论文部分内容阅读
一、在抽象概括中建立数学模型
用数学符号来体现的数学语言是世界性语言，正如华罗庚所说的：“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性。”教学时，教师要注意设计一些利用符号分析的问题，鼓励学生运用符号来表达数量关系和空间形式，让学生看到用符号表示数学模型的价值所在。
例1：人教版四年级下册第123页的“图文题”配有下面的文字：一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？
对于第一个问题，主要有以下几种方法：方法一：第一张桌子与增加的桌子坐的人数之和：6＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝42（人）；方法二：如果第一张也坐4人，就有4×10＋2＝42（人）；方法三：第一张桌子坐6人与增加的9张桌子坐的人数之和：6＋4×9＝42（人）。
方法一虽然是运用表象和已有的学习经验，运用具体的数量关系直接求和，但却为方法二、三的数学建模打下了感性认识的基础；方法二、三是学生鉴于数据简单，利用直觉思维快速求解，构建的数学模型虽不精确，但离精确的数学模型也只有一步之遥了。
方法四：用列表格的方法表述建模和解题过程。这是教师刻意引导学生用列表的方法表述建模和解题的过程。
方法四，学生在对1、2、3张桌子坐的人数仔细观察的基础上，经过分析与综合、比较与推理的思维活动，有根有据地构建了精确的用字母符号表示的数学模型：如果将数量关系式6＋4×（10－1）中的“10”（桌子数）用符号“x”表示，则成为代数式6＋4×（x－1），就是建立了一个解决这类问题的数学模型。有了这个模型，适用范围更广了，可以解决任意张数桌子可以坐多少人的问题。因此，几种方法相比，方法一、二、三只解决了一个问题，而方法四由于建立了正确的数学模型就能解决一类问题了。同时为解决第二个问题奠定了基础。
数学模型的主要表现形式是数学符号的表达式和图表，因而它与符号化思想有着很多相通之处，同样具有普遍的意义。
二、在解决问题中应用数学模型
数学模型思想和符号化思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，这是它们的共同之处。但是符号化思想更注重数学抽象和符号表达，而数学模型思想更重视如何经过分析抽象建立数学模型，更加重视数学模型的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题。
如在六年级教材中多次出现圆与正方形关系的内容，学生就题论题，如果题目稍加变化就束手无策，如果尝试用数学建模与模型应用，就能帮助学生打开思路。
例2：从一个面积是12平方厘米的正方形纸板上剪下一个最大的圆，求圆的面积。
思考：在正方形中剪一个最大的圆，这个圆的面积与正方形面积有什么关系？
设：正方形的边长为2，正方形的面积是4，而圆的面积是1×1×3？郾14＝3？郾14，圆的面积是正方形面积的■。
在正方形中剪一个最大的圆的数学模型：圆的面积就是正方形面积的■。正方形的面积就是圆面积的■。
解：12×■＝9？郾42（平方厘米）。
上述例子由于建立了正确的模型就可以轻松解决问题，避免了用常态方法（已知半径求面积）无法解决带来的尴尬和无奈，但是这样的模型除了解决该题外，还可以应用在哪些问题中呢？
变化1：如图，等腰直角三角形的面积是10平方米，求空白半圆的面积。
（原图）
思考：还能用例2的模型吗？能！只要再补充一个与左图完全相同的图形，就得到一个正方形和它内部的最大圆（右图），因此，在左上图中，空白半圆的面积仍占整个三角形面积的■。那么，空白半圆面积＝10×■＝7？郾85（平方米）。
变化2：图中，正方形的面积是6平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？
思考：能用以上的模型吗？能！
解1：6×4＝24（平方厘米），24×■＝18？郾84（平方厘米）。（仿例1）
解2：6×■×4＝18？郾84（平方厘米）。（仿变化1）
解3：6×3？郾14＝18？郾84（平方厘米）。（正方形的边长正好是圆的半径，即6就是r的平方，巧妙）
变化3：（人教版六年级下册第30页第6题）一个正方体木料的棱长为4分米，把它加工成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是多少立方分米？
思考：由平面图形到立体图形，模型变了吗？没变！
解：4×4×4×■＝50？郾24（立方分米）。
例3：图中，正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？
思考：在圆中剪一个最大的正方形，这个正方形与圆的面积有什么关系？
（例3与例2的数学模型不同，因此需要重新建构）
设：圆的直径为2，正方形的面积为2×1÷2×2＝2，圆的面积为1×1×π，则正方形面积 ∶ 圆的面积＝■。
解1：圆的面积是10÷■＝5×3？郾14＝15？郾7（平方分米）。（这种解法是利用新的数学模型来解决问题的）
解2：连接正方形的两条对角线（画辅助线），将正方形分成四个相等的等腰直角三角形，那么两个等腰直角三角形可以拼成一个边长为r的小正方形。小正方形的面积是大正方形面积的■，因此小正方形的面积是5平方厘米，圆的面积为5×3？郾14＝15？郾7（平方厘米）。（这种解法沟通了例1和例2两种数学模型之间的联系，变“圆中求方”为“方中求圆”。）
解3：5×■×4＝15？郾7（平方厘米）。
上述的过程，实际上就是一个抽象数学模型、用数学模型解决问题的过程。在例2、例3中让学生找出圆面积与正方形面积的内在联系，即建立问题的数学模型。变式题，依然是根据已经建立的数学模型来解决，使得数学模型得到及时的巩固和应用，目的是学生在解决问题时能够运用一定的数学思想来解题，从而提高学生解决问题的能力。
总之，帮助学生建立数学模型思想，首先教师要有浓厚的数学建模意识。在教学过程中，要让学生把自己当作解决某个问题的探究者，让学生看到自己运用数学建模方法的完整过程。通过教师经常的示范去熏陶学生的数学建模意识。其次，在教师指导下，让学生常常经历运用数学建模方法解决问题的过程。
（作者单位：福建省福州市鼓楼区教师进修学校 责任编辑：王彬）
用数学符号来体现的数学语言是世界性语言，正如华罗庚所说的：“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性。”教学时，教师要注意设计一些利用符号分析的问题，鼓励学生运用符号来表达数量关系和空间形式，让学生看到用符号表示数学模型的价值所在。
例1：人教版四年级下册第123页的“图文题”配有下面的文字：一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？
对于第一个问题，主要有以下几种方法：方法一：第一张桌子与增加的桌子坐的人数之和：6＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝42（人）；方法二：如果第一张也坐4人，就有4×10＋2＝42（人）；方法三：第一张桌子坐6人与增加的9张桌子坐的人数之和：6＋4×9＝42（人）。
方法一虽然是运用表象和已有的学习经验，运用具体的数量关系直接求和，但却为方法二、三的数学建模打下了感性认识的基础；方法二、三是学生鉴于数据简单，利用直觉思维快速求解，构建的数学模型虽不精确，但离精确的数学模型也只有一步之遥了。
方法四：用列表格的方法表述建模和解题过程。这是教师刻意引导学生用列表的方法表述建模和解题的过程。
方法四，学生在对1、2、3张桌子坐的人数仔细观察的基础上，经过分析与综合、比较与推理的思维活动，有根有据地构建了精确的用字母符号表示的数学模型：如果将数量关系式6＋4×（10－1）中的“10”（桌子数）用符号“x”表示，则成为代数式6＋4×（x－1），就是建立了一个解决这类问题的数学模型。有了这个模型，适用范围更广了，可以解决任意张数桌子可以坐多少人的问题。因此，几种方法相比，方法一、二、三只解决了一个问题，而方法四由于建立了正确的数学模型就能解决一类问题了。同时为解决第二个问题奠定了基础。
数学模型的主要表现形式是数学符号的表达式和图表，因而它与符号化思想有着很多相通之处，同样具有普遍的意义。
二、在解决问题中应用数学模型
数学模型思想和符号化思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，这是它们的共同之处。但是符号化思想更注重数学抽象和符号表达，而数学模型思想更重视如何经过分析抽象建立数学模型，更加重视数学模型的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题。
如在六年级教材中多次出现圆与正方形关系的内容，学生就题论题，如果题目稍加变化就束手无策，如果尝试用数学建模与模型应用，就能帮助学生打开思路。
例2：从一个面积是12平方厘米的正方形纸板上剪下一个最大的圆，求圆的面积。
思考：在正方形中剪一个最大的圆，这个圆的面积与正方形面积有什么关系？
设：正方形的边长为2，正方形的面积是4，而圆的面积是1×1×3？郾14＝3？郾14，圆的面积是正方形面积的■。
在正方形中剪一个最大的圆的数学模型：圆的面积就是正方形面积的■。正方形的面积就是圆面积的■。
解：12×■＝9？郾42（平方厘米）。
上述例子由于建立了正确的模型就可以轻松解决问题，避免了用常态方法（已知半径求面积）无法解决带来的尴尬和无奈，但是这样的模型除了解决该题外，还可以应用在哪些问题中呢？
变化1：如图，等腰直角三角形的面积是10平方米，求空白半圆的面积。
（原图）
思考：还能用例2的模型吗？能！只要再补充一个与左图完全相同的图形，就得到一个正方形和它内部的最大圆（右图），因此，在左上图中，空白半圆的面积仍占整个三角形面积的■。那么，空白半圆面积＝10×■＝7？郾85（平方米）。
变化2：图中，正方形的面积是6平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？
思考：能用以上的模型吗？能！
解1：6×4＝24（平方厘米），24×■＝18？郾84（平方厘米）。（仿例1）
解2：6×■×4＝18？郾84（平方厘米）。（仿变化1）
解3：6×3？郾14＝18？郾84（平方厘米）。（正方形的边长正好是圆的半径，即6就是r的平方，巧妙）
变化3：（人教版六年级下册第30页第6题）一个正方体木料的棱长为4分米，把它加工成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是多少立方分米？
思考：由平面图形到立体图形，模型变了吗？没变！
解：4×4×4×■＝50？郾24（立方分米）。
例3：图中，正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？
思考：在圆中剪一个最大的正方形，这个正方形与圆的面积有什么关系？
（例3与例2的数学模型不同，因此需要重新建构）
设：圆的直径为2，正方形的面积为2×1÷2×2＝2，圆的面积为1×1×π，则正方形面积 ∶ 圆的面积＝■。
解1：圆的面积是10÷■＝5×3？郾14＝15？郾7（平方分米）。（这种解法是利用新的数学模型来解决问题的）
解2：连接正方形的两条对角线（画辅助线），将正方形分成四个相等的等腰直角三角形，那么两个等腰直角三角形可以拼成一个边长为r的小正方形。小正方形的面积是大正方形面积的■，因此小正方形的面积是5平方厘米，圆的面积为5×3？郾14＝15？郾7（平方厘米）。（这种解法沟通了例1和例2两种数学模型之间的联系，变“圆中求方”为“方中求圆”。）
解3：5×■×4＝15？郾7（平方厘米）。
上述的过程，实际上就是一个抽象数学模型、用数学模型解决问题的过程。在例2、例3中让学生找出圆面积与正方形面积的内在联系，即建立问题的数学模型。变式题，依然是根据已经建立的数学模型来解决，使得数学模型得到及时的巩固和应用，目的是学生在解决问题时能够运用一定的数学思想来解题，从而提高学生解决问题的能力。
总之，帮助学生建立数学模型思想，首先教师要有浓厚的数学建模意识。在教学过程中，要让学生把自己当作解决某个问题的探究者，让学生看到自己运用数学建模方法的完整过程。通过教师经常的示范去熏陶学生的数学建模意识。其次，在教师指导下，让学生常常经历运用数学建模方法解决问题的过程。
（作者单位：福建省福州市鼓楼区教师进修学校 责任编辑：王彬）