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求解数学题的关键在于准确快速地找到解题的突破口,那么,如何寻找解题的突破口呢?本文结合实例谈一些具体做法.
1. 紧扣定义
理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙,也是寻找解题突破口的一条重要途径.
例1 若点M(x,y)满足(x+3)2+(y-1)2-|x-y+3|=0,则点M的轨迹是
解:由(x+3)2+(y-1)2-|x-y+3|=0,得(x+3)2+(y-1)2|x-y+3|2=2
此式可以看成是动点M(x,y)到定点(-3,1)与到定直线x-y+3=0距离之比为2的点的轨迹,根据圆锥曲线的定义,此轨迹为双曲线.
注:本题若移项再平方,可进行化简,但表达式中会出现xy项,对曲线的形状的判断有点难度,通过对原式的合理变形,利用圆锥曲线的定义则能快速解决问题.
2. 深挖隐含
隐含条件是指隐而不显,含而不露的已知条件,它们常常巧妙地隐藏在题目的背后,极易被同学们忽视,从而造成错解或繁解,甚至无法解决.优先考虑隐含条件往往能减少运算量,简化或避免复杂的变形与讨论,找到解题突破口,使问题简捷获解.
例2 已知x,y是实数,且满足(x-1)3+2010(x-1)=-1,(y-1)3+2010(y-1)=1,则x+y= .
分析:按常规思路是解方程分别求出x和y,显然这是非常困难的,思维受阻.观察题目条件,发现(x-1)3+2010(x-1)与(y-1)3+2010(y-1)这两个式子的结构是相同的.
若令f(t)=t3+2010t,则
f(x-1)=(x-1)3+2010(x-1),f(y-1)=(y-1)3+2010(y-1).这样便将两方程联系起来了.
解:令f(t)=t3+2010t,
则f(x-1)=(x-1)3+2010(x-1)=-1,
f(y-1)=(y-1)3+2010(y-1)=1,
易知f(x)在R上是奇函数,则f(x-1)=-f(y-1)=f(1-y),
又f(x)在R上是增函数,故x-1=1-y,即x+y=2.
3. 展开联想
对于某些数学问题,从结构上的特点出发,在寻求命题的条件和结论间的逻辑联系时,由此及彼地联想(联想定义、定理或解决过的类似问题等),常常能启发思维,找到解题的突破口.
例3 已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(x)≠1,f(0)=2+3,求f(2010)的值.
分析:由f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)且f(x)≠1,
∴f(x+2)=1+f(x)1-f(x)联想到三角公式 tan(π4+α)=1+tanα1-tanα.
由y=tanx的周期为 π=π4×4,猜想f(x)可能为周期函数,8=2×4是它的一个周期.
解:∵f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(x)≠1
∴f(x+2)=1+f(x)1-f(x)f(x+4)=f[(x+2)+2]=1+f(x+2)1-f(x+2)=-1f(x)
f(x+8)=f[(x+4)+4]=-1f(x+4)=f(x)
因此f(x)是以8为周期的周期函数.
f(2010)=f(251×8+2)=f(2)=1+f(0)1-f(0)=-3
4. 把握转化
化归与转化的思想方法无处不在,它是寻求问题解决过程中最重要、最活跃的一个环节,是分析、解决问题的有效途径,是数学中最基本、最常用、最重要的思想方法,也是寻找解题突破口的常用方法.
例4 两条异面直线称为“一对”,则在正方体八个顶点间的所有连线中,成异面直线的共有多少对?
分析:如果以其中一条棱进行分类的话,很难搞清“重”和“漏”,然而我们对以下两题很熟悉:①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少?②如果两条异面直线称为“一对”的话,一个三棱锥中有多少对异面直线?故可把本题分解成两个熟悉的问题.①的答案是C48-12=58个;②的答案是3对,故本题答案为58×3=174对.
点评:若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏,而引入三棱锥通过计算三棱锥的个数,使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应,从而使问题转化为我们所熟悉的问题.
5. 数形结合
数形结合是寻找解题突破口的一条重要途径,它是把已知或要求的式子与图形结合起来.应用数形结合思想,就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决.运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.
例5 已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(其中a 解析:a,b是方程g(x)=(x-a)(x-b)=0的两根,在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示:
由图可知:α (作者:周淦利,江苏省泰州市第三高级中学)
1. 紧扣定义
理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙,也是寻找解题突破口的一条重要途径.
例1 若点M(x,y)满足(x+3)2+(y-1)2-|x-y+3|=0,则点M的轨迹是
解:由(x+3)2+(y-1)2-|x-y+3|=0,得(x+3)2+(y-1)2|x-y+3|2=2
此式可以看成是动点M(x,y)到定点(-3,1)与到定直线x-y+3=0距离之比为2的点的轨迹,根据圆锥曲线的定义,此轨迹为双曲线.
注:本题若移项再平方,可进行化简,但表达式中会出现xy项,对曲线的形状的判断有点难度,通过对原式的合理变形,利用圆锥曲线的定义则能快速解决问题.
2. 深挖隐含
隐含条件是指隐而不显,含而不露的已知条件,它们常常巧妙地隐藏在题目的背后,极易被同学们忽视,从而造成错解或繁解,甚至无法解决.优先考虑隐含条件往往能减少运算量,简化或避免复杂的变形与讨论,找到解题突破口,使问题简捷获解.
例2 已知x,y是实数,且满足(x-1)3+2010(x-1)=-1,(y-1)3+2010(y-1)=1,则x+y= .
分析:按常规思路是解方程分别求出x和y,显然这是非常困难的,思维受阻.观察题目条件,发现(x-1)3+2010(x-1)与(y-1)3+2010(y-1)这两个式子的结构是相同的.
若令f(t)=t3+2010t,则
f(x-1)=(x-1)3+2010(x-1),f(y-1)=(y-1)3+2010(y-1).这样便将两方程联系起来了.
解:令f(t)=t3+2010t,
则f(x-1)=(x-1)3+2010(x-1)=-1,
f(y-1)=(y-1)3+2010(y-1)=1,
易知f(x)在R上是奇函数,则f(x-1)=-f(y-1)=f(1-y),
又f(x)在R上是增函数,故x-1=1-y,即x+y=2.
3. 展开联想
对于某些数学问题,从结构上的特点出发,在寻求命题的条件和结论间的逻辑联系时,由此及彼地联想(联想定义、定理或解决过的类似问题等),常常能启发思维,找到解题的突破口.
例3 已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(x)≠1,f(0)=2+3,求f(2010)的值.
分析:由f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)且f(x)≠1,
∴f(x+2)=1+f(x)1-f(x)联想到三角公式 tan(π4+α)=1+tanα1-tanα.
由y=tanx的周期为 π=π4×4,猜想f(x)可能为周期函数,8=2×4是它的一个周期.
解:∵f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(x)≠1
∴f(x+2)=1+f(x)1-f(x)f(x+4)=f[(x+2)+2]=1+f(x+2)1-f(x+2)=-1f(x)
f(x+8)=f[(x+4)+4]=-1f(x+4)=f(x)
因此f(x)是以8为周期的周期函数.
f(2010)=f(251×8+2)=f(2)=1+f(0)1-f(0)=-3
4. 把握转化
化归与转化的思想方法无处不在,它是寻求问题解决过程中最重要、最活跃的一个环节,是分析、解决问题的有效途径,是数学中最基本、最常用、最重要的思想方法,也是寻找解题突破口的常用方法.
例4 两条异面直线称为“一对”,则在正方体八个顶点间的所有连线中,成异面直线的共有多少对?
分析:如果以其中一条棱进行分类的话,很难搞清“重”和“漏”,然而我们对以下两题很熟悉:①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少?②如果两条异面直线称为“一对”的话,一个三棱锥中有多少对异面直线?故可把本题分解成两个熟悉的问题.①的答案是C48-12=58个;②的答案是3对,故本题答案为58×3=174对.
点评:若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏,而引入三棱锥通过计算三棱锥的个数,使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应,从而使问题转化为我们所熟悉的问题.
5. 数形结合
数形结合是寻找解题突破口的一条重要途径,它是把已知或要求的式子与图形结合起来.应用数形结合思想,就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决.运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.
例5 已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(其中a
由图可知:α