和是奇数？哪两个数相加和是偶数？生：9 2，8 3，7 6……的和是奇数，9 3，8 4，7 7……的和是偶数。生：一个偶数加一个奇数的和是奇数，两个偶数的和，两个奇数的和是偶数。生：偶数 奇数=奇数，偶数 偶数=偶数，奇数 奇数=偶数。
以上这些都是学生通过努力，对表格展开进攻所斩获的。学生在不断地思维撞击中，让数学显得可感、可操作、奇趣、亲切甚至引人入胜，在不停探究中发现一个个奇趣的规律，感受和体会数学之美，获得对数学的认同。学生要解决的问题有时可能会很平常，很简单，如果它能激起学生的好奇心，把学生的创造力发挥出来，并能用自己的方法解决，那么学生就会经历解决问题的那种快感，享受发现的喜悦，这样的经历会培养出对思考的爱好，并对思想和性格产生终身影响。
数学能让一部分人终身追随，不仅仅因为简单，而是有点难，数学因此而变得更有魅力。想方设法地让学生思考——問题能解决又不能信手可得，学习有信心又需要再努力。使学生从此爱上了思考，努力地克服一个个难题，不断体验思考的快乐。
参考文献：
[1]郑毓信.教数学想数学学数学系列.小学数学教师，2015-03-06.
[2]朱宇.优化问题设计.让思维不“抄近路”.小学数学教师，2015-04-71.
[3]唐彩斌.使劲的方向.小学数学教师，2015-03-01.