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摘 要：考虑为我国小学数学教材改革提供参考，本文运用数学教材难度模型，从三个维度对中国和新加坡小学数学教材难度进行比较分析，结果表明：新加坡小学数学教材难度略低于中国教材，但从各个维度来说，两国教材难度各有特点。
关键词：数学教材 课程难度模型 比较 内容广度 内容深度 习题难度
国内对于美、英、澳等发达国家数学教材方面的难度比较研究已经取得了很多成果[1-5]，新加坡的数学教育以其鲜明的特色而受到国际数学教育界的高度赞扬[6]，但对于新加坡的教材难度比较却不多。而一年级学生的认知水平正处于起始阶段，所以对于一年级教材的编写尤为重要[7]。因此，本文运用数学教材难度模型[5，8]，通过对新加坡与我国的小学数学教材进行难度比较，为我国的数学课程改革提供借鉴，为老师的教学提供帮助。
1 研究对象、方法和工具
1.1 比较对象
将我国人民教育出版社出版（简称“人教版”）和第三版新加坡Marshall Cavendish版《My Pals are here！ Maths》（简称“MCE”）的小学一年级的数学教材作为参考对象进行比较。人教版是国内使用量大的优秀教材，MCE教材也是新加坡最受欢迎的教材。
研究以小学一年级数学教材作为比较对象，因为一年级学生还不具备了一定的知识经验基础，其认知水平正处于前运算阶段。所以，在这一阶段教科书的编写可以充分反映两国的教育理念和教育挑战，以期望通过研究和分析了解两国的小学数学教育的特点。
1.2 方法和工具
教材难度模型[5，8]：
其中，，C1代表内容广度，C2代表内容深度;C21代表呈现方式水平，C22代表认知水平;C3代表习题难度，C31代表习题水平难度，C32代表习题背景难度。N代表教材难度，C1内容广度、C2代表内容深度、C3代表习题难度，α1，α1，α3为0.2，0.5，0.3，α21，α22为0.5，0.5，α31，α32为0.6，0.4[7]。
内容广度：人教版或MCE教材包含的知识点个数（S1）与两国教材知识点并集包含知识点个数（S）的比值。
内容深度：认知水平和呈现方式两个维度，分别计算出相应水平的数量，公式：
习题难度：数学认知和习题背景两方面维度组成，分别计算出相应水平的数量，公式：
2 两国教材难度比较
2.1 教材内容广度
人教版教材中有38个知识点，MCE教材中有35个知识点，两国知识点的并集41个。独有知识点有人教版教材6个，MCE版教材3个。人教版教材内容广度为;同理，MCE教材内容广度为0.8537。得出结论：MCE教材内容广度上低于人教版教材。
2.2 教材內容深度
研究内容深度从两个维度入手，分别是呈现方式和认知水平。根据两国教材知识点统计可以得出两国教材在不同呈现方式的分布（图1），以及在不同数学认知的分布（图2）：
同理;MCE教材内容深度为0.5857。得出结论：MCE教材内容深度上略高于人教版教材。
2.3 教材习题难度比较
根据教材认知水平和习题背景两方面进行两国教材的习题难度的比较研究，并统计数据可以得出两国教材数学认知对比（图3），以及两国教材习题背景对比（图4）：
同理;MCE教材习题难度为0.4960。得出结论：MCE教材习题难度上略低于人教版教材。
将上述计算数据代入公式：;MCE教材总体难度是0.6122;人教版教材总体难度是0.6258。综上所述，归纳关键数据如下：
3 结论
3.1 中国小学数学教材总体难度略高于新加坡教材
本文研究表明：人教版教材总体难度为0.6258，而MCE教材总体难度为0.6124。说明MCE教材难度略低于人教版教材，两国教材在各维度上难度差异。在内容广度上，MCE教材明显低于人教版;在习题难度上，MCE版教材难度比人教版难度稍低;而对于内容深度，MCE教材高于人教版。但是，从各维度来说，MCE教材较为平稳，人教版教材难度相对起伏较大。
3.2 新加坡小学数学教材精而不浅
MCE教材和人教版教材在知识点数量上差异不大，却加入了人教版教材中没有涉及的乘法、除法运算。MCE教材不仅涉及数与代数、测量、几何、数据分析等各个领域，且各领域相互融合。在呈现方式上，MCE教材总体高于人教版教材，MCE教材更强调归纳，而人教版强调直观;而在数学认知上，人教版教材高于MCE教材，但两者都十分注重知识的理解程度。
3.3 中国小学数学教材在习题难度上较高
中国教材在习题难度上难度为0.5032，MCE教材为0.4960。这表明中国教材的习题难度高于新加坡教材。就习题水平而言，虽然人教版教材的习题量和MCE教材的比例是2.16：1，但MCE教材对习题巧妙的设计和编排，减少了各个领域的重复练习。在习题背景上，MCE教材中有关生活背景的习题比例较少，更多的是故事性情境。此教材的深度要大于中国教材，因此所用的课时也较多，但这在无形中降低了新加坡课程的难度。
因此，MCE小学数学教材难度略低于人教版教材，但从各个维度来说，人教版和MCE教材难度各有特点。虽然MCE教材知识点稍少，但其习题深度略高，而人教版教材在习题难度上更高些。
参考文献：
[1] 吴卫东.中英两国数学教材中导数例题、习题的综合难度比较[J].中学数学教学参考，2017（25）：67-70.
[2] 曹阳.中、加、美中学数学教材习题综合难度之比较研究——以“不等式”专题为例[J].数学学习与研究，2019（11）：72-73.
[3] 田仕芹，王玉文.中美高等数学教材内容的比较研究——以美国宾夕法尼亚九版和中国同济七版为例[J].数学教育学报，2017，26（02）：75-79.
[4] 王宽明.中澳两国小学数学教材难度比较研究——以人教版和Nelson小学数学四年级教材为例[J].现代中小学教育，2015，31（02）：112-117.
[5] 鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002，（9）：48-52.
[6] 金海月，乔雪峰.新加坡数学课程特色、发展趋向及其启示[J].外国中小学教育，2017（03）：61-66+73.
[7] 蒲淑萍，宋乃庆，邝孔秀.21世纪小学数学教材的国际发展趋势研究——基于对10个国家12套小学教材的分析[J].教育研究，2017，38（05）：144-151.
[8] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2005，（6）：151-155.
黄冈师范学院数学与统计学院 （湖北省黄冈市 438000）
关键词：数学教材 课程难度模型 比较 内容广度 内容深度 习题难度
国内对于美、英、澳等发达国家数学教材方面的难度比较研究已经取得了很多成果[1-5]，新加坡的数学教育以其鲜明的特色而受到国际数学教育界的高度赞扬[6]，但对于新加坡的教材难度比较却不多。而一年级学生的认知水平正处于起始阶段，所以对于一年级教材的编写尤为重要[7]。因此，本文运用数学教材难度模型[5，8]，通过对新加坡与我国的小学数学教材进行难度比较，为我国的数学课程改革提供借鉴，为老师的教学提供帮助。
1 研究对象、方法和工具
1.1 比较对象
将我国人民教育出版社出版（简称“人教版”）和第三版新加坡Marshall Cavendish版《My Pals are here！ Maths》（简称“MCE”）的小学一年级的数学教材作为参考对象进行比较。人教版是国内使用量大的优秀教材，MCE教材也是新加坡最受欢迎的教材。
研究以小学一年级数学教材作为比较对象，因为一年级学生还不具备了一定的知识经验基础，其认知水平正处于前运算阶段。所以，在这一阶段教科书的编写可以充分反映两国的教育理念和教育挑战，以期望通过研究和分析了解两国的小学数学教育的特点。
1.2 方法和工具
教材难度模型[5，8]：
其中，，C1代表内容广度，C2代表内容深度;C21代表呈现方式水平，C22代表认知水平;C3代表习题难度，C31代表习题水平难度，C32代表习题背景难度。N代表教材难度，C1内容广度、C2代表内容深度、C3代表习题难度，α1，α1，α3为0.2，0.5，0.3，α21，α22为0.5，0.5，α31，α32为0.6，0.4[7]。
内容广度：人教版或MCE教材包含的知识点个数（S1）与两国教材知识点并集包含知识点个数（S）的比值。
内容深度：认知水平和呈现方式两个维度，分别计算出相应水平的数量，公式：
习题难度：数学认知和习题背景两方面维度组成，分别计算出相应水平的数量，公式：
2 两国教材难度比较
2.1 教材内容广度
人教版教材中有38个知识点，MCE教材中有35个知识点，两国知识点的并集41个。独有知识点有人教版教材6个，MCE版教材3个。人教版教材内容广度为;同理，MCE教材内容广度为0.8537。得出结论：MCE教材内容广度上低于人教版教材。
2.2 教材內容深度
研究内容深度从两个维度入手，分别是呈现方式和认知水平。根据两国教材知识点统计可以得出两国教材在不同呈现方式的分布（图1），以及在不同数学认知的分布（图2）：
同理;MCE教材内容深度为0.5857。得出结论：MCE教材内容深度上略高于人教版教材。
2.3 教材习题难度比较
根据教材认知水平和习题背景两方面进行两国教材的习题难度的比较研究，并统计数据可以得出两国教材数学认知对比（图3），以及两国教材习题背景对比（图4）：
同理;MCE教材习题难度为0.4960。得出结论：MCE教材习题难度上略低于人教版教材。
将上述计算数据代入公式：;MCE教材总体难度是0.6122;人教版教材总体难度是0.6258。综上所述，归纳关键数据如下：
3 结论
3.1 中国小学数学教材总体难度略高于新加坡教材
本文研究表明：人教版教材总体难度为0.6258，而MCE教材总体难度为0.6124。说明MCE教材难度略低于人教版教材，两国教材在各维度上难度差异。在内容广度上，MCE教材明显低于人教版;在习题难度上，MCE版教材难度比人教版难度稍低;而对于内容深度，MCE教材高于人教版。但是，从各维度来说，MCE教材较为平稳，人教版教材难度相对起伏较大。
3.2 新加坡小学数学教材精而不浅
MCE教材和人教版教材在知识点数量上差异不大，却加入了人教版教材中没有涉及的乘法、除法运算。MCE教材不仅涉及数与代数、测量、几何、数据分析等各个领域，且各领域相互融合。在呈现方式上，MCE教材总体高于人教版教材，MCE教材更强调归纳，而人教版强调直观;而在数学认知上，人教版教材高于MCE教材，但两者都十分注重知识的理解程度。
3.3 中国小学数学教材在习题难度上较高
中国教材在习题难度上难度为0.5032，MCE教材为0.4960。这表明中国教材的习题难度高于新加坡教材。就习题水平而言，虽然人教版教材的习题量和MCE教材的比例是2.16：1，但MCE教材对习题巧妙的设计和编排，减少了各个领域的重复练习。在习题背景上，MCE教材中有关生活背景的习题比例较少，更多的是故事性情境。此教材的深度要大于中国教材，因此所用的课时也较多，但这在无形中降低了新加坡课程的难度。
因此，MCE小学数学教材难度略低于人教版教材，但从各个维度来说，人教版和MCE教材难度各有特点。虽然MCE教材知识点稍少，但其习题深度略高，而人教版教材在习题难度上更高些。
参考文献：
[1] 吴卫东.中英两国数学教材中导数例题、习题的综合难度比较[J].中学数学教学参考，2017（25）：67-70.
[2] 曹阳.中、加、美中学数学教材习题综合难度之比较研究——以“不等式”专题为例[J].数学学习与研究，2019（11）：72-73.
[3] 田仕芹，王玉文.中美高等数学教材内容的比较研究——以美国宾夕法尼亚九版和中国同济七版为例[J].数学教育学报，2017，26（02）：75-79.
[4] 王宽明.中澳两国小学数学教材难度比较研究——以人教版和Nelson小学数学四年级教材为例[J].现代中小学教育，2015，31（02）：112-117.
[5] 鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002，（9）：48-52.
[6] 金海月，乔雪峰.新加坡数学课程特色、发展趋向及其启示[J].外国中小学教育，2017（03）：61-66+73.
[7] 蒲淑萍，宋乃庆，邝孔秀.21世纪小学数学教材的国际发展趋势研究——基于对10个国家12套小学教材的分析[J].教育研究，2017，38（05）：144-151.
[8] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2005，（6）：151-155.
黄冈师范学院数学与统计学院 （湖北省黄冈市 438000）