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【摘要】对两道电磁感应高考题的思考，引发学生和我对霍尔效应的深层次思考。
【关键词】电磁感应高考题;霍尔效应;洛伦兹力是否做功
在教学中，我遇到两道与霍尔效应有关的高考题目。
（2001年高考）电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图1所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c，流量计的两端与输送液体的管道相连接（图中虚线）。图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。当导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接，I表示测得的电流值。已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为（A）。
图1
A．ΙB(bR+ρca) B．ΙB(aR+ρbc)C．ΙB(cR+ρab) D．ΙB(R+ρbca)
（2010年重庆23题）法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究。实验装置的示意图如图2所示，两块面积均为S的矩形金属板，平行、正对、竖直地全部浸在河水中，间距为d。水流速度处处相同，大小为v，方向水平，金属板与水流方向平行。地磁场磁感应强度的竖直分量为B，水的电阻率为ρ，水面上方有一阻值为R的电阻通过绝缘导线和电键K连接到两个金属板上，忽略边缘效应。求：
图2
⑴该发电装置的电动势；
⑵通过电阻R的电流强度；
⑶电阻R消耗的电功率。
答案：⑴E＝Bdv ⑵ Ι=BdvSρd+SR⑶P= (BdvSρd+SR)2R
发现学生在做的时候，多数可以做对，没有做深入的思考。在近两年教学过程中，有学生提出了疑问，（2001年高考）电磁流量计的上下表面的电势差是路段电压还是电源电动势？同理（2010年重庆23题）法拉第利用河流发电的模型中两金属板的电势差是路段电压还是电源电动势？对比恒定电流中的电路知识，应该是路段电压。若是路段电压，则带电粒子所受的洛伦兹力和静电力平衡：Bqv=Udq，路段电压U=Bdv U＜E。但以上两题都是 E=Bdv，其中的矛盾如何解决？难道电磁流量计的上下表面的电势差和河流发电的模型中两金属板的电势差都是电动势？
笔者和学生讨论并思考后，发现并不矛盾。电动势的定义为非静电力在闭合回路对单位正电荷做的功①。或电动势为单位正电荷从负极经电源内部移到负极时非静电力做的功②。如：干电池电动势为 1.5V，即在电池内部把单位正电荷从负极搬运到正极过程中，化学力（非静电力）做的功。则电磁感应现象中电动势为1V的意思就是在电源内部把单位正电荷从电源负极搬运到电源正极过程中，非静电力（感生电动势为涡旋电场力，动生电动势为洛伦兹力）做的功为1J。上述的两道高考题目中，（2001年高考）电磁流量计的上下表面的电势差是路段电压，（2010年重庆23题）法拉第利用河流发电的模型中两金属板的电势差也是路段电压。但注意， ε=Bqv·dq或 ε dq=Bqv,而不是Bqv=Udq ，或也可以从总能量角度理解，电动势做的总功（其它能量）等于总的电能。
但新的问题又马上出现了，洛伦兹力不是永不做功的吗？其实并不矛盾。分析如下:
导体向右以 V1运动，电荷受力沿导体向下以V2 运动，电荷的实际运动速度 V与 V1是不同的，应为 V1与 V2的合速度。
F洛应与V 垂直，如图3所示， 即:f1=qV1B f2=qV2B
图3
这样洛伦兹力就分成了两部分，分力 f1和分力 f2在时间 内，两部分力做的功分别为：
Wf1=qV1B·V2t（非静电力） Wf2=-qV2B·V1t（安培力）
两个力做的总功为 Wf1+Wf2=0即 F洛做功为零。
安培力 Wf2=-qV2B·V1t=-BV1qV2t=-BV1q=-BV1q=ε q转化为电能。
由此我们可以看出，动生电动势的产生过程中，洛伦兹力是不做功的，产生电动势的非静电力是洛伦兹力沿导体方向的一个分力，另一个垂直导体方向的分力的总和从宏观上表现为安培力。这两个力都做了功，但总功为零。从能量转化的角度来看，安培力做负功把机械能转化为电能。
另外，霍尔效应还可以用来测半导体材料的性质。半导体中参与导电的电流载体称为载流子。N型半导体的载流子是带负电的电子，P型半导体的载流子是带正电的“空穴”，如图所示，一块厚度为d、宽度为L的长方形半导体样品，置于方向如图所示、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，当半导体样品中通以向右的电流强度为I的恒定电流时，样品上、下底面出现恒定电势差U，且上表面带正电、下表面带负电。设半导体样品中每个载流子带电荷量为q，半导体样品中载流子的密度（单位体积内载流子的个数）用n表示，则可以判断样品材料类型为P型半导体，其中载流子密度n大小的表达式为n= BΙqLU。
总之，霍尔效应是电磁感应中一个重要的现象，曾今获得过诺贝尔奖，在很多领域有重要的应用。我们只有深刻认识其本质才能很好的理解和创造新的应用。
参考文献
［1］ 赵凯华、陈熙谋《电磁学》77-78页
［2］ 梁灿彬 、梁竹健《电磁学》222页
收稿日期：2012-03-22
【关键词】电磁感应高考题;霍尔效应;洛伦兹力是否做功
在教学中，我遇到两道与霍尔效应有关的高考题目。
（2001年高考）电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图1所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c，流量计的两端与输送液体的管道相连接（图中虚线）。图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。当导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接，I表示测得的电流值。已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为（A）。
图1
A．ΙB(bR+ρca) B．ΙB(aR+ρbc)C．ΙB(cR+ρab) D．ΙB(R+ρbca)
（2010年重庆23题）法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究。实验装置的示意图如图2所示，两块面积均为S的矩形金属板，平行、正对、竖直地全部浸在河水中，间距为d。水流速度处处相同，大小为v，方向水平，金属板与水流方向平行。地磁场磁感应强度的竖直分量为B，水的电阻率为ρ，水面上方有一阻值为R的电阻通过绝缘导线和电键K连接到两个金属板上，忽略边缘效应。求：
图2
⑴该发电装置的电动势；
⑵通过电阻R的电流强度；
⑶电阻R消耗的电功率。
答案：⑴E＝Bdv ⑵ Ι=BdvSρd+SR⑶P= (BdvSρd+SR)2R
发现学生在做的时候，多数可以做对，没有做深入的思考。在近两年教学过程中，有学生提出了疑问，（2001年高考）电磁流量计的上下表面的电势差是路段电压还是电源电动势？同理（2010年重庆23题）法拉第利用河流发电的模型中两金属板的电势差是路段电压还是电源电动势？对比恒定电流中的电路知识，应该是路段电压。若是路段电压，则带电粒子所受的洛伦兹力和静电力平衡：Bqv=Udq，路段电压U=Bdv U＜E。但以上两题都是 E=Bdv，其中的矛盾如何解决？难道电磁流量计的上下表面的电势差和河流发电的模型中两金属板的电势差都是电动势？
笔者和学生讨论并思考后，发现并不矛盾。电动势的定义为非静电力在闭合回路对单位正电荷做的功①。或电动势为单位正电荷从负极经电源内部移到负极时非静电力做的功②。如：干电池电动势为 1.5V，即在电池内部把单位正电荷从负极搬运到正极过程中，化学力（非静电力）做的功。则电磁感应现象中电动势为1V的意思就是在电源内部把单位正电荷从电源负极搬运到电源正极过程中，非静电力（感生电动势为涡旋电场力，动生电动势为洛伦兹力）做的功为1J。上述的两道高考题目中，（2001年高考）电磁流量计的上下表面的电势差是路段电压，（2010年重庆23题）法拉第利用河流发电的模型中两金属板的电势差也是路段电压。但注意， ε=Bqv·dq或 ε dq=Bqv,而不是Bqv=Udq ，或也可以从总能量角度理解，电动势做的总功（其它能量）等于总的电能。
但新的问题又马上出现了，洛伦兹力不是永不做功的吗？其实并不矛盾。分析如下:
导体向右以 V1运动，电荷受力沿导体向下以V2 运动，电荷的实际运动速度 V与 V1是不同的，应为 V1与 V2的合速度。
F洛应与V 垂直，如图3所示， 即:f1=qV1B f2=qV2B
图3
这样洛伦兹力就分成了两部分，分力 f1和分力 f2在时间 内，两部分力做的功分别为：
Wf1=qV1B·V2t（非静电力） Wf2=-qV2B·V1t（安培力）
两个力做的总功为 Wf1+Wf2=0即 F洛做功为零。
安培力 Wf2=-qV2B·V1t=-BV1qV2t=-BV1q=-BV1q=ε q转化为电能。
由此我们可以看出，动生电动势的产生过程中，洛伦兹力是不做功的，产生电动势的非静电力是洛伦兹力沿导体方向的一个分力，另一个垂直导体方向的分力的总和从宏观上表现为安培力。这两个力都做了功，但总功为零。从能量转化的角度来看，安培力做负功把机械能转化为电能。
另外，霍尔效应还可以用来测半导体材料的性质。半导体中参与导电的电流载体称为载流子。N型半导体的载流子是带负电的电子，P型半导体的载流子是带正电的“空穴”，如图所示，一块厚度为d、宽度为L的长方形半导体样品，置于方向如图所示、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，当半导体样品中通以向右的电流强度为I的恒定电流时，样品上、下底面出现恒定电势差U，且上表面带正电、下表面带负电。设半导体样品中每个载流子带电荷量为q，半导体样品中载流子的密度（单位体积内载流子的个数）用n表示，则可以判断样品材料类型为P型半导体，其中载流子密度n大小的表达式为n= BΙqLU。
总之，霍尔效应是电磁感应中一个重要的现象，曾今获得过诺贝尔奖，在很多领域有重要的应用。我们只有深刻认识其本质才能很好的理解和创造新的应用。
参考文献
［1］ 赵凯华、陈熙谋《电磁学》77-78页
［2］ 梁灿彬 、梁竹健《电磁学》222页
收稿日期：2012-03-22