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【摘要】在中學数学中，构造法在技巧与方法中占据着非常重要的地位，它可以起到化繁为简，化难为易的作用，将中学数学中的技巧性展示的淋漓尽致。下面笔者将从一些常见的数学问题中来阐述构造法的具体应用。
【关键词】构造；转化；中学数学解题应用
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）15-0277-02
所谓构造法就是当解决某些数学问题时按照定向思维思考难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，创设一个符合满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。它在数学中可以起到“柳暗花明又一村”的作用，体现了学生的创造型思维，也可以反映出学生对于条件的理解和发掘。构造法在数学中有着非常广泛的应用，无论是代数还是几何，都可以构造出合适的数学对象以达到解决问题的目的，所以熟练运用构造法解决问题非常重要。下面笔者将从一些常见的数学问题中来阐述构造法的具体应用。
一、构造空间图形求三棱锥的外接球半径
题目1 在半径为R的球面上由不共面的四个点A，B，C，D，且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，x2+y2+z2=8，求R.
解析：由条件可知该三棱锥的四个面的三角形全等，可在长方体中构造出该三棱锥（图1），则长方体的体对角线为三棱锥的外接球的直径，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则有：
点评：构造几何模型是求三棱锥外接球的常见方法，在该题中，因为四个面全等，若三边分别为x，y，z，则可直接计算出外接球的半径为：
二、构造基底向量求夹角问题
题目8 已知S-ABC为正四面体，棱长为a，D为SB的中点，E为BC的中点，求异面直线AD与SE所成角的余弦值。
解析：将作为空间基底向量，则：
故异面直线所成角的余弦值为：
点评：在求异面直线的夹角问题中，常见方法是将异面直线转化为共面直线求夹角，在该题中巧妙的利用基底向量减避免转化为共面向量繁琐的平移过程。
三、构造线性规划求几何概型
题目9 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30到7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为？
解析：设小张与小王到校的时刻与7：30的差值分别为x，y分钟，则：，则有序实数对（x，y）的所有可能的点为图3所示边长为20的正方形，因小张比小王至少早5分钟，则：如图3所示阴影部分，则小张比小王早五分钟的概率为：
点评：该题属于几何概型中的经典题型，将概率问题通过不等式转化为线性规划问题，将抽象问题具体化。
四、构造基本不等式求最值问题
题目4 已知a>b>c，求使得：恒成立的实数k的最大值；
解析：
（当且仅当a+c=2b时“=”成立）
恒成立。
点评：在该题目中所采用的构造法为“1的妙用”，属于解决基本不等式问题的长江方法。
五、构造抽象函数解不等式
题目5 设函数在R上的导函数为，对有，在上，若，则实数m的取值范围是？
解析：通过变式可得到
构造函数，故为奇函数当x>0时，
故是定义在R上的增函数。
由函数的单调性可知：
点评：构造抽象函数这一考点在高考中常以选择题压轴题的形式出现，考法较为固定，常见的形式有：
六、构造三角函数求最值
题目6 求的最大值。
解析：令
最大值为，当时取得，此时
点评：在该题将一求最值问题通过构造，变为了求三角函数的最值问题，将复杂问题简单化。
七、构造函数比较不等式的大小
题目7 已知函数在（1，+∞）上是增函数，且a>0。
若b>0，试证明
证明：若要证明该不等式可分为两部分：
先证明：，再证明：
在这里第二部分的解法用到了构造法，具体解法如下：
将该不等式化简后即证：
令，即证：即证：
设恒成立
故
点评：在该题中通过构造函数的方式证明了不等式，难点在于首先利用换元法构造出了新函数的自变量，将证明问题转化为求函数的最值问题是此类问题的常见解法。
八、构造方程求最值问题
题目8 已知实数x，y满足，求的最大值。
解析：令，则y=mx，带入已知等式并整理得：
解得的最大值为.
点评：在该题目中，通过构造法，将求最值问题转化为了二次方程的存根问题，利用存根公式，快速的求出了原式的最值
九、构造几何模型求代数问题
题目9 函数的值域为；
解析：，则
点在以点为焦点的双曲线上，于是由双曲线的定义可知，即-1 点评：代数式以及函数的几何意义是现在高考中的常考点，常见的考点还有例如在线性规划问题中求的取值范围。
参考文献
[1]构造一元二次方程解题.卢永荣[1]
[2]浅谈构造法在高中数学中的应用.李娟娟[1]
[3]浅谈构造法在数学中的应用.徐秋丽[1]
[4]浅谈构造法在中学数学中的应用.刘振源[1]
[5]浅谈圆锥曲线中点弦问题.郑美华
[6]浅析构造法在初等数学中的应用.芮媛媛[1]
【关键词】构造；转化；中学数学解题应用
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）15-0277-02
所谓构造法就是当解决某些数学问题时按照定向思维思考难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，创设一个符合满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。它在数学中可以起到“柳暗花明又一村”的作用，体现了学生的创造型思维，也可以反映出学生对于条件的理解和发掘。构造法在数学中有着非常广泛的应用，无论是代数还是几何，都可以构造出合适的数学对象以达到解决问题的目的，所以熟练运用构造法解决问题非常重要。下面笔者将从一些常见的数学问题中来阐述构造法的具体应用。
一、构造空间图形求三棱锥的外接球半径
题目1 在半径为R的球面上由不共面的四个点A，B，C，D，且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，x2+y2+z2=8，求R.
解析：由条件可知该三棱锥的四个面的三角形全等，可在长方体中构造出该三棱锥（图1），则长方体的体对角线为三棱锥的外接球的直径，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则有：
点评：构造几何模型是求三棱锥外接球的常见方法，在该题中，因为四个面全等，若三边分别为x，y，z，则可直接计算出外接球的半径为：
二、构造基底向量求夹角问题
题目8 已知S-ABC为正四面体，棱长为a，D为SB的中点，E为BC的中点，求异面直线AD与SE所成角的余弦值。
解析：将作为空间基底向量，则：
故异面直线所成角的余弦值为：
点评：在求异面直线的夹角问题中，常见方法是将异面直线转化为共面直线求夹角，在该题中巧妙的利用基底向量减避免转化为共面向量繁琐的平移过程。
三、构造线性规划求几何概型
题目9 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30到7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为？
解析：设小张与小王到校的时刻与7：30的差值分别为x，y分钟，则：，则有序实数对（x，y）的所有可能的点为图3所示边长为20的正方形，因小张比小王至少早5分钟，则：如图3所示阴影部分，则小张比小王早五分钟的概率为：
点评：该题属于几何概型中的经典题型，将概率问题通过不等式转化为线性规划问题，将抽象问题具体化。
四、构造基本不等式求最值问题
题目4 已知a>b>c，求使得：恒成立的实数k的最大值；
解析：
（当且仅当a+c=2b时“=”成立）
恒成立。
点评：在该题目中所采用的构造法为“1的妙用”，属于解决基本不等式问题的长江方法。
五、构造抽象函数解不等式
题目5 设函数在R上的导函数为，对有，在上，若，则实数m的取值范围是？
解析：通过变式可得到
构造函数，故为奇函数当x>0时，
故是定义在R上的增函数。
由函数的单调性可知：
点评：构造抽象函数这一考点在高考中常以选择题压轴题的形式出现，考法较为固定，常见的形式有：
六、构造三角函数求最值
题目6 求的最大值。
解析：令
最大值为，当时取得，此时
点评：在该题将一求最值问题通过构造，变为了求三角函数的最值问题，将复杂问题简单化。
七、构造函数比较不等式的大小
题目7 已知函数在（1，+∞）上是增函数，且a>0。
若b>0，试证明
证明：若要证明该不等式可分为两部分：
先证明：，再证明：
在这里第二部分的解法用到了构造法，具体解法如下：
将该不等式化简后即证：
令，即证：即证：
设恒成立
故
点评：在该题中通过构造函数的方式证明了不等式，难点在于首先利用换元法构造出了新函数的自变量，将证明问题转化为求函数的最值问题是此类问题的常见解法。
八、构造方程求最值问题
题目8 已知实数x，y满足，求的最大值。
解析：令，则y=mx，带入已知等式并整理得：
解得的最大值为.
点评：在该题目中，通过构造法，将求最值问题转化为了二次方程的存根问题，利用存根公式，快速的求出了原式的最值
九、构造几何模型求代数问题
题目9 函数的值域为；
解析：，则
点在以点为焦点的双曲线上，于是由双曲线的定义可知，即-1
参考文献
[1]构造一元二次方程解题.卢永荣[1]
[2]浅谈构造法在高中数学中的应用.李娟娟[1]
[3]浅谈构造法在数学中的应用.徐秋丽[1]
[4]浅谈构造法在中学数学中的应用.刘振源[1]
[5]浅谈圆锥曲线中点弦问题.郑美华
[6]浅析构造法在初等数学中的应用.芮媛媛[1]