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摘要：几何实验课就是根据教学内容的需要，有目的地创设一定的教学情境，在典型的实验环境中，让学生进行一定的几何图形的数学化操作，从而认识数学中的几何事实，揭示数学对象规律的一种数学活动。本文也从一高考题出发，以几何实验的理念，构建模型，通过对图形的变换，探索事物的本源。
关键词：几何实验 剪拼 组成相等
新一轮的新课程改革，给浙江的高中教学带来了不小的冲击。高中数学的全面改版，不仅仅是教材的形式变化，更重要的是内容和理念的变化。笔者注意到人教A版《数学必修2》中提出了立体几何数学实验的模式及对实验教学的探讨，颇有感触。越来越多的教育家认识到，对于思维模式正从形象思维向逻辑思维过渡的青少年来讲，他们学习几何知识仍然离不开直观想象。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要的作用，而实验几何则是发现几何事实的有力工具，在培养人的知觉思维和创造性思维方面起着巨大的作用。本文重温了2002年全国高考文科试卷第22题，更深切的体会到改革家们提出几何实验这一论题的战略眼光。
笔者在一堂高三的立体几何复习课上，又把这道题目拿了出来，和同学们一起进行了一次相当愉快的探索。
这道高考题为2002年全国高考文科试卷第22题，题目和简答过程如下：
（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1（1）（2）），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等.请你设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1（1）、图1（2）中，并作简要说明；
（Ⅱ）试比较你剪拼成的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（Ⅲ）如果给出的是一块任意三角形纸片（如图1（3）），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请你设计一种剪拼方法，用虚线标示在图1（3）中，并作简要说明。
解：（Ⅰ）如图1（1），沿正三角形中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。
如图1（2），在正三角形角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边为三角形边长的，有一组对角为直角。余下部分按虚线折起，可组成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。
（Ⅱ）依上面的剪拼方法得到的几何体有.
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为.现在计算它们的高：
，.
所以.
（Ⅲ）如图1（3），分别连接三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形。以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱。两者组合即可得到一个直三棱柱模型。
自问题提出到问题解决，笔者发现学生都反应平平，可能都觉得这也就一道高考题而已，他们已经做的多了，只是这一道还有点意思。当然，笔者不能放过这一蛛丝马迹，提出了以下事实（用多媒体展示）。
下面对（Ⅰ）、（Ⅱ）两小题作一些发散思考。先注意以下事实：
（1）将正三角形的各边等份，过各等分点作平行于边的线段，则将原正三角形剖分为个小正三角形。如图4即为的情形。
（2）任何一个边长为的正三角形均可按图5剪拼成一边长为，另一边长为的矩形。
（3）任何一个一边长为，另一边长为的矩形均可按图6剪拼成一个底边长为，高为的等腰三角形。
（这时，已经开始有学生拿出纸片来动手折叠了。）进一步引导。
知道了这些事实，再来考察前面所述的高考题（Ⅰ）、（Ⅱ），不难得出如下结论：
结论1正三角形纸片可剪拼成体积取不超过某个数的任意一个数值的正三棱锥。
剪拼方法：第1步，按（1）将正三角形剪拼成个小正三角形。（为方便起见，设原正三角形的边长为1，则小正三角形的边长为，下同）。
第2步，用一个小正三角形作三棱锥的底面，对其余个小正三角形均按（2）剪拼成一边长为，另一边长为的矩形。
第3步，将这个矩形拼成一边长为，另一边长为的长条矩形。
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第4步，将上面的长条矩形剪成三个一边长为，另一边长为的矩形。
第5步，将这三个矩形均按（3）剪拼成边长为，高为的等腰三角形。
第6步，以第1步得到的一个小正三角形为底，第5步得到的三个等腰梯形为侧面，即构成一个符合（Ⅰ）的要求的正三棱锥。其体积为，由，知随着的变化，可取到不大于的最大值的无穷多个值，且这些值可无限趋向于0。如当时，0.0147313；
当时，0.0122488；
当时，0.0106078.
结论2正三角形纸片可剪拼成体积不超过某个数的任意一个数值的正三棱柱。
剪拼方法：在前面第1步的基础上，用两个小正三角形作三棱柱的底面，对其余个小正三角形，用完全类同于前面的方法可剪拼出三个一边长为，另一边长为的矩形。最后用这两个小正三角形、三个矩形即可构成一个符合（Ⅱ）的要求的正三棱柱。其体积为，由，知随着的变化，可取到不大于的最大值的无穷多个值，且这些值可无限趋向于0。如
当时，0.015625；
当时，0.0162037；
当时，0.0136718.
结论3由结论1和结论2可知，随着的变化，得到的正三棱锥的体积既可以小于正三棱柱的体积，也可以大于正三棱柱的体积。如，
当我们利用多媒体的快速计算功能把这些结论一一证明过后，课堂的气氛已经有点热气逼人了，有些学生都还不满足，问是否还可推出其他结论，或者更严格的结论。我也顺势利导，鼓励他们课后继续探索，或者把这种方法应用到其他的知识点上。
本文的解题思索，完全合乎几何实验的理念，新课程也倡导问题探究，在这样不断的感悟探索中，我相信不仅能提升自身的教学能力，如果付诸课堂也能有效提升学生的自主学习能力。
关键词：几何实验 剪拼 组成相等
新一轮的新课程改革，给浙江的高中教学带来了不小的冲击。高中数学的全面改版，不仅仅是教材的形式变化，更重要的是内容和理念的变化。笔者注意到人教A版《数学必修2》中提出了立体几何数学实验的模式及对实验教学的探讨，颇有感触。越来越多的教育家认识到，对于思维模式正从形象思维向逻辑思维过渡的青少年来讲，他们学习几何知识仍然离不开直观想象。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要的作用，而实验几何则是发现几何事实的有力工具，在培养人的知觉思维和创造性思维方面起着巨大的作用。本文重温了2002年全国高考文科试卷第22题，更深切的体会到改革家们提出几何实验这一论题的战略眼光。
笔者在一堂高三的立体几何复习课上，又把这道题目拿了出来，和同学们一起进行了一次相当愉快的探索。
这道高考题为2002年全国高考文科试卷第22题，题目和简答过程如下：
（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1（1）（2）），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等.请你设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1（1）、图1（2）中，并作简要说明；
（Ⅱ）试比较你剪拼成的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（Ⅲ）如果给出的是一块任意三角形纸片（如图1（3）），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请你设计一种剪拼方法，用虚线标示在图1（3）中，并作简要说明。
解：（Ⅰ）如图1（1），沿正三角形中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。
如图1（2），在正三角形角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边为三角形边长的，有一组对角为直角。余下部分按虚线折起，可组成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。
（Ⅱ）依上面的剪拼方法得到的几何体有.
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为.现在计算它们的高：
，.
所以.
（Ⅲ）如图1（3），分别连接三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形。以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱。两者组合即可得到一个直三棱柱模型。
自问题提出到问题解决，笔者发现学生都反应平平，可能都觉得这也就一道高考题而已，他们已经做的多了，只是这一道还有点意思。当然，笔者不能放过这一蛛丝马迹，提出了以下事实（用多媒体展示）。
下面对（Ⅰ）、（Ⅱ）两小题作一些发散思考。先注意以下事实：
（1）将正三角形的各边等份，过各等分点作平行于边的线段，则将原正三角形剖分为个小正三角形。如图4即为的情形。
（2）任何一个边长为的正三角形均可按图5剪拼成一边长为，另一边长为的矩形。
（3）任何一个一边长为，另一边长为的矩形均可按图6剪拼成一个底边长为，高为的等腰三角形。
（这时，已经开始有学生拿出纸片来动手折叠了。）进一步引导。
知道了这些事实，再来考察前面所述的高考题（Ⅰ）、（Ⅱ），不难得出如下结论：
结论1正三角形纸片可剪拼成体积取不超过某个数的任意一个数值的正三棱锥。
剪拼方法：第1步，按（1）将正三角形剪拼成个小正三角形。（为方便起见，设原正三角形的边长为1，则小正三角形的边长为，下同）。
第2步，用一个小正三角形作三棱锥的底面，对其余个小正三角形均按（2）剪拼成一边长为，另一边长为的矩形。
第3步，将这个矩形拼成一边长为，另一边长为的长条矩形。
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第4步，将上面的长条矩形剪成三个一边长为，另一边长为的矩形。
第5步，将这三个矩形均按（3）剪拼成边长为，高为的等腰三角形。
第6步，以第1步得到的一个小正三角形为底，第5步得到的三个等腰梯形为侧面，即构成一个符合（Ⅰ）的要求的正三棱锥。其体积为，由，知随着的变化，可取到不大于的最大值的无穷多个值，且这些值可无限趋向于0。如当时，0.0147313；
当时，0.0122488；
当时，0.0106078.
结论2正三角形纸片可剪拼成体积不超过某个数的任意一个数值的正三棱柱。
剪拼方法：在前面第1步的基础上，用两个小正三角形作三棱柱的底面，对其余个小正三角形，用完全类同于前面的方法可剪拼出三个一边长为，另一边长为的矩形。最后用这两个小正三角形、三个矩形即可构成一个符合（Ⅱ）的要求的正三棱柱。其体积为，由，知随着的变化，可取到不大于的最大值的无穷多个值，且这些值可无限趋向于0。如
当时，0.015625；
当时，0.0162037；
当时，0.0136718.
结论3由结论1和结论2可知，随着的变化，得到的正三棱锥的体积既可以小于正三棱柱的体积，也可以大于正三棱柱的体积。如，
当我们利用多媒体的快速计算功能把这些结论一一证明过后，课堂的气氛已经有点热气逼人了，有些学生都还不满足，问是否还可推出其他结论，或者更严格的结论。我也顺势利导，鼓励他们课后继续探索，或者把这种方法应用到其他的知识点上。
本文的解题思索，完全合乎几何实验的理念，新课程也倡导问题探究，在这样不断的感悟探索中，我相信不仅能提升自身的教学能力，如果付诸课堂也能有效提升学生的自主学习能力。