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【摘要】在平面直角坐标系中，求函数图象关于直线对称的图象函数解析式，用常规方法求解非常繁杂，本文笔者利用“逆向思维”巧求函数关于直线对称的函数解析式，这种方法比用常规方法求解更简捷明快。
【关键词】求函数；解析式；简捷明快
Qiao function symmetry analytic expression
Huang Guohua
【Abstract】In plane rectangular coordinate system, function image analytic expression about linear symmetrical image function, is very complex to solve by the conventional method, this paper, the author USES "backward thinking" qiao and function of linear symmetric function analytical formula, this method than the conventional method is more simple and lively.
【Key words】Function; Analytic expression; Simple and lively
在平面直角坐标系中，求函数图象关于直线对称的图象函数解析式，用常规方法求解非常繁杂，本文笔者利用“逆向思维”巧求函数关于直线对称的函数解析式，这种方法比用常规方法求解更简捷明快。
【定理】函数F（ x , y ）=0关于直线y=mx+n（m≠0）对称的函数解析式为
F((1-m2)x+2my-2mnm2+1,2mx+(m2-1)y+2nm2+1)=0。
证明 设点P(x,y)为所求函数解析式上的任意一点，且点P(x,y)关于直线y=mx+n(m≠0)的对称点为Q(a,b)。
因为 直线y=mx+n（m≠0）的斜率为m，直线PQ的斜率为y-bx-a
所以y-bx-a•m=-1 ……①
因为 线段PQ的中点坐标为(x+a2,y+b2)，点(x+a2,y+b2)在直线y=mx+n（m≠0）上
所以y+b2=m•x+a2+n ……②
把①和②联立成方程组并解得
a=(1-m2)x+2my-2mnm2+1
b=2mx+(m2-1)y+2nm2+1
因为 点Q(a,b)在函数F（x, y）=0的图象上
所以 F（ a , b ）=0
即F((1-m2)x+2my-2mnm2+1,2mx+(m2-1)y+2nm2+1)=0
故所求的函数解析式为F((1-m2)x+2my-2mnm2+1,2mx+(m2-1)y+2nm2+1)=0。
【推论1】函数F（x,y）=0关于直线y=0(或x=0)对称的函数解析式为F（x,-y）=0（或F（-x,y）=0）。
【推论2】函数F（x,y）=0关于直线y=x(或y=-x)对称的函数解析式为F（y,x）=0（或F（-y,-x）=0）。
【推论3】函数F（x,y）=0关于直线y=n(或x=m)对称的函数解析式为F（x,2n-y）=0（或F（2m-x,y）=0）。
【例题讲解】在平面直角坐标系中，求抛物线y=2x2-3x-5关于以下直线对称所得抛物线的解析式：
（1）关于直线x=0对称；
（2）关于直线y=0对称；
（3）关于直线y=x对称；
（4）关于直线y=-x对称；
（5）关于直线x=3对称；
（6）关于直线y=-2对称；
（7）关于直线y=2x-3对称。
解 （1）因为关于直线x=0对称的两点的横坐标x变为相反数-x，而纵坐标y不变，所以所求函数解析式为y=2(-x）2-3（-x）-5，整理得y=2x2+3x-5；
（2）因为关于直线y=0对称的两点的横坐标x不变，而纵坐标y变相反数-y，所以所求函数解析式为-y=2x2-3x-5，整理得y=-2x2+3x+5；
（3）因为关于直线y=x对称的两点的横坐标x变为y，而纵坐标y变为x，所以所求函数解析式为x=2y2-3y-5；
（4）因为关于直线y=-x对称的两点的横坐标x变为 -y，而纵坐标y变为-x，所以所求函数解析式为-x=2(-y)2-3(-y)-5，整理得x=-2y2-3y+5；
（5）因为关于直线x=3对称的两点的横坐标x变为2×3-x，而纵坐标y不变，所以所求函数解析式为y=2(6-x)2-3(6-x)-5，整理得y=2x2-21x+49；
（6）因为关于直线y=-2对称的两点的横坐标x不变，而纵坐标y变为2×(-2)-y，所以所求函数解析式为-4-y=2x2-3x-5，整理得y=-2x2+3x+1；
（7）因为关于直线y=2x-3对称的两点的横坐标x变为y+32，而纵坐标y变为2x-3，所以所求函数解析式为2x-3=2(y+32)2-3(y+32)-5，整理得x=14y2+34y-1。
【跟踪练习】
1.求直线y=4x-5关于直线y=x-1对称的直线的解析式；
2.求抛物线y=x2+4x-3关于直线y=x-1对称的直线的解析式。
【关键词】求函数；解析式；简捷明快
Qiao function symmetry analytic expression
Huang Guohua
【Abstract】In plane rectangular coordinate system, function image analytic expression about linear symmetrical image function, is very complex to solve by the conventional method, this paper, the author USES "backward thinking" qiao and function of linear symmetric function analytical formula, this method than the conventional method is more simple and lively.
【Key words】Function; Analytic expression; Simple and lively
在平面直角坐标系中，求函数图象关于直线对称的图象函数解析式，用常规方法求解非常繁杂，本文笔者利用“逆向思维”巧求函数关于直线对称的函数解析式，这种方法比用常规方法求解更简捷明快。
【定理】函数F（ x , y ）=0关于直线y=mx+n（m≠0）对称的函数解析式为
F((1-m2)x+2my-2mnm2+1,2mx+(m2-1)y+2nm2+1)=0。
证明 设点P(x,y)为所求函数解析式上的任意一点，且点P(x,y)关于直线y=mx+n(m≠0)的对称点为Q(a,b)。
因为 直线y=mx+n（m≠0）的斜率为m，直线PQ的斜率为y-bx-a
所以y-bx-a•m=-1 ……①
因为 线段PQ的中点坐标为(x+a2,y+b2)，点(x+a2,y+b2)在直线y=mx+n（m≠0）上
所以y+b2=m•x+a2+n ……②
把①和②联立成方程组并解得
a=(1-m2)x+2my-2mnm2+1
b=2mx+(m2-1)y+2nm2+1
因为 点Q(a,b)在函数F（x, y）=0的图象上
所以 F（ a , b ）=0
即F((1-m2)x+2my-2mnm2+1,2mx+(m2-1)y+2nm2+1)=0
故所求的函数解析式为F((1-m2)x+2my-2mnm2+1,2mx+(m2-1)y+2nm2+1)=0。
【推论1】函数F（x,y）=0关于直线y=0(或x=0)对称的函数解析式为F（x,-y）=0（或F（-x,y）=0）。
【推论2】函数F（x,y）=0关于直线y=x(或y=-x)对称的函数解析式为F（y,x）=0（或F（-y,-x）=0）。
【推论3】函数F（x,y）=0关于直线y=n(或x=m)对称的函数解析式为F（x,2n-y）=0（或F（2m-x,y）=0）。
【例题讲解】在平面直角坐标系中，求抛物线y=2x2-3x-5关于以下直线对称所得抛物线的解析式：
（1）关于直线x=0对称；
（2）关于直线y=0对称；
（3）关于直线y=x对称；
（4）关于直线y=-x对称；
（5）关于直线x=3对称；
（6）关于直线y=-2对称；
（7）关于直线y=2x-3对称。
解 （1）因为关于直线x=0对称的两点的横坐标x变为相反数-x，而纵坐标y不变，所以所求函数解析式为y=2(-x）2-3（-x）-5，整理得y=2x2+3x-5；
（2）因为关于直线y=0对称的两点的横坐标x不变，而纵坐标y变相反数-y，所以所求函数解析式为-y=2x2-3x-5，整理得y=-2x2+3x+5；
（3）因为关于直线y=x对称的两点的横坐标x变为y，而纵坐标y变为x，所以所求函数解析式为x=2y2-3y-5；
（4）因为关于直线y=-x对称的两点的横坐标x变为 -y，而纵坐标y变为-x，所以所求函数解析式为-x=2(-y)2-3(-y)-5，整理得x=-2y2-3y+5；
（5）因为关于直线x=3对称的两点的横坐标x变为2×3-x，而纵坐标y不变，所以所求函数解析式为y=2(6-x)2-3(6-x)-5，整理得y=2x2-21x+49；
（6）因为关于直线y=-2对称的两点的横坐标x不变，而纵坐标y变为2×(-2)-y，所以所求函数解析式为-4-y=2x2-3x-5，整理得y=-2x2+3x+1；
（7）因为关于直线y=2x-3对称的两点的横坐标x变为y+32，而纵坐标y变为2x-3，所以所求函数解析式为2x-3=2(y+32)2-3(y+32)-5，整理得x=14y2+34y-1。
【跟踪练习】
1.求直线y=4x-5关于直线y=x-1对称的直线的解析式；
2.求抛物线y=x2+4x-3关于直线y=x-1对称的直线的解析式。