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“植树问题”是人教版课程标准实验教材五年级上册《数学广角》的内容，整个单元是以植树为内容，研究植树的棵树、间隔数、间隔长以及要植树的总长度等数量之间的关系。教材呈现了有关“植树问题”的不同情形：关于一条线段的植树问题和封闭曲线的植树问题。例1讨论的是在一条线段上植树并且两端要栽的情形，是本单元的第一课时。笔者借助此内容，既让学生在经历过程，探索规律，找到解决问题的方法的过程中，培养锻炼学生的数学思维，更重要的，向学生逐步渗透数学建模思想。
建模思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能刻画并“解决”初建问题的一种强有力的数学手段。如何在数学问题解决中，尝试数学建模思想的渗透，是本节课研究的方向。
一、情境导入，感知原始模型
现实生活是数学的源泉，数学问题是现实生活化的结果。有意义的学习一定要把数学内容倣在真实的且有趣的情境中。《植树问题》例1是整个单元的学习起点，其中出现了许多新的数学名词，如“间隔”“间隔长”等，这对于初次接触的学生来说，理解它的含义具有一定的难度。教学中，我尝试借用生活情境导入，以学生熟悉的生活情境作为原始模型研究
课堂实录：
师课件出示四幅图片，让学生欣赏。
师：请仔细观察，这些图片有什么共同的特点？
生：……
师：对！这里每相邻两根电线杆之间、每两个桥墩之间、每两棵树之间、每两根旗杆之间都有一个 “间隔”。这些物体都是按照一定的间隔有规律排列的。
师：生活中，像这样按照一定的间隔进行排列的例子还有很多，你能说说看吗？
生：
小结过渡：你们知道的可真多！像这样，相邻两棵树之间有一个“间隔”，我们把相邻两棵树之间的间隔的长度叫做“间隔长”。
笔者从欣赏“图片”入手，通过学生熟悉的生活情境作为原始模型研究，让学生理解“间隔、间隔长”，扫除学习的障碍，并且起到规范学生語言的作用，为新课的学习作铺垫；同时，让学生体会数学从生活中来，数学也将服务于生活的道理，感受数学的价值。
二、认知同化，构建数学模型
学生的认知结构是在掌握知识过程中形成和发展的，是学生原有认知结构与新知识相互作用的结果。在这一过程中，学生原有的认知结构遇到一种新的知识的输入而产生一种不平衡的状态，通过学生的认知活动使其原有的知识结构与新知识发生作用，这时新的知识被学生原有的认知结构所吸收，即“同化”，从而使学生的认知结构达到新的平衡——建立起新的数学模型。而《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”在这节课中，笔者努力为学生“搭台”，让学生“唱戏”，力求发挥学生的主体地位，让学生动脑、动手、动口……学生在合作探究中，新旧知识结构发生冲突，再通过教师的引导，产生“认知同化”，构建数学模型。
课堂实录：
（一）初步体验，化繁为简
学生在解决例1时，出现了多种答案，对于正确结果的验证，我引导学生进行验证。
课堂实录：
师：总长100m，间隔长5m时，棵数与间隔数有什么关系，我们可以通过什么方法来探究呢？
生：用物品代替树摆一摆，画线段图……
师：好，试一试。（学生试着探究）遇到什么困难了？
生：太长，太麻烦了。
师：其实数学上有一种很好的方法，就是当遇到复杂的问题时，我们可以先从简单的入手，化大为小，再进行研究。100m太长了，我们可以先用简单的数据试一试，比如选取100m中的20m来研究。
（二）数形结合，直观感知
师：假设总长20m，每隔5m栽一棵，有几个间隔？栽了几棵树？一起来摆一摆。
方法一：我们可以用实物摆一摆
用一条线段表示一段路20m。因为两端要栽，所以先在起点种上第一棵，隔5m种一棵，再隔5m种一棵……
方法二：我们也可以画线段图
用一条线段表示20m，平均分成4份，一个点表示一棵树。看看，有几个间隔？栽了几棵树？
引导学生发现，也是总长20m，间隔长5m，用20÷5=4，求出4个间隔，栽了5棵树
（三）认知同化，构建模型
1. 初步建模（课件出示探究表1）
师：总长还可以假设成其它数据吗？你能像这样举几个简单的数据进行探究吗？请拿出探究表（1），小组合作探究。
选择一些小组进行汇报：你们是怎样探究的？怎样得到间隔数？怎样得到棵数？发现了什么规律？（根据学生回答，教师在课件上输入数据）
预设：棵数要比间隔数多1。
（追问：可以用怎样的一个式子表示？）棵数=间隔数 1
2.验证模型（课件出示探究表2）
师：如果不画图，能不能直接求出当这条路长30米、35米……，或是路长和间隔长都改变时，要栽多少棵树？请拿出探究表（2），小组合作，再次探究。
预设：我们发现了：因为两端都要栽，所以栽树的棵数比间隔数多1。
（四）运用模型，解决问题
师：现在，你能用发现的规律解决问题吗？
再次出示例1：同学们在全长100m的小路一边路植树，每隔5m栽一棵树（两端要栽）。一共要栽多少棵树？（学生解答）
小结：刚才通过简单的例子，发现了规律，并解决了问题。这告诉我们，以后遇到复杂的问题，可以先想简单的，化大为小，发现规律，再来解决问题。
在这个过程中，我侧重“认知同化”，让学生在“尝试——猜想——验证——归纳——应用”过程中逐步构建数学模型。在这个过程中，重点设计“棵树与间隔数的关系探究表”，进行两个层次的探究： 第一层，先就“探究总长变，间隔长不变”进行探究，抽到模型 。课上提供充足的探索时间 ，让学生采用自己喜欢的方法进行探究，引导学生寻找解决问题的方法，如通过画线段图，画情境图，用物品代替树进行植树探究……，初步抽取出“棵数=间隔长 1”这一数学模型，学生在操作中积累感性经验，在交流中感知有序思考，并通过对比，体会用画线段图的方法来分析问题的优越性。从而，也向学生渗透了“化繁为简”“数形结合”的思想。
第二层，再就“探究总长与间隔长都变”进行探究，验证模型。第二层次的探究，学生通过学法迁移进行自主探究，对抽取的模型：“棵数=间隔数 1”进行了验证。这一层中，我放手让学生自主选择适当的数据合作操作，学生经历了大量的感知，具备了丰富的活动积累，掌握了大量的数据，因此，通过对比不同的数量变化，发现了其背后蕴含着的相同的规律。在这期间，我关注学生的动态生成，及时进点拨，及时渗透“一一对应”的数学思想。
整个探究过程，学生自主合作，分小组分层次经历实验，经历猜想、实验、推理、验证、应用的过程，亲历构建数学模型的全过程，既积累了数学活动经验，又感悟了“数形结合”“化繁为简”“一一对应”及“函数”、数学建模思想等数学思想方法，既突出本课重点、击破难点，也为学生的后续学习积累更丰富實用的思想经验。
三、认知顺化，深化数学模型
学生原有的认知结构遇到一种新知识的输入而产生一种不平衡状态，这时新知识不能被学生原有的认知结构同化，就引起学生原有的认知结构的改造，即“顺化”，从而使学生的认知结构达到新的平衡。笔者通过此环节的变式练习，加深学生对例题中发现的规律的理解，深化数学模型运用。
课题实录：
（一）再现性练习
1.上体育课，同学们排队，第一排同学之间有7个间隔，第一排一共有（ ）个同学。
2.马路一边栽了25棵梧桐树。如果每两棵梧桐间栽一棵银杏树，一共要栽（ ）棵银杏树。
3.第5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有（ ）个车站。
【再现性练习加深了学生对基础知识的理解与应用】
（二）综合性练习
1.园林工人要在绿化带的一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？
师：从这道题中，你知道了些什么？跟例题相比，有什么不同？
学生独立解题后，指名汇报，并说出思路。
2. 在一条全长2 ㎞的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50 m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
（三）发展性练习
利用本节课学到的知识，设计美化教室的方案。
此环节中，安排了三个层次的、结合生活实际的问题，一方面是充分体现本节课的教学重点、难点，加深学生对数学模型的基本应用；另一方面是让学生明白不同的事物或现象之间有着相同的数学本质，同时考察学生灵活运用知识的能力，也让学生体会到数学的应用价值。课外作业《布置教室》，是以综合实践的形式，意在培养学生的实践能力和创新精神。同时，让学生在反思中完善，在质疑中丰富对植树问题的认识，为下节课的内容埋下伏笔
在小学数学教学中渗透建模思想，需要教师提高“渗透”的自觉性，对学生不强求，量力而为；需把握“渗透”的可行性，切记生搬硬套，必须通过具体课堂加以实现；同时，要注意“渗透”的长期性，需循序渐进和反复训练，关注学生的逐步累积和形成。小学阶段的学生模型思想相对薄弱，在小学数学教学中，培养学生数学模型思想是一个系统、循序渐进的过程。只有在课堂中有效渗透，激发学生主动参与、自主探究的热情，才能增强学生的数学观念和数学意识，从而提高学生的数学素养，进而提高全民素养！
建模思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能刻画并“解决”初建问题的一种强有力的数学手段。如何在数学问题解决中，尝试数学建模思想的渗透，是本节课研究的方向。
一、情境导入，感知原始模型
现实生活是数学的源泉，数学问题是现实生活化的结果。有意义的学习一定要把数学内容倣在真实的且有趣的情境中。《植树问题》例1是整个单元的学习起点，其中出现了许多新的数学名词，如“间隔”“间隔长”等，这对于初次接触的学生来说，理解它的含义具有一定的难度。教学中，我尝试借用生活情境导入，以学生熟悉的生活情境作为原始模型研究
课堂实录：
师课件出示四幅图片，让学生欣赏。
师：请仔细观察，这些图片有什么共同的特点？
生：……
师：对！这里每相邻两根电线杆之间、每两个桥墩之间、每两棵树之间、每两根旗杆之间都有一个 “间隔”。这些物体都是按照一定的间隔有规律排列的。
师：生活中，像这样按照一定的间隔进行排列的例子还有很多，你能说说看吗？
生：
小结过渡：你们知道的可真多！像这样，相邻两棵树之间有一个“间隔”，我们把相邻两棵树之间的间隔的长度叫做“间隔长”。
笔者从欣赏“图片”入手，通过学生熟悉的生活情境作为原始模型研究，让学生理解“间隔、间隔长”，扫除学习的障碍，并且起到规范学生語言的作用，为新课的学习作铺垫；同时，让学生体会数学从生活中来，数学也将服务于生活的道理，感受数学的价值。
二、认知同化，构建数学模型
学生的认知结构是在掌握知识过程中形成和发展的，是学生原有认知结构与新知识相互作用的结果。在这一过程中，学生原有的认知结构遇到一种新的知识的输入而产生一种不平衡的状态，通过学生的认知活动使其原有的知识结构与新知识发生作用，这时新的知识被学生原有的认知结构所吸收，即“同化”，从而使学生的认知结构达到新的平衡——建立起新的数学模型。而《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”在这节课中，笔者努力为学生“搭台”，让学生“唱戏”，力求发挥学生的主体地位，让学生动脑、动手、动口……学生在合作探究中，新旧知识结构发生冲突，再通过教师的引导，产生“认知同化”，构建数学模型。
课堂实录：
（一）初步体验，化繁为简
学生在解决例1时，出现了多种答案，对于正确结果的验证，我引导学生进行验证。
课堂实录：
师：总长100m，间隔长5m时，棵数与间隔数有什么关系，我们可以通过什么方法来探究呢？
生：用物品代替树摆一摆，画线段图……
师：好，试一试。（学生试着探究）遇到什么困难了？
生：太长，太麻烦了。
师：其实数学上有一种很好的方法，就是当遇到复杂的问题时，我们可以先从简单的入手，化大为小，再进行研究。100m太长了，我们可以先用简单的数据试一试，比如选取100m中的20m来研究。
（二）数形结合，直观感知
师：假设总长20m，每隔5m栽一棵，有几个间隔？栽了几棵树？一起来摆一摆。
方法一：我们可以用实物摆一摆
用一条线段表示一段路20m。因为两端要栽，所以先在起点种上第一棵，隔5m种一棵，再隔5m种一棵……
方法二：我们也可以画线段图
用一条线段表示20m，平均分成4份，一个点表示一棵树。看看，有几个间隔？栽了几棵树？
引导学生发现，也是总长20m，间隔长5m，用20÷5=4，求出4个间隔，栽了5棵树
（三）认知同化，构建模型
1. 初步建模（课件出示探究表1）
师：总长还可以假设成其它数据吗？你能像这样举几个简单的数据进行探究吗？请拿出探究表（1），小组合作探究。
选择一些小组进行汇报：你们是怎样探究的？怎样得到间隔数？怎样得到棵数？发现了什么规律？（根据学生回答，教师在课件上输入数据）
预设：棵数要比间隔数多1。
（追问：可以用怎样的一个式子表示？）棵数=间隔数 1
2.验证模型（课件出示探究表2）
师：如果不画图，能不能直接求出当这条路长30米、35米……，或是路长和间隔长都改变时，要栽多少棵树？请拿出探究表（2），小组合作，再次探究。
预设：我们发现了：因为两端都要栽，所以栽树的棵数比间隔数多1。
（四）运用模型，解决问题
师：现在，你能用发现的规律解决问题吗？
再次出示例1：同学们在全长100m的小路一边路植树，每隔5m栽一棵树（两端要栽）。一共要栽多少棵树？（学生解答）
小结：刚才通过简单的例子，发现了规律，并解决了问题。这告诉我们，以后遇到复杂的问题，可以先想简单的，化大为小，发现规律，再来解决问题。
在这个过程中，我侧重“认知同化”，让学生在“尝试——猜想——验证——归纳——应用”过程中逐步构建数学模型。在这个过程中，重点设计“棵树与间隔数的关系探究表”，进行两个层次的探究： 第一层，先就“探究总长变，间隔长不变”进行探究，抽到模型 。课上提供充足的探索时间 ，让学生采用自己喜欢的方法进行探究，引导学生寻找解决问题的方法，如通过画线段图，画情境图，用物品代替树进行植树探究……，初步抽取出“棵数=间隔长 1”这一数学模型，学生在操作中积累感性经验，在交流中感知有序思考，并通过对比，体会用画线段图的方法来分析问题的优越性。从而，也向学生渗透了“化繁为简”“数形结合”的思想。
第二层，再就“探究总长与间隔长都变”进行探究，验证模型。第二层次的探究，学生通过学法迁移进行自主探究，对抽取的模型：“棵数=间隔数 1”进行了验证。这一层中，我放手让学生自主选择适当的数据合作操作，学生经历了大量的感知，具备了丰富的活动积累，掌握了大量的数据，因此，通过对比不同的数量变化，发现了其背后蕴含着的相同的规律。在这期间，我关注学生的动态生成，及时进点拨，及时渗透“一一对应”的数学思想。
整个探究过程，学生自主合作，分小组分层次经历实验，经历猜想、实验、推理、验证、应用的过程，亲历构建数学模型的全过程，既积累了数学活动经验，又感悟了“数形结合”“化繁为简”“一一对应”及“函数”、数学建模思想等数学思想方法，既突出本课重点、击破难点，也为学生的后续学习积累更丰富實用的思想经验。
三、认知顺化，深化数学模型
学生原有的认知结构遇到一种新知识的输入而产生一种不平衡状态，这时新知识不能被学生原有的认知结构同化，就引起学生原有的认知结构的改造，即“顺化”，从而使学生的认知结构达到新的平衡。笔者通过此环节的变式练习，加深学生对例题中发现的规律的理解，深化数学模型运用。
课题实录：
（一）再现性练习
1.上体育课，同学们排队，第一排同学之间有7个间隔，第一排一共有（ ）个同学。
2.马路一边栽了25棵梧桐树。如果每两棵梧桐间栽一棵银杏树，一共要栽（ ）棵银杏树。
3.第5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有（ ）个车站。
【再现性练习加深了学生对基础知识的理解与应用】
（二）综合性练习
1.园林工人要在绿化带的一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？
师：从这道题中，你知道了些什么？跟例题相比，有什么不同？
学生独立解题后，指名汇报，并说出思路。
2. 在一条全长2 ㎞的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50 m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
（三）发展性练习
利用本节课学到的知识，设计美化教室的方案。
此环节中，安排了三个层次的、结合生活实际的问题，一方面是充分体现本节课的教学重点、难点，加深学生对数学模型的基本应用；另一方面是让学生明白不同的事物或现象之间有着相同的数学本质，同时考察学生灵活运用知识的能力，也让学生体会到数学的应用价值。课外作业《布置教室》，是以综合实践的形式，意在培养学生的实践能力和创新精神。同时，让学生在反思中完善，在质疑中丰富对植树问题的认识，为下节课的内容埋下伏笔
在小学数学教学中渗透建模思想，需要教师提高“渗透”的自觉性，对学生不强求，量力而为；需把握“渗透”的可行性，切记生搬硬套，必须通过具体课堂加以实现；同时，要注意“渗透”的长期性，需循序渐进和反复训练，关注学生的逐步累积和形成。小学阶段的学生模型思想相对薄弱，在小学数学教学中，培养学生数学模型思想是一个系统、循序渐进的过程。只有在课堂中有效渗透，激发学生主动参与、自主探究的热情，才能增强学生的数学观念和数学意识，从而提高学生的数学素养，进而提高全民素养！