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【教学内容】人教版四年级下册P85。
【教学目标】
1. 通过测量、剪拼、折纸等活动让学生经历探索和验证“三角形内角和等于180°”的过程。
2. 在应用三角形内角和知识解决问题的过程中促进学生的推理能力与数学思维的发展。
3. 在动手实验、探索、交流、对比中经历“数学化”的过程并体验成功的喜悦，进而培养学生科学探索精神。
【教学过程】
一、课前谈话（略）
二、知识导入，关注数学文化
师：今天这节课的内容就从这位数学家帕斯卡开始，他从小痴迷于数学，喜欢自己琢磨。在帕斯卡12岁的时候就发现了改变他一生的数学问题。
师：此时此刻，你最想知道什么？
师：改变帕斯卡一生的数学问题就是三角形的内角和。
师板书：三角形的内角和。
【设计意图】用数学家的励志故事导入新课，从情绪上感染学生，激发兴趣，唤起求知欲，同时也为数学文化的引出做了必要的铺垫。
三、自主探究，学习新知
1.认识“内角”与“内角和”。
师：既然是三角形的内角和（贴锐角三角形），一个三角形有几个内角？
师：3个内角在哪里？你能上来指给大家看吗？
师：为了便于交流，把这三个内角标出来（边说边标），∠1、∠2、∠3就是这个三角形的三个内角。
师：那像直角三角形、钝角三角形（贴在黑板上）的内角你能标出来吗？（学生标注）。
师：内角找到了，那内角和的意思是？
生：就是把三角形的三个内角加起来呀！
师：那三角形的内角和是多少呢？
生：180°。
师：你们怎么知道是180°呢？
【设计说明】“内角”是相对于“外角”而言的。三角形相邻两边所构成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形的角的一边的反向延长线与它相邻边组成的角叫做三角形的外角。小学只要求学生顾名思义，能指认三角形的内角即可。
2.探究，经历“数学化”过程。
（1）交待要求。
师：三角形的内角和是不是180°呢？你有什么好办法说明给大家看吗？
师：咱们这样，先任意画一个三角形，把三角形的内角像这样标出来，看看我们今天带来了这么多的学习工具（剪刀、直尺、量角器），想一想，我要用什么办法进行研究，想好了就行动。
（2）学生活动，教师巡视。
（3）汇报交流。
师：好了，同学们，到了我们一起分享实验成果的时候了，谁愿意先来汇报你的实验成果？
【设计说明】笔者没有直接给学生在课前准备好三角形，这是因为学生画的三角形更易出现测量误差，而测量有误差才能凸显剪拼的优势。无论谁画的三角形都能通过剪拼、折拼成平角，从而让学生确信无疑：任何三角形的内角和都是定值。
①量。
生：我是用量角器量出来的。
教师板书：量。
师：三个角分别是多少呢？
师：世界真是奇妙啊，画的三角形不一样，量出来的却都是180°。
师：那咱们班有没有量出来不是180°的呢？
师：看来，三角形的内角和不确定啊。有时量出来刚好是180°，有时量出来不是180°，这是怎么回事呢？
师：哇，这位同学真的是投入研究了，他感受到有误差。同学们回想一下，咱们量的时候，会不会碰到不是整度数的情况。有时比整度数多一点，算了，多一点的度数就……
生■：省略。
师：有时比整度数少点，干脆……
生：往前入一位。
师：是啊，同学们都有这样的体会。正如这位同学所说，咱们在量的时候或多或少会有些误差。
教师板书：误差。
师：正是因为测量有误差，仅靠量的办法就得出结论，行吗？
②剪拼。
师：那咱们班有没有不同的方法？
师：呵，还真有啊，我很期待，赶快上来介绍介绍。
生■在展示台上操作，先还原成三角形。
生■：我是把三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，就是180°。
师：哦，剪拼成180°，三角形的三个角可以拼成什么角？（平角）
师：这倒是个新发现。是啊，其实咱们在猜到内角和是180°的时候，就应该想到……（平角）
师：这么好的方法，我也想试一试。
教师示范过程如下：
图2中∠2、∠3为剪下的部分，图3、图4为拼的过程。
师：你们“哇”什么呢？
生■：这么好的办法，不用量，而且又方便。
师：你很会欣赏同学，善于向他人学习。
师：那对于这位同学的研究，你有什么问题要问他吗？
生■：我就想知道拼成的那个角你说是平角，你有办法验证吗？
师：提得好，看起来像平角可不行，你有什么办法验证吗？
生■拿一把尺子验证。
师：是平角吗？这个角的两边正好在同一条直线上，果然是平角。
③折拼。
师：除了剪拼法，其他同学还有不同的方法吗？
生■：我还有，我就是这样折在一起。
师：听起来很有意思，能用我黑板上的大三角形演示给大家看吗？
师：这位同学在刚才那位剪拼法的启发下，又想到了折拼法，太棒了，这种方法你们能想到吗？
师：这么有创造性的想法，你们想不想折折看？
师：那我们先一起来分享他是怎么折的。（把三角形还原，呈现三条折痕） 师：这位同学，折了3次，有3条折痕，上面这条，经过了这两点。（如图5所示，红笔标上两个红点）
师：这个点在这条边的什么位置？
生：中点。
师：好眼力。右边这个点呢？
生：也是中点。
教师边演示边说：把这两个中点连接起来，就是这条折痕。（如图6所示）
师：那另外两条折痕呢？
教师画“┒”提示。（如图7所示）
生：哦，中点到对边的垂直线段。
师：沿着这三条线段进行折拼，就能保证顶点对顶点，边对边。（图7）
师：表面上看来简单的三条折痕里面却隐藏着这么丰富的内容。
（4）人人动手实验。
师：剪拼法、折拼法能证实这几位同学画的三角形内角和是180°。那么这两种方法能证明你画的三角形的内角和是180°吗？能还得……
生：动手试试看。
师：说得好，那就请你们挑其中的一种方法来试试看，实验好了，可以和组内的同学说一说。
学生动手实验并交流。
师：你们的坐姿告诉我你们交流好了。
师：同学们，那直角三角形除了像刚才那样折3次，还可以怎样折拼？
生：只要折2次就好了。（学生示范直角三角形折拼法）
师：真是会学习的表现，在这位折拼法的启发下，又想到了新的折拼法，看来同学们是越学越智慧。
师：同学们，现在通过剪拼、折拼法得到什么结论（边说边板书：剪拼，折拼）。
生：得到三角形内角和真的是180°。
【设计说明】通过“学生演示→教师及时示范（引导学生理解折拼法中三条折痕的由来）→人人动手实验→再次交流实验新收获”，让学生在活动中提升数学活动经验。因为学生个体之间的差异较大，因而学生之间的数学活动经验也有很大的差异，而让学生进行适当的反复体验，将感性、粗浅的数学活动经验通过数学化、逻辑化加以提升，形成对今后类似情境与活动的指导。
（5）“帕斯卡方法”。
生：其实我还有一种方法，先画一个长方形，长方形4个角都是直角，长方形的内角和是360°，那么三角形的内角和就是180°。
师：这个方法怎样？
生：可以，但是只能证明直角三角形的内角和啊，其他的三角形呢？
师：老师很欣赏这位同学，他和我们的数学大家帕斯卡前半部分想到的方法是一样的，我们一起来看。（课件展示）
师：像这位同学一样，他任意画了一个长方形，长方形的内角和是360°，把一个长方形分成两个完全一样的直角三角形，其中一个直角三角形的内角和就是180°。那么他也像这位同学一样，在思考，任意一个三角形呢？于是，他任意画了一个三角形，并作高，谁看懂了他的意思？
生：任意一个三角形都可以被高分成两个直角三角形。
师：这位同学的话抓到关键。任意一个三角形都可以被高分成两个直角三角形。
生：两个直角三角形的内角和加起来等于360°，再减去多加的平角，剩下的∠1+∠2+∠3+∠4=180°，那么任意一个三角形的内角和就是180°。
师：数学的学习常常需要比较，那么我们今天量、折拼、剪拼的方法和帕斯卡的方法有什么不一样呢？
生：我们量的办法有误差，剪拼、折拼的方法需要用剪刀或者直尺。
师：帕斯卡的方法不需要量，不需要靠实验，只用我们数学中的推理、证明的方法。（板书：证明）
【设计说明】探索三角形内角和的过程，也是培养学生动手实践能力和科学探索精神的过程。不但让学生掌握基本知识和基本技能，更重要的是让学生获得基本活动经验和数学思想方法。通过与“帕斯卡证明过程”的比较，让学生经历“已知→验证→实验→证明”的过程，而这也是数学化的过程。
四、小结
师：一起回顾这节课堂之旅，一开始同学们觉得三角形的内角和是180°，然后通过量的方法，发现有误差，之后又用了实验（剪拼、折拼）的方法来验证三角形的内角和真的是180°，帕斯卡的方法也能证明这一点。
师：那同学们能用今天所学的知识和方法来解决一些问题吗？
五、练习
1. 基本练习。
已知三角形的两个角，求另一个角的度数。
2. 综合练习。
（1）求特殊三角形中未知角的度数。
（2）已知三角形的一个外角和其中一个与它不相邻的内角，求未知角的度数。
3. 拓展练习。
（1）证明四边形的内角和。
（2）证明五边形的内角和。
4. 延伸（课外）练习。
证明六边形、七边形……n边形的内角和。
【设计说明】分层练习，满足不同层次学生的认知需求。从而以“容量”支持“质量”，凭“坡度”促进“效度”，体现务实有效的练习设计的态度，同时培养学生思维的灵活性，促进思维的发展。
（作者单位：上海市闵行区明强小学 责任编辑：王彬）
【教学目标】
1. 通过测量、剪拼、折纸等活动让学生经历探索和验证“三角形内角和等于180°”的过程。
2. 在应用三角形内角和知识解决问题的过程中促进学生的推理能力与数学思维的发展。
3. 在动手实验、探索、交流、对比中经历“数学化”的过程并体验成功的喜悦，进而培养学生科学探索精神。
【教学过程】
一、课前谈话（略）
二、知识导入，关注数学文化
师：今天这节课的内容就从这位数学家帕斯卡开始，他从小痴迷于数学，喜欢自己琢磨。在帕斯卡12岁的时候就发现了改变他一生的数学问题。
师：此时此刻，你最想知道什么？
师：改变帕斯卡一生的数学问题就是三角形的内角和。
师板书：三角形的内角和。
【设计意图】用数学家的励志故事导入新课，从情绪上感染学生，激发兴趣，唤起求知欲，同时也为数学文化的引出做了必要的铺垫。
三、自主探究，学习新知
1.认识“内角”与“内角和”。
师：既然是三角形的内角和（贴锐角三角形），一个三角形有几个内角？
师：3个内角在哪里？你能上来指给大家看吗？
师：为了便于交流，把这三个内角标出来（边说边标），∠1、∠2、∠3就是这个三角形的三个内角。
师：那像直角三角形、钝角三角形（贴在黑板上）的内角你能标出来吗？（学生标注）。
师：内角找到了，那内角和的意思是？
生：就是把三角形的三个内角加起来呀！
师：那三角形的内角和是多少呢？
生：180°。
师：你们怎么知道是180°呢？
【设计说明】“内角”是相对于“外角”而言的。三角形相邻两边所构成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形的角的一边的反向延长线与它相邻边组成的角叫做三角形的外角。小学只要求学生顾名思义，能指认三角形的内角即可。
2.探究，经历“数学化”过程。
（1）交待要求。
师：三角形的内角和是不是180°呢？你有什么好办法说明给大家看吗？
师：咱们这样，先任意画一个三角形，把三角形的内角像这样标出来，看看我们今天带来了这么多的学习工具（剪刀、直尺、量角器），想一想，我要用什么办法进行研究，想好了就行动。
（2）学生活动，教师巡视。
（3）汇报交流。
师：好了，同学们，到了我们一起分享实验成果的时候了，谁愿意先来汇报你的实验成果？
【设计说明】笔者没有直接给学生在课前准备好三角形，这是因为学生画的三角形更易出现测量误差，而测量有误差才能凸显剪拼的优势。无论谁画的三角形都能通过剪拼、折拼成平角，从而让学生确信无疑：任何三角形的内角和都是定值。
①量。
生：我是用量角器量出来的。
教师板书：量。
师：三个角分别是多少呢？
师：世界真是奇妙啊，画的三角形不一样，量出来的却都是180°。
师：那咱们班有没有量出来不是180°的呢？
师：看来，三角形的内角和不确定啊。有时量出来刚好是180°，有时量出来不是180°，这是怎么回事呢？
师：哇，这位同学真的是投入研究了，他感受到有误差。同学们回想一下，咱们量的时候，会不会碰到不是整度数的情况。有时比整度数多一点，算了，多一点的度数就……
生■：省略。
师：有时比整度数少点，干脆……
生：往前入一位。
师：是啊，同学们都有这样的体会。正如这位同学所说，咱们在量的时候或多或少会有些误差。
教师板书：误差。
师：正是因为测量有误差，仅靠量的办法就得出结论，行吗？
②剪拼。
师：那咱们班有没有不同的方法？
师：呵，还真有啊，我很期待，赶快上来介绍介绍。
生■在展示台上操作，先还原成三角形。
生■：我是把三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，就是180°。
师：哦，剪拼成180°，三角形的三个角可以拼成什么角？（平角）
师：这倒是个新发现。是啊，其实咱们在猜到内角和是180°的时候，就应该想到……（平角）
师：这么好的方法，我也想试一试。
教师示范过程如下：
图2中∠2、∠3为剪下的部分，图3、图4为拼的过程。
师：你们“哇”什么呢？
生■：这么好的办法，不用量，而且又方便。
师：你很会欣赏同学，善于向他人学习。
师：那对于这位同学的研究，你有什么问题要问他吗？
生■：我就想知道拼成的那个角你说是平角，你有办法验证吗？
师：提得好，看起来像平角可不行，你有什么办法验证吗？
生■拿一把尺子验证。
师：是平角吗？这个角的两边正好在同一条直线上，果然是平角。
③折拼。
师：除了剪拼法，其他同学还有不同的方法吗？
生■：我还有，我就是这样折在一起。
师：听起来很有意思，能用我黑板上的大三角形演示给大家看吗？
师：这位同学在刚才那位剪拼法的启发下，又想到了折拼法，太棒了，这种方法你们能想到吗？
师：这么有创造性的想法，你们想不想折折看？
师：那我们先一起来分享他是怎么折的。（把三角形还原，呈现三条折痕） 师：这位同学，折了3次，有3条折痕，上面这条，经过了这两点。（如图5所示，红笔标上两个红点）
师：这个点在这条边的什么位置？
生：中点。
师：好眼力。右边这个点呢？
生：也是中点。
教师边演示边说：把这两个中点连接起来，就是这条折痕。（如图6所示）
师：那另外两条折痕呢？
教师画“┒”提示。（如图7所示）
生：哦，中点到对边的垂直线段。
师：沿着这三条线段进行折拼，就能保证顶点对顶点，边对边。（图7）
师：表面上看来简单的三条折痕里面却隐藏着这么丰富的内容。
（4）人人动手实验。
师：剪拼法、折拼法能证实这几位同学画的三角形内角和是180°。那么这两种方法能证明你画的三角形的内角和是180°吗？能还得……
生：动手试试看。
师：说得好，那就请你们挑其中的一种方法来试试看，实验好了，可以和组内的同学说一说。
学生动手实验并交流。
师：你们的坐姿告诉我你们交流好了。
师：同学们，那直角三角形除了像刚才那样折3次，还可以怎样折拼？
生：只要折2次就好了。（学生示范直角三角形折拼法）
师：真是会学习的表现，在这位折拼法的启发下，又想到了新的折拼法，看来同学们是越学越智慧。
师：同学们，现在通过剪拼、折拼法得到什么结论（边说边板书：剪拼，折拼）。
生：得到三角形内角和真的是180°。
【设计说明】通过“学生演示→教师及时示范（引导学生理解折拼法中三条折痕的由来）→人人动手实验→再次交流实验新收获”，让学生在活动中提升数学活动经验。因为学生个体之间的差异较大，因而学生之间的数学活动经验也有很大的差异，而让学生进行适当的反复体验，将感性、粗浅的数学活动经验通过数学化、逻辑化加以提升，形成对今后类似情境与活动的指导。
（5）“帕斯卡方法”。
生：其实我还有一种方法，先画一个长方形，长方形4个角都是直角，长方形的内角和是360°，那么三角形的内角和就是180°。
师：这个方法怎样？
生：可以，但是只能证明直角三角形的内角和啊，其他的三角形呢？
师：老师很欣赏这位同学，他和我们的数学大家帕斯卡前半部分想到的方法是一样的，我们一起来看。（课件展示）
师：像这位同学一样，他任意画了一个长方形，长方形的内角和是360°，把一个长方形分成两个完全一样的直角三角形，其中一个直角三角形的内角和就是180°。那么他也像这位同学一样，在思考，任意一个三角形呢？于是，他任意画了一个三角形，并作高，谁看懂了他的意思？
生：任意一个三角形都可以被高分成两个直角三角形。
师：这位同学的话抓到关键。任意一个三角形都可以被高分成两个直角三角形。
生：两个直角三角形的内角和加起来等于360°，再减去多加的平角，剩下的∠1+∠2+∠3+∠4=180°，那么任意一个三角形的内角和就是180°。
师：数学的学习常常需要比较，那么我们今天量、折拼、剪拼的方法和帕斯卡的方法有什么不一样呢？
生：我们量的办法有误差，剪拼、折拼的方法需要用剪刀或者直尺。
师：帕斯卡的方法不需要量，不需要靠实验，只用我们数学中的推理、证明的方法。（板书：证明）
【设计说明】探索三角形内角和的过程，也是培养学生动手实践能力和科学探索精神的过程。不但让学生掌握基本知识和基本技能，更重要的是让学生获得基本活动经验和数学思想方法。通过与“帕斯卡证明过程”的比较，让学生经历“已知→验证→实验→证明”的过程，而这也是数学化的过程。
四、小结
师：一起回顾这节课堂之旅，一开始同学们觉得三角形的内角和是180°，然后通过量的方法，发现有误差，之后又用了实验（剪拼、折拼）的方法来验证三角形的内角和真的是180°，帕斯卡的方法也能证明这一点。
师：那同学们能用今天所学的知识和方法来解决一些问题吗？
五、练习
1. 基本练习。
已知三角形的两个角，求另一个角的度数。
2. 综合练习。
（1）求特殊三角形中未知角的度数。
（2）已知三角形的一个外角和其中一个与它不相邻的内角，求未知角的度数。
3. 拓展练习。
（1）证明四边形的内角和。
（2）证明五边形的内角和。
4. 延伸（课外）练习。
证明六边形、七边形……n边形的内角和。
【设计说明】分层练习，满足不同层次学生的认知需求。从而以“容量”支持“质量”，凭“坡度”促进“效度”，体现务实有效的练习设计的态度，同时培养学生思维的灵活性，促进思维的发展。
（作者单位：上海市闵行区明强小学 责任编辑：王彬）