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2014年的高考已经落下帷幕，对高考题的分析和探究是一线教师永恒的话题，笔者想就广东卷文理科的20题谈谈自己的解法及对教学的思考。
1试题评析
2014年高考广东卷（文理科）20题：已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的一个焦点为[( 5, 0 )]，离心率为[53]．（1）求椭圆[C]的标准方程；（2）若动点[P( x0, y0 )]为椭圆外一点，且点[P]到椭圆[C]的两条切线互相垂直，求点[P]的轨迹方程．
本题文字叙述简单明了，问题设置由浅入深，给考生的感觉是“似曾相识”，入手容易，有做下去的信心和勇气；该题可以说是“平常之中不平淡，入手容易高分难”，相对于前两年的广东解析几何题而言，该题算不上“创新”，但是在求“变”。不过，本题如果把“且点[P]到椭圆[C]的两条切线互相垂直”这句话改为“过点P作椭圆C的两条切线，且这两条切线互相垂直”更有利于学生理解此题。
本题的背景是蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。此定理是法国数学家G．Monge（1745-1818）最先发现的。
2解题分析
第（1）小题比较基础，使得大部分考生都能获得基本分，有利于考生的正常发挥。其解答如下：由[c=5]，[e=ca=53]，得[a=3]，从而[b=2]，所以椭圆[C]的标准方程是[x29+y24=1]；
第（2）小题学生解答的易错点是没有讨论切线斜率是否存在。
解法一：
当其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为零，此时点[P]的坐标为[P( 3, 2 )]，或[P( 3, -2 )]，或[P( -3, 2 )]，或[P( -3, -2 )]．
设点[P]到椭圆[C]的切线的斜率存在并且不为零时，设其中一条切线的方程为[y=kx+b]，则另一条切线的方程为[y=-1kx+c]，由[y=kx+bx29+y24=1 ]得[( 9k2+4 )x2+18kbx+9b2-36=0]，因为相切，故[Δ=182k2b2-4( 9k2+4 )(9b2-36 )=0]，化简得[9k2+4=b2]，因为[ b=y0-kx0]
所以[9k2=y20-2kx0y0+k2x20-4]①，同理可得[9=k2y20+2kx0y0+x20-4k2]②，
①[+]②化简得[13( k2+1 )=( x20+y20)( k2+1 )]，因为[A,B]，所以[-5,0,5,0]．又[AM,BM]，[M]，[-49]，[M]也满足[x20+y20=13]．综上所述，点[P]的轨迹方程是[x20+y20=13]．
解法二：
设点[P]到椭圆[C]的切线斜率存在，且不为零时，设切线方程为[y-y0=k( x-x0 )]，由[y-y0=k( x-x0)x29+y24=1 ]
得[( 9k2+4 )x2+18k( y0-kx0)x+9( y0-kx0)2-36=0]，
[Δ=182k2( y0-kx0)2-4( 9k2+4 )[9( y0-kx0)2-36 ]=0]，化简得
[9k2+4=( y0-kx0)2]，即[( x20-9 )k2-2x0y0k+y20-4=0]，因为点[P]到椭圆[C]的切线斜率存在且不为零，所以[x0≠±3]，从而[x20-9 ≠0]，关于[k]的方程[( x20-9 )k2-2x0y0k+y20-4=0]的两个根[k1]、[k2]为两条切线的斜率，所以[k1k2=y20-4x20-9]，因为切线垂直，所以[k1k2=-1]，所以[y20-4x20-9=-1]，即[x20+y20=13]．又当切线斜率不存在时求得[P( 3, 2 )]，[P( 3, -2 )]，[P( -3, 2 )]，[P( -3, -2 )]也满足[x20+y20=13]．综上所述，点[P]的轨迹方程是[x20+y20=13]．
解法三：
当其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为零，此时点[P]的坐标为[P( 3, 2 )]，或[P( 3, -2 )]，或[P( -3, 2 )]，或[P( -3, -2 )]．
设点[P]到椭圆[C]的两条切线为[l1]和[l2]，切线[A,B]与椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的切点为[P]，切线[A,B]与椭圆[kPA∙kPB=-b2a2]的切点为[B( x2, y2 )]，则切线[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的方程为[P]，因为[A,B]在[kPA∙kPB=b2a2]上，所以[x1x09+y1y04=1]，同理[x2x09+y2y04=1]，從而[( x1, y1 )]、[( x2, y2 )]是方程[x0x9+y0y4=1]的解，所以直线[AB]的方程为[x0x9+y0y4=1]．由[x0x9+y0y4=1x29+y24=1 ]，得[( 4x20+9y20)y2-72y0y+144-16x20=0]，
[( 4x20+9y20)x2-72x0x+324-81y20=0]，则[y1+y2=72y04x20+9y20]，[y1y2=169-x204x20+9y20]，[x1+x2=72x04x20+9y20]，[x1x2=814-y204x20+9y20]，因为[l1]和[l2]垂直，所以[y0-y1x0-x1∙y0-y2x0-x2=-1]，所以
[x20+y20-(x1+x2)x0-(y1+y2)y0+x1x2+y1y2=0]，
所以[x20+y20-72x204x20+9y20-72y204x20+9y20+324-81y204x20+9y20+144-16x204x20+9y20=0]，即
[4x40+9y40+13x20y20-88x20-153y20+13×36=0]，得[( 4x20+9y20-36)( x20+ y20-13 )=0]，因为点[P]在椭圆外，所以[4x20+9y20-36≠0]，从而[x20+ y20-13=0]．又[P( 3, 2 )]，[P( 3, -2 )]，[P( -3, 2 )]，[P( -3, -2 )]也满足[x20+y20=13]．综上所述，点[P]的轨迹方程是[x20+y20=13]．
以上三种解法，解法一利用[Δ=0]，这种解法是较为常见的解法，也比较简洁，法二利用韦达定理
法三利用椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1]在[A( x1, y1 )]（[A]是椭圆[C]上的点）处的切线方程为[x1xa2+y1yb2=1]，用此法必需要知道过椭圆上一点的切线方程，学生不易想到，且此方法运算量大，高考考场上不宜采用。
3教学思考
3.1讲清算理，提高运算能力
从上面的解答和分析来看，今年的高考题难度与往年基本一致，但增加了灵活性，要求有较强的运算能力，而从高考评卷现场反馈回来的情况看，能穿越“数值运算”这片密林获得“真解”的学生少之又少，运算能力薄弱已是学生的硬伤。因此在解几的课堂教学中，教师不要把计算结果直接给出，应舍得花时间和学生同甘共苦计算，阐述每一步计算的算理，区分不同参数的地位作用，及时渗透坐标运算、设而不求的消元思想等；即使在课堂上没时间一起算，也应布置学生必须课后一算到底，加强检查。当然也要结合学生的实际水平，控制代数变换的难度和技巧。
3.2 数形结合，培养转化能力
解析几何的基本方法，包括两个方面：由图形到方程和从方程到图形，即选择坐标系建立图形方程，通过对方程的研究得到图形的性质，了解图形的形状，这也就是数形结合的方法，它是解析几何学习中一个最重要的数学思想方法。我们首先要学生储备好平面几何的一些基本知识，如三角形面积的求法，三角形三线和四心的性质，直线与圆锥曲线的相交、相切、相离的关系等，同时培养学生的几何直观能力。其次要在数与形的相互转化这点上进行专项训练，例如“点在以线段为直径的圆的外部”即转化为“[cos∠CND>0]”,如果不会转化，问题解决起来就比较麻烦，因此能否将几何条件与代数式子进行正确的互化是解决解几题的一大关键点，因此教师要在平时教学中有意识地让学生体会转化过程，培养转化意识，提高转化能力。
3.3适度探究，培养思维能力
这两年的题目还具有很浓的探究味道，故我们在教学和复习中要重视探究教学，进行适当的探究。圆锥曲线，美在探究，二次曲线有很多有趣而优美的性质，在实际的解题教学中，我们不能满足把答案呈现出来，而是要引导学生对一些有探究特征的问题进行进一步的探究与学习，这样对培养学生思维能力是非常有益的。例如：人教A版教材选修2－1中的例题：设点[A,B]的坐标分别为[-5,0,5,0]，直线[AM,BM]相交于点[M]，且它们的斜率之积是[-49]，求点[M]的轨迹方程。把上述例题通过进一步的探究就可以得到以下的结论：若[A,B]是椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的任一条过中心的弦，点[P]是椭圆上异于[A,B]的任一点，则[kPA∙kPB=-b2a2].这一结论还可以推广到双曲线等。
近年来高考数学的命题趋势反复告诉我们，我们教师在教学中应“认真地去教点数学，不要总是把做题、讲题当成是教数学”，要重视“数学理解，数学问题解决，数学探究”。
1试题评析
2014年高考广东卷（文理科）20题：已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的一个焦点为[( 5, 0 )]，离心率为[53]．（1）求椭圆[C]的标准方程；（2）若动点[P( x0, y0 )]为椭圆外一点，且点[P]到椭圆[C]的两条切线互相垂直，求点[P]的轨迹方程．
本题文字叙述简单明了，问题设置由浅入深，给考生的感觉是“似曾相识”，入手容易，有做下去的信心和勇气；该题可以说是“平常之中不平淡，入手容易高分难”，相对于前两年的广东解析几何题而言，该题算不上“创新”，但是在求“变”。不过，本题如果把“且点[P]到椭圆[C]的两条切线互相垂直”这句话改为“过点P作椭圆C的两条切线，且这两条切线互相垂直”更有利于学生理解此题。
本题的背景是蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。此定理是法国数学家G．Monge（1745-1818）最先发现的。
2解题分析
第（1）小题比较基础，使得大部分考生都能获得基本分，有利于考生的正常发挥。其解答如下：由[c=5]，[e=ca=53]，得[a=3]，从而[b=2]，所以椭圆[C]的标准方程是[x29+y24=1]；
第（2）小题学生解答的易错点是没有讨论切线斜率是否存在。
解法一：
当其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为零，此时点[P]的坐标为[P( 3, 2 )]，或[P( 3, -2 )]，或[P( -3, 2 )]，或[P( -3, -2 )]．
设点[P]到椭圆[C]的切线的斜率存在并且不为零时，设其中一条切线的方程为[y=kx+b]，则另一条切线的方程为[y=-1kx+c]，由[y=kx+bx29+y24=1 ]得[( 9k2+4 )x2+18kbx+9b2-36=0]，因为相切，故[Δ=182k2b2-4( 9k2+4 )(9b2-36 )=0]，化简得[9k2+4=b2]，因为[ b=y0-kx0]
所以[9k2=y20-2kx0y0+k2x20-4]①，同理可得[9=k2y20+2kx0y0+x20-4k2]②，
①[+]②化简得[13( k2+1 )=( x20+y20)( k2+1 )]，因为[A,B]，所以[-5,0,5,0]．又[AM,BM]，[M]，[-49]，[M]也满足[x20+y20=13]．综上所述，点[P]的轨迹方程是[x20+y20=13]．
解法二：
设点[P]到椭圆[C]的切线斜率存在，且不为零时，设切线方程为[y-y0=k( x-x0 )]，由[y-y0=k( x-x0)x29+y24=1 ]
得[( 9k2+4 )x2+18k( y0-kx0)x+9( y0-kx0)2-36=0]，
[Δ=182k2( y0-kx0)2-4( 9k2+4 )[9( y0-kx0)2-36 ]=0]，化简得
[9k2+4=( y0-kx0)2]，即[( x20-9 )k2-2x0y0k+y20-4=0]，因为点[P]到椭圆[C]的切线斜率存在且不为零，所以[x0≠±3]，从而[x20-9 ≠0]，关于[k]的方程[( x20-9 )k2-2x0y0k+y20-4=0]的两个根[k1]、[k2]为两条切线的斜率，所以[k1k2=y20-4x20-9]，因为切线垂直，所以[k1k2=-1]，所以[y20-4x20-9=-1]，即[x20+y20=13]．又当切线斜率不存在时求得[P( 3, 2 )]，[P( 3, -2 )]，[P( -3, 2 )]，[P( -3, -2 )]也满足[x20+y20=13]．综上所述，点[P]的轨迹方程是[x20+y20=13]．
解法三：
当其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为零，此时点[P]的坐标为[P( 3, 2 )]，或[P( 3, -2 )]，或[P( -3, 2 )]，或[P( -3, -2 )]．
设点[P]到椭圆[C]的两条切线为[l1]和[l2]，切线[A,B]与椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的切点为[P]，切线[A,B]与椭圆[kPA∙kPB=-b2a2]的切点为[B( x2, y2 )]，则切线[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的方程为[P]，因为[A,B]在[kPA∙kPB=b2a2]上，所以[x1x09+y1y04=1]，同理[x2x09+y2y04=1]，從而[( x1, y1 )]、[( x2, y2 )]是方程[x0x9+y0y4=1]的解，所以直线[AB]的方程为[x0x9+y0y4=1]．由[x0x9+y0y4=1x29+y24=1 ]，得[( 4x20+9y20)y2-72y0y+144-16x20=0]，
[( 4x20+9y20)x2-72x0x+324-81y20=0]，则[y1+y2=72y04x20+9y20]，[y1y2=169-x204x20+9y20]，[x1+x2=72x04x20+9y20]，[x1x2=814-y204x20+9y20]，因为[l1]和[l2]垂直，所以[y0-y1x0-x1∙y0-y2x0-x2=-1]，所以
[x20+y20-(x1+x2)x0-(y1+y2)y0+x1x2+y1y2=0]，
所以[x20+y20-72x204x20+9y20-72y204x20+9y20+324-81y204x20+9y20+144-16x204x20+9y20=0]，即
[4x40+9y40+13x20y20-88x20-153y20+13×36=0]，得[( 4x20+9y20-36)( x20+ y20-13 )=0]，因为点[P]在椭圆外，所以[4x20+9y20-36≠0]，从而[x20+ y20-13=0]．又[P( 3, 2 )]，[P( 3, -2 )]，[P( -3, 2 )]，[P( -3, -2 )]也满足[x20+y20=13]．综上所述，点[P]的轨迹方程是[x20+y20=13]．
以上三种解法，解法一利用[Δ=0]，这种解法是较为常见的解法，也比较简洁，法二利用韦达定理
法三利用椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1]在[A( x1, y1 )]（[A]是椭圆[C]上的点）处的切线方程为[x1xa2+y1yb2=1]，用此法必需要知道过椭圆上一点的切线方程，学生不易想到，且此方法运算量大，高考考场上不宜采用。
3教学思考
3.1讲清算理，提高运算能力
从上面的解答和分析来看，今年的高考题难度与往年基本一致，但增加了灵活性，要求有较强的运算能力，而从高考评卷现场反馈回来的情况看，能穿越“数值运算”这片密林获得“真解”的学生少之又少，运算能力薄弱已是学生的硬伤。因此在解几的课堂教学中，教师不要把计算结果直接给出，应舍得花时间和学生同甘共苦计算，阐述每一步计算的算理，区分不同参数的地位作用，及时渗透坐标运算、设而不求的消元思想等；即使在课堂上没时间一起算，也应布置学生必须课后一算到底，加强检查。当然也要结合学生的实际水平，控制代数变换的难度和技巧。
3.2 数形结合，培养转化能力
解析几何的基本方法，包括两个方面：由图形到方程和从方程到图形，即选择坐标系建立图形方程，通过对方程的研究得到图形的性质，了解图形的形状，这也就是数形结合的方法，它是解析几何学习中一个最重要的数学思想方法。我们首先要学生储备好平面几何的一些基本知识，如三角形面积的求法，三角形三线和四心的性质，直线与圆锥曲线的相交、相切、相离的关系等，同时培养学生的几何直观能力。其次要在数与形的相互转化这点上进行专项训练，例如“点
3.3适度探究，培养思维能力
这两年的题目还具有很浓的探究味道，故我们在教学和复习中要重视探究教学，进行适当的探究。圆锥曲线，美在探究，二次曲线有很多有趣而优美的性质，在实际的解题教学中，我们不能满足把答案呈现出来，而是要引导学生对一些有探究特征的问题进行进一步的探究与学习，这样对培养学生思维能力是非常有益的。例如：人教A版教材选修2－1中的例题：设点[A,B]的坐标分别为[-5,0,5,0]，直线[AM,BM]相交于点[M]，且它们的斜率之积是[-49]，求点[M]的轨迹方程。把上述例题通过进一步的探究就可以得到以下的结论：若[A,B]是椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的任一条过中心的弦，点[P]是椭圆上异于[A,B]的任一点，则[kPA∙kPB=-b2a2].这一结论还可以推广到双曲线等。
近年来高考数学的命题趋势反复告诉我们，我们教师在教学中应“认真地去教点数学，不要总是把做题、讲题当成是教数学”，要重视“数学理解，数学问题解决，数学探究”。