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在知识经济时代,竞争更加激烈,这种竞争最终的体现是人才竞争,创新意识、创新能力是人才最重要和最基本的标志,培养学生创新能力是跨世纪人类发展和社会进步的需要,是当代教育的核心任务。在数学教学中,通过重视数学应用题,有利于培养学生的创新能力。
应用题是一类在题目中展现实际背景,主要考查学生运用数学知识、思想和方法解决实际问题能力的数学试题。从1993年开始,高考数学逐步加强了数学应用的考查,当年有一道选择题、一道填空题。1994年两道选择题、一道填空题。1995年起应用题用大题的形式先后以价格调节、人口与资源、运输成本、环境保护、带钢冷轧等为背景加大了考查的力度,强调了数学在解决实际问题时的应用价值,对中学数学重视应用的教学起到了较好的导向作用,1999年应用试题比1998年又增加了一个小题,共有4题,合计分值27分,占总分18%。四道试题的背景分别取材于现实生活、农业生产和工业生产。对考生来说,由于问题的立意情境比较新颖,因而要求考生具有较强的阅读理解能力和数学建模能力及创新能力,在平时的教学中要充分重视应用题的训练。
一、重视解应用题的方法
解应用题,首先应通过审题,找出关键字,分清条件与结论,深刻理解问题的实际背景,提出必要的假设;将应用问题数学化;数学问题标准化;然后,求解、检验、得出应用问题的解。
二、重视解应用题常见的模型
(1)函数模型:现实世界中,普遍存在着最优化问题,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数知识和方法去解决。
例1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件。为了估测以后各月这种产品的月产量,以上述已有的三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的相依关系,根据经验,模拟函数可选用二次函数或y=abx+c(其中a、b、c均为常数),又已知工厂该产品4月份产量为1.37万件。试问以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由。
分析:选哪个函数作为模拟函数较好,即依1月、2月、3月的产量为据,把函数关系确定后,根据它计算4月份产量。确定函数用待定系数法。
解:设二次函数f(x)=px2+qx+r(p≠0),
依题意有
f(1)=p+q+r=1,f(2)=4p+2q+r=1.2,f(3)=9p+3q+r=1.3,可得p=-0.05,q=0.35,r=0.7
∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,且f(4)=1.3,
又设g(x)=abx+c(a、b、c为常数),依题意有
g(1)=ab+c=1,g(2)=ab2+c=1.2,g(3)=ab3+c=1.3,可得a=-0.8,b=0.5,c=1.4,
∴g(x)=-0.8(0.5)x+1.4且g(4)=1.35,
由于1.37-1.35=0.02,1.37-1.3=0.07,而0.02<0.07,
故选用函数g(x)=-0.8(0.5)x+1.4作为模拟函数较好。
(2)数列模型:现实经济活动中,诸如增长串、利率等与年份有关的实际问题,常常归结为数列问题,通过建立相应的数列模型求解。
例2某地区现有居民住房的总面积为a(m),其中需要拆除的旧住房面积占了一半。改造该地区居民住房的规划规定,每年拆除一个固定数量的旧房,并且在这种情况下,该地区以10%的住房增长率建设新住房。问经过10年,该地区住房总面积与现在比正好翻了一番,那么每年应拆除的旧房面积占现在要拆除的旧房总面积的几分之几?(保留到小数点后第一位,计算时可运用1.110≈2.6)?
分析:应注意这里年增长率的认识,不仅包括新建住房方面,还要包括拆除旧房方面。
解:(1)设每年应拆除旧房面积为x,依题意得:
1年后,该地区住房总面积为:
a(1+10%)-x=(1+10%)a-x;
2年后,该地区住房总面积为:
(1.1a-x)(1+10%)-x=1.12a-(1.1+1)x;
3年后,该地区住房总面积为
[1.1a2-(1.1+1)x](1+10%)-x
=1.13a-(1.12+1.1+1)x;
10年后,该地区住房总面积为:
1.110a-(1.19+1.18+…+1.1+1)x
=1.110a-(1.110-1/1.1-1)x≈2.6a-16x,
由题意,知2.6a-16x=2a,
解得x=(3/80)a,
于是x/(1/2a)=(3/80a)/(1/2a)=3/40,
因此,每年应拆除的旧住房面积占现在要拆除的旧住房面积的3/40。
(3)几何模型:现实世界中,诸如测量、人造卫星、航行、建桥等涉及一定图形属性的应用问题,需要应用图形求值或用方程、不等式、三角知识等求解。
例3在气象台A的正西方向300千米的B处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向北偏东45°方向移动,距离台风中心250千米以内的地方都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后气象台A所在地将受台风影响,持续多长时间?(精确到0.1小时)
分析:写出台风中心移动所在直线参数方程,可求出t的范围,大约2个小时后气象台A所在地将受台风影响,持續6.6个小时。
(4)设计问题模型:通过设计问题,培养学生创新能力。
例4某学校有一块矩形土地,南北向长100m,东西向宽90m,欲建4条并排跑道,每条跑道宽为1m,且内圈周长为300m,请你给出较为简单的设计原则及具体设计方案。
分析:(1)设计原则:为便于跑步者使用,直跑道部分应尽可能长,且直道与弯道相切,跑道要尽可能贴近矩形土地边缘。
(2)设计方案:因为有4条宽为1m的跑道,所以应在长为92m,宽为82m的矩形内设计周长为300m的内圈。
由2×(92+82)=348m,知该矩形的周长为348m。
要在拐弯处用圆周的1/4代替直角的两边,设该圆弧半径为r,则(92-2r)×2+(82-2r)×2+2?仔r=300,解得r=27.91m。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
应用题是一类在题目中展现实际背景,主要考查学生运用数学知识、思想和方法解决实际问题能力的数学试题。从1993年开始,高考数学逐步加强了数学应用的考查,当年有一道选择题、一道填空题。1994年两道选择题、一道填空题。1995年起应用题用大题的形式先后以价格调节、人口与资源、运输成本、环境保护、带钢冷轧等为背景加大了考查的力度,强调了数学在解决实际问题时的应用价值,对中学数学重视应用的教学起到了较好的导向作用,1999年应用试题比1998年又增加了一个小题,共有4题,合计分值27分,占总分18%。四道试题的背景分别取材于现实生活、农业生产和工业生产。对考生来说,由于问题的立意情境比较新颖,因而要求考生具有较强的阅读理解能力和数学建模能力及创新能力,在平时的教学中要充分重视应用题的训练。
一、重视解应用题的方法
解应用题,首先应通过审题,找出关键字,分清条件与结论,深刻理解问题的实际背景,提出必要的假设;将应用问题数学化;数学问题标准化;然后,求解、检验、得出应用问题的解。
二、重视解应用题常见的模型
(1)函数模型:现实世界中,普遍存在着最优化问题,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数知识和方法去解决。
例1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件。为了估测以后各月这种产品的月产量,以上述已有的三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的相依关系,根据经验,模拟函数可选用二次函数或y=abx+c(其中a、b、c均为常数),又已知工厂该产品4月份产量为1.37万件。试问以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由。
分析:选哪个函数作为模拟函数较好,即依1月、2月、3月的产量为据,把函数关系确定后,根据它计算4月份产量。确定函数用待定系数法。
解:设二次函数f(x)=px2+qx+r(p≠0),
依题意有
f(1)=p+q+r=1,f(2)=4p+2q+r=1.2,f(3)=9p+3q+r=1.3,可得p=-0.05,q=0.35,r=0.7
∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,且f(4)=1.3,
又设g(x)=abx+c(a、b、c为常数),依题意有
g(1)=ab+c=1,g(2)=ab2+c=1.2,g(3)=ab3+c=1.3,可得a=-0.8,b=0.5,c=1.4,
∴g(x)=-0.8(0.5)x+1.4且g(4)=1.35,
由于1.37-1.35=0.02,1.37-1.3=0.07,而0.02<0.07,
故选用函数g(x)=-0.8(0.5)x+1.4作为模拟函数较好。
(2)数列模型:现实经济活动中,诸如增长串、利率等与年份有关的实际问题,常常归结为数列问题,通过建立相应的数列模型求解。
例2某地区现有居民住房的总面积为a(m),其中需要拆除的旧住房面积占了一半。改造该地区居民住房的规划规定,每年拆除一个固定数量的旧房,并且在这种情况下,该地区以10%的住房增长率建设新住房。问经过10年,该地区住房总面积与现在比正好翻了一番,那么每年应拆除的旧房面积占现在要拆除的旧房总面积的几分之几?(保留到小数点后第一位,计算时可运用1.110≈2.6)?
分析:应注意这里年增长率的认识,不仅包括新建住房方面,还要包括拆除旧房方面。
解:(1)设每年应拆除旧房面积为x,依题意得:
1年后,该地区住房总面积为:
a(1+10%)-x=(1+10%)a-x;
2年后,该地区住房总面积为:
(1.1a-x)(1+10%)-x=1.12a-(1.1+1)x;
3年后,该地区住房总面积为
[1.1a2-(1.1+1)x](1+10%)-x
=1.13a-(1.12+1.1+1)x;
10年后,该地区住房总面积为:
1.110a-(1.19+1.18+…+1.1+1)x
=1.110a-(1.110-1/1.1-1)x≈2.6a-16x,
由题意,知2.6a-16x=2a,
解得x=(3/80)a,
于是x/(1/2a)=(3/80a)/(1/2a)=3/40,
因此,每年应拆除的旧住房面积占现在要拆除的旧住房面积的3/40。
(3)几何模型:现实世界中,诸如测量、人造卫星、航行、建桥等涉及一定图形属性的应用问题,需要应用图形求值或用方程、不等式、三角知识等求解。
例3在气象台A的正西方向300千米的B处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向北偏东45°方向移动,距离台风中心250千米以内的地方都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后气象台A所在地将受台风影响,持续多长时间?(精确到0.1小时)
分析:写出台风中心移动所在直线参数方程,可求出t的范围,大约2个小时后气象台A所在地将受台风影响,持續6.6个小时。
(4)设计问题模型:通过设计问题,培养学生创新能力。
例4某学校有一块矩形土地,南北向长100m,东西向宽90m,欲建4条并排跑道,每条跑道宽为1m,且内圈周长为300m,请你给出较为简单的设计原则及具体设计方案。
分析:(1)设计原则:为便于跑步者使用,直跑道部分应尽可能长,且直道与弯道相切,跑道要尽可能贴近矩形土地边缘。
(2)设计方案:因为有4条宽为1m的跑道,所以应在长为92m,宽为82m的矩形内设计周长为300m的内圈。
由2×(92+82)=348m,知该矩形的周长为348m。
要在拐弯处用圆周的1/4代替直角的两边,设该圆弧半径为r,则(92-2r)×2+(82-2r)×2+2?仔r=300,解得r=27.91m。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文