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【编者按】接着2019年第8期、第11期、第12期，本期《热点透视》栏目继续呈现南京师范大学徐文彬教授团队对小学数学教学中数学核心素养培养的研究成果。
摘要：在世界范围的数学教育改革中，各个国家和地区都在强调“数据分析”对学生的意义和价值，相应地，统计和概率内容也越来越受到重视。因此，需进一步明晰“数据分析”在小学数学教学中的相关问题：《可能性》一课的教学要体现统计（数据分析）的价值与意义;小学数学“数据分析”素养的培养要注意明确数据分析的必要性，掌握数据分析的方法，融入价值观和态度。
关键词：数据分析 小学数学 《可能性》
我们今天生活在充斥着数据的社会中，“数据分析”成为身处现代社会的人所必备的素养。在世界范围的数学教育改革中，各个国家和地区也都在强调“数据分析”对学生的意义和价值，相应地，统计和概率内容也越来越受到重视。因此，需进一步明晰“数据分析”在小学数学教学中的相关问题。
一、“数据分析”培养的一个案例
本文选取的案例是《可能性》一课。
（一）教学问题
“可能性”是苏教版小学数学四年级上册中的重要内容，其教学目的在于通过随机事件的发生情况感知随机事件发生的可能性，进而学会判断随机事件发生的可能性。这一内容与后续概率的学习密切相关。此外，这一内容所具有的游戏化、活动化教学形式使其经常出现在公开课或展示课中。
笔者有幸聆听了几节《可能性》的公开课，这些公开课大都设计了摸球活动：首先，让学生看一下不透明袋子中有哪些颜色的球（大小、质地相同）、每种颜色的球各有多少个;然后，让学生猜测摸到某一种颜色的球的可能性;接着，让学生通过小组合作的方式收集、记录数据来验证猜测;最后，进行总结，从而让学生学会判断事件发生的可能性大小。一般来说，只要教师把控得当，学生会有很高的课堂参与度，整个课堂氛围较好，这也是很多教师选择这一节课开设公开课的原因——能较好地体现当下教育教学的很多理念。然而，仅就“统计”这一内容而言，这样的教学设计可能与“统计”所具有的数学意味有所背离。
严格而言，“可能性”在小学阶段的学习主要与统计相关（后续的学习主要与概率相关）。这从教材的编排也可以看出来，比如苏教版小学数学教材《可能性》一课中的例1和例2（如图1、图2）。这两道例题，学生都需通过“摸”，即数据的收集，才能判断事件发生的可能性。这与从纯数学的角度来计算事件发生的概率有很大的区别，而与统计（数据分析）更为相关。
统计（数据分析）的重要价值和意义在于能将人们无法全面认识的现象，通过统计手段变得可以认识或者可以推断。比如，心脏检查，从医学的角度来说，医生是不能将一个活人的心脏进行解剖，然后化验、分析，最后给检查者一个报告的。因而，医学上采用的思路是通过心脏表现出的或通过技术手段让其表现出的现象（心电图等），推断心脏可能的情况。从这个角度出发，上述《可能性》一课的教学设计并没有凸显统计（数据分析）本身的价值与意义——学生已知结果，然后去猜测、验证，后续的学习行为都太刻意和人为化。
（二）教学改进
为了体现统计（数据分析）的价值与意义，《可能性》一课教学可以做以下改进：
以摸球为例，一开始向学生呈现学具——一袋球（袋子里的具体情况教师也不知道），让学生猜测袋子中可能的情况（袋子中可能有不同颜色的球，不同颜色球的个数可能不一样，摸到某种颜色球的可能性更大，等等）。然后，让学生以小组合作的方式探索和验证这些猜测。
如此，才能更好地体现统计（数据分析）的价值与意义，也能更好地帮助学生理解可能性。比如，当学生通过20次摸球发现摸到某种颜色球的次数更多时，学生会认为摸到这种颜色球的可能性更大。此时，教师质疑：一定是这样吗？我们都不知道袋子里的具体情况，你是怎么知道的？引发学生进一步思考可能性与摸球次数的关联。如果增加摸球的次数，我们就能更加确定袋子中球的情况以及摸到某种颜色球的可能性;但是即使次数无限增加，我们都不能完全确定袋子中球的情况，除非打开袋子一看究竟。这就是统计（数据分析）与概率的最大差别，也是概率对于统计（数据分析）的必要性和价值所在。
（三）改进意图
这一改进设计实则体现了小学数学“数据分析”素养的培养思路。改进的核心在于通过《可能性》一课的教学，帮助学生明白数据收集、数据分析以及判断与决策的价值和意义。换言之，就我们对“数据分析”素养的理解而言，其应包括数据收集、数据整理与表达、数据分析与解释以及判断与决策。在小学数学教学中，可能囿于“数据分析”的表达，将“数据分析”僅仅局限在数据分析的方式和方法上，忽视了“数据分析”的判断与决策。
二、“数据分析”培养的注意事项
就“数据分析”在小学数学教学中的落实而言，其最为核心的是在明晰整个小学数学“统计与概率”内容的基础上，培养学生数据分析的意识。仅就小学数学“统计与概率”内容而言，其基本结构如图3所示。可以看出，“数据分析”主要关涉从数据收集到判断与决策的整个过程。具体而言，小学数学“数据分析”素养的培养需要注意以下问题：
（一）明确数据分析的必要性
数据分析的前提是有必要通过数据来解释或解决人们所遇到的问题。如果没有必要，抑或人为地虚造必要，则学生对数据分析的价值和意义的感知不会太深。因而，“数据分析”培养的首要条件是创设真实的、需要用数据予以解释或解决的问题情境。
例如，上述《可能性》一课的改进教学设计，虽然摸球这一问题可能不是日常生活中会遇到的，但在不告知袋子中球信息的情况下，学生就有了后续摸球、记录等数据收集、整理，进而进行分析的必要。
小学数学教学中，让学生学习数据收集以及数据整理与表达时，可以让学生收集与其生活、学习密切相关的数据，如全班同学的生日、到校时间、起床时间等等。这样，学生会更有兴趣参与数据分析的整个过程，更深刻地感受到数据与其生活、学习息息相关。 当然，倘若要求更高一点，可以设置一些综合性问题，让学生学习用数据来解决。如：南京人十分喜欢吃鸭子，你能想办法知道南京人一天吃多少只鸭子吗？这与数学上的费米问题（通常包括对于限定信息可能数量的猜想、验证，如通过纽约和洛杉矶的距离和时差推算地球的周长）较为类似，这一问题看似很难解决，但通过变换条件，通过数据收集，也可以得到解决。进一步而言，这一图3创造真实的、需要用数据予以解释或解决的问题情境，实则在培养学生数据收集的意识。拥有数据收集意识的人，不仅懂得通过收集数据来解释或解决问题，还能够根据问题的不同，知道收集哪些数据来解释或解决问题。
（二）掌握數据分析的方法
数据分析的方法，一般包括两个方面：一是数据的整理与表达，二是数据的分析与解释。其中，数据的整理与表达是通过统计表或统计图的形式对所收集的数据进行整理，其核心在于分类思想。分类是小学数学中重要的思想方法之一，其要义在于确立合适的标准，不重不漏地对对象进行区分。为了让学生建立分类的方法与思想，教学中需要给学生创造自由表达、自主分类的机会，并引导学生说出分类的理由及其合理性。当然，分类不仅仅是统计中需要学习的思想方法，其在小学数学中有诸多体现，例如，将自然数分为奇数和偶数或质数和合数，将三角形按边分类或按角分类，等等。而在统计的教学中，分类标准的建立最好能与问题结合起来，这样才能明晰分类背后的意图所在。
例如，张奠宙教授曾举过这样一个例子：
某企业有5个股东，100名工人，年底公布经营业绩，如表1所示。
完全一样的数据，股东、工会主席以及工人所绘的统计图分别如图4—图6。三幅图的横坐标的分类都是年份，但纵坐标的分类就明显不同了——反映了不同绘制者不同的意图。
当然，就数学问题来说，分类一定是与其所要解释或解决的问题相关的。从某种程度上说，统计图表只是数据直观表现的手段，其内核在于分类。因此，在小学统计图表的教学中，有意识地培养学生分类的意识，让学生掌握不同的分类方法，是其更好地掌握统计图表的关键。
对于数据的分析与解释而言，需要结合现实情境合理地使用数据分析的手段，进而依据所得结果进行解释。其中，数据分析手段的意义明晰是关键。
例如，“平均数”的教学中，平均数的计算对学生而言不是难点，但理解平均数的实际意义对学生来说可能比较困难，而这是合理运用平均数的关键。因而，特级教师俞正强通过“小明跑60米通常需要（）秒”这一问题来帮助学生建立平均数与日常生活的联系，进而学会运用平均数，而不是仅仅计算平均数。
（三）融入价值观和态度
数据分析的最终目的是为了对遇到的问题进行解释和解决，但与一般的数学解释和解决的不同之处在于，它需要通过数据分析所获得的信息来对问题进行判断与决策。判断与决策就涉及判断（决策）者的价值观和态度。在教学过程中，有必要将价值观和态度融合在数据分析的判断与决策之中。
例如，一位教师提供了两组数据——一组数据是7个人每人拍球的数量，另一组数据是8个人每人拍球的数量，然后提出问题：你觉得哪个小组拍得好？教师的本意是让学生学会用平均数来解决问题，但学生却想出了很多方法，如比较每组中拍得最多的人所拍的数量，哪个多，哪组就好。这一案例典型地体现了数据分析中价值观和态度因素的作用。仅就题目而言，平均数的方法和学生的方法都是可以的，都可以用来判断哪一组拍得好。二者的差别在于一个是从群体的角度来判断好与坏，一个是从个体的角度来判断的。正如史宁中教授所言，如果为了反映全民健身的情况，则平均数无疑更恰当一些;如果为了选拔尖子生，则学生的方法无疑更为恰当。
实际教学中，为了体现和强化价值观和态度，教师可以设置以下问题：
9组学生已经比完，还需要选择一名学生参加最后一组比赛，有甲、乙两名同学可供选择，他们平时的训练成绩如下：
甲：50、23、45、21、48、17;
乙：28、30、31、35、24、19。
如果是你，你会选择哪位同学？
这里的选择就需基于某种目的（根据前面9组学生的赛果），如稳定性、超常发挥等。以此来帮助学生认识和理解判断与决策中价值观和态度的重要性，进而培养学生完善的数据分析观念。
本文系江苏省社会科学基金项目“互联网时代下基础教育教师教学观念的转变与实践研究”（编号：18JYC001）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 张奠宙，戴再平.中学数学问题问题集[M].上海：华东师范大学出版社，1996.
[2] 俞正强.学习从哪里开始？——以“平均数的认识”为例[J].中国教师，2015（1）.
[3] 史宁中，张丹，赵迪.“数据分析观念”的内涵及教学建议——数学教育热点问题系列访谈之五[J].课程·教材·教法，2008（6）.
摘要：在世界范围的数学教育改革中，各个国家和地区都在强调“数据分析”对学生的意义和价值，相应地，统计和概率内容也越来越受到重视。因此，需进一步明晰“数据分析”在小学数学教学中的相关问题：《可能性》一课的教学要体现统计（数据分析）的价值与意义;小学数学“数据分析”素养的培养要注意明确数据分析的必要性，掌握数据分析的方法，融入价值观和态度。
关键词：数据分析 小学数学 《可能性》
我们今天生活在充斥着数据的社会中，“数据分析”成为身处现代社会的人所必备的素养。在世界范围的数学教育改革中，各个国家和地区也都在强调“数据分析”对学生的意义和价值，相应地，统计和概率内容也越来越受到重视。因此，需进一步明晰“数据分析”在小学数学教学中的相关问题。
一、“数据分析”培养的一个案例
本文选取的案例是《可能性》一课。
（一）教学问题
“可能性”是苏教版小学数学四年级上册中的重要内容，其教学目的在于通过随机事件的发生情况感知随机事件发生的可能性，进而学会判断随机事件发生的可能性。这一内容与后续概率的学习密切相关。此外，这一内容所具有的游戏化、活动化教学形式使其经常出现在公开课或展示课中。
笔者有幸聆听了几节《可能性》的公开课，这些公开课大都设计了摸球活动：首先，让学生看一下不透明袋子中有哪些颜色的球（大小、质地相同）、每种颜色的球各有多少个;然后，让学生猜测摸到某一种颜色的球的可能性;接着，让学生通过小组合作的方式收集、记录数据来验证猜测;最后，进行总结，从而让学生学会判断事件发生的可能性大小。一般来说，只要教师把控得当，学生会有很高的课堂参与度，整个课堂氛围较好，这也是很多教师选择这一节课开设公开课的原因——能较好地体现当下教育教学的很多理念。然而，仅就“统计”这一内容而言，这样的教学设计可能与“统计”所具有的数学意味有所背离。
严格而言，“可能性”在小学阶段的学习主要与统计相关（后续的学习主要与概率相关）。这从教材的编排也可以看出来，比如苏教版小学数学教材《可能性》一课中的例1和例2（如图1、图2）。这两道例题，学生都需通过“摸”，即数据的收集，才能判断事件发生的可能性。这与从纯数学的角度来计算事件发生的概率有很大的区别，而与统计（数据分析）更为相关。
统计（数据分析）的重要价值和意义在于能将人们无法全面认识的现象，通过统计手段变得可以认识或者可以推断。比如，心脏检查，从医学的角度来说，医生是不能将一个活人的心脏进行解剖，然后化验、分析，最后给检查者一个报告的。因而，医学上采用的思路是通过心脏表现出的或通过技术手段让其表现出的现象（心电图等），推断心脏可能的情况。从这个角度出发，上述《可能性》一课的教学设计并没有凸显统计（数据分析）本身的价值与意义——学生已知结果，然后去猜测、验证，后续的学习行为都太刻意和人为化。
（二）教学改进
为了体现统计（数据分析）的价值与意义，《可能性》一课教学可以做以下改进：
以摸球为例，一开始向学生呈现学具——一袋球（袋子里的具体情况教师也不知道），让学生猜测袋子中可能的情况（袋子中可能有不同颜色的球，不同颜色球的个数可能不一样，摸到某种颜色球的可能性更大，等等）。然后，让学生以小组合作的方式探索和验证这些猜测。
如此，才能更好地体现统计（数据分析）的价值与意义，也能更好地帮助学生理解可能性。比如，当学生通过20次摸球发现摸到某种颜色球的次数更多时，学生会认为摸到这种颜色球的可能性更大。此时，教师质疑：一定是这样吗？我们都不知道袋子里的具体情况，你是怎么知道的？引发学生进一步思考可能性与摸球次数的关联。如果增加摸球的次数，我们就能更加确定袋子中球的情况以及摸到某种颜色球的可能性;但是即使次数无限增加，我们都不能完全确定袋子中球的情况，除非打开袋子一看究竟。这就是统计（数据分析）与概率的最大差别，也是概率对于统计（数据分析）的必要性和价值所在。
（三）改进意图
这一改进设计实则体现了小学数学“数据分析”素养的培养思路。改进的核心在于通过《可能性》一课的教学，帮助学生明白数据收集、数据分析以及判断与决策的价值和意义。换言之，就我们对“数据分析”素养的理解而言，其应包括数据收集、数据整理与表达、数据分析与解释以及判断与决策。在小学数学教学中，可能囿于“数据分析”的表达，将“数据分析”僅仅局限在数据分析的方式和方法上，忽视了“数据分析”的判断与决策。
二、“数据分析”培养的注意事项
就“数据分析”在小学数学教学中的落实而言，其最为核心的是在明晰整个小学数学“统计与概率”内容的基础上，培养学生数据分析的意识。仅就小学数学“统计与概率”内容而言，其基本结构如图3所示。可以看出，“数据分析”主要关涉从数据收集到判断与决策的整个过程。具体而言，小学数学“数据分析”素养的培养需要注意以下问题：
（一）明确数据分析的必要性
数据分析的前提是有必要通过数据来解释或解决人们所遇到的问题。如果没有必要，抑或人为地虚造必要，则学生对数据分析的价值和意义的感知不会太深。因而，“数据分析”培养的首要条件是创设真实的、需要用数据予以解释或解决的问题情境。
例如，上述《可能性》一课的改进教学设计，虽然摸球这一问题可能不是日常生活中会遇到的，但在不告知袋子中球信息的情况下，学生就有了后续摸球、记录等数据收集、整理，进而进行分析的必要。
小学数学教学中，让学生学习数据收集以及数据整理与表达时，可以让学生收集与其生活、学习密切相关的数据，如全班同学的生日、到校时间、起床时间等等。这样，学生会更有兴趣参与数据分析的整个过程，更深刻地感受到数据与其生活、学习息息相关。 当然，倘若要求更高一点，可以设置一些综合性问题，让学生学习用数据来解决。如：南京人十分喜欢吃鸭子，你能想办法知道南京人一天吃多少只鸭子吗？这与数学上的费米问题（通常包括对于限定信息可能数量的猜想、验证，如通过纽约和洛杉矶的距离和时差推算地球的周长）较为类似，这一问题看似很难解决，但通过变换条件，通过数据收集，也可以得到解决。进一步而言，这一图3创造真实的、需要用数据予以解释或解决的问题情境，实则在培养学生数据收集的意识。拥有数据收集意识的人，不仅懂得通过收集数据来解释或解决问题，还能够根据问题的不同，知道收集哪些数据来解释或解决问题。
（二）掌握數据分析的方法
数据分析的方法，一般包括两个方面：一是数据的整理与表达，二是数据的分析与解释。其中，数据的整理与表达是通过统计表或统计图的形式对所收集的数据进行整理，其核心在于分类思想。分类是小学数学中重要的思想方法之一，其要义在于确立合适的标准，不重不漏地对对象进行区分。为了让学生建立分类的方法与思想，教学中需要给学生创造自由表达、自主分类的机会，并引导学生说出分类的理由及其合理性。当然，分类不仅仅是统计中需要学习的思想方法，其在小学数学中有诸多体现，例如，将自然数分为奇数和偶数或质数和合数，将三角形按边分类或按角分类，等等。而在统计的教学中，分类标准的建立最好能与问题结合起来，这样才能明晰分类背后的意图所在。
例如，张奠宙教授曾举过这样一个例子：
某企业有5个股东，100名工人，年底公布经营业绩，如表1所示。
完全一样的数据，股东、工会主席以及工人所绘的统计图分别如图4—图6。三幅图的横坐标的分类都是年份，但纵坐标的分类就明显不同了——反映了不同绘制者不同的意图。
当然，就数学问题来说，分类一定是与其所要解释或解决的问题相关的。从某种程度上说，统计图表只是数据直观表现的手段，其内核在于分类。因此，在小学统计图表的教学中，有意识地培养学生分类的意识，让学生掌握不同的分类方法，是其更好地掌握统计图表的关键。
对于数据的分析与解释而言，需要结合现实情境合理地使用数据分析的手段，进而依据所得结果进行解释。其中，数据分析手段的意义明晰是关键。
例如，“平均数”的教学中，平均数的计算对学生而言不是难点，但理解平均数的实际意义对学生来说可能比较困难，而这是合理运用平均数的关键。因而，特级教师俞正强通过“小明跑60米通常需要（）秒”这一问题来帮助学生建立平均数与日常生活的联系，进而学会运用平均数，而不是仅仅计算平均数。
（三）融入价值观和态度
数据分析的最终目的是为了对遇到的问题进行解释和解决，但与一般的数学解释和解决的不同之处在于，它需要通过数据分析所获得的信息来对问题进行判断与决策。判断与决策就涉及判断（决策）者的价值观和态度。在教学过程中，有必要将价值观和态度融合在数据分析的判断与决策之中。
例如，一位教师提供了两组数据——一组数据是7个人每人拍球的数量，另一组数据是8个人每人拍球的数量，然后提出问题：你觉得哪个小组拍得好？教师的本意是让学生学会用平均数来解决问题，但学生却想出了很多方法，如比较每组中拍得最多的人所拍的数量，哪个多，哪组就好。这一案例典型地体现了数据分析中价值观和态度因素的作用。仅就题目而言，平均数的方法和学生的方法都是可以的，都可以用来判断哪一组拍得好。二者的差别在于一个是从群体的角度来判断好与坏，一个是从个体的角度来判断的。正如史宁中教授所言，如果为了反映全民健身的情况，则平均数无疑更恰当一些;如果为了选拔尖子生，则学生的方法无疑更为恰当。
实际教学中，为了体现和强化价值观和态度，教师可以设置以下问题：
9组学生已经比完，还需要选择一名学生参加最后一组比赛，有甲、乙两名同学可供选择，他们平时的训练成绩如下：
甲：50、23、45、21、48、17;
乙：28、30、31、35、24、19。
如果是你，你会选择哪位同学？
这里的选择就需基于某种目的（根据前面9组学生的赛果），如稳定性、超常发挥等。以此来帮助学生认识和理解判断与决策中价值观和态度的重要性，进而培养学生完善的数据分析观念。
本文系江苏省社会科学基金项目“互联网时代下基础教育教师教学观念的转变与实践研究”（编号：18JYC001）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 张奠宙，戴再平.中学数学问题问题集[M].上海：华东师范大学出版社，1996.
[2] 俞正强.学习从哪里开始？——以“平均数的认识”为例[J].中国教师，2015（1）.
[3] 史宁中，张丹，赵迪.“数据分析观念”的内涵及教学建议——数学教育热点问题系列访谈之五[J].课程·教材·教法，2008（6）.