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摘要:本文通过篮球赛中运动员“替换”这一事例,巧妙地和函数的“替换”思想结合起来,让学生理解函数“替换”思想的内涵和外延,并通过用“替换”思想求函数的解析式;用“替换”思想求抽象函数的定义域;用函数的“替换”思想求三角函数的值域三个实例帮助学生体会“替换”在解题中的应用,学生将不会再有函数“难”的感慨;将会使有关函数的习题在完成过程中变得很轻松、很快乐。
关键词:函数;替换;校园生活;应用;快乐
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2013)13-0113
函数是高中数学的一条主线,也是高中数学不容忽视的部分,占有相当重要的位置。一提到函数,学生第一反应是“难”。但如果让数学课堂走进学生的生活,效果会不一样的。
函数自身包含了一个重要的思想。是“替换”。这一思想,在有关函数的习题中无处不在,但学生就是不能理解到位,往往出现因“替换”而产生的错误。这里,笔者就告诉学生:“要‘替换’,就应该从头到尾全部‘替换’,就好比在篮球赛中,替补队员‘甲’上场换了主力队员‘乙’,这时,‘甲’是仅接替‘乙’的传球吗?同学们马上反应到:‘不对’,既要接替‘乙’传球,又要接替‘乙’带球,投球,还有和组员的密切配合等等。凡是‘乙’队员之前要干的事,‘甲’队员全部要扛下来。我高兴的喊到‘太对了’,这就叫‘替换’,从头到尾换,彻底得换,一件都不能少”。以甲、乙运动员替换为例,让校园生活牢牢深入学生的数学思维中,避免出错的目的就达到了。
一、利用“替换”思想求函数的解析式
例1. 已知函数f(x)=x2 3x 1,x∈R,求f(x 3)的表达式。在这道题目中,f(x)=x2 3x 1中的x就是队员“甲”,对应关系f是甲的平方加三倍的甲,再加一,在f(x 3)中的x 3就是队员“乙”,他要“替换”甲的位置,就应该是乙的平方加三倍的乙,再加一,即:f(x 3)=(x 3)2 3(x 3) 1=x2 9x 19
例2. 已知函数f(x 3)=x2 9x 19,求f(x)的表达式。这一题目就是“乙”队员体力不支,又需要“甲”队员来换“乙”队员的位置的情况,依然用“替换”的思想,在f(x 3)=x2 9x 19中,x 3依然是队员“乙”,因为f(x 3)=x2 9x 19=(x 3)2 3(x 3) 1,对应关系f是乙的平方加三倍的乙,再加一,现在是甲队员来换“乙”队员的位置,对应关系f是甲的平方加三倍的甲,再加一,即f(x)=x2 3x 1。这实质就是“甲”队员重新回到自己的位置的情况,他依然充当自己的角色。
这样,“替换”这一思想在学生头脑中留下了不可磨灭的印象,让学生如法炮制,就可得出在高中最常用的两类函数中“替换”思想的应用:1.已知函数f(x)=ax b (a≠0)则f(ax b)=a(ax b) b。反之,已知函数f(ax b)=a(ax b) b(a≠0),则f(x)=ax b。2. 已知函数f(x)= ax2 bx c(a≠0),则f(ax2 bx c)=a(ax2 bx c)2 b(ax2 bx c) c. 反之,已知函数f(ax2 bx c)=a(ax2 bx c)2 b(ax2 bx c) c(a≠0),则f(x)= ax2 bx c.
二、利用“替换”思想求抽象函数的定义域
例1. 已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x2)的定义域。这道题目函数f(x)的定义域为(0,1),就是其中的x∈(0,1),求f(x2)的定义域,就是求其中的自变量x的范围,f(x)中的x就相当于“甲“队员,f(x2)中的x2就相当于“乙”队员,利用“替换”的思想,f(x)中的x的范围就等于f(x2)中的x2 的范围,即x2∈(0,1) ,解得x∈(0,1)∪(-1,0),这就是函数f(x2)的定义域。
例2. 已知函数f(2x 1)的定义域为(0,1), 求函数f(x)的定义域。 这道题目已知函数f(2x 1)的定义域为(0,1),就是其中的x∈(0,1),求f(x)的定义域,就是求其中的自变量x的范围,在函数f(2x 1)中2x 1就相当于我们的 “甲”队员,当x∈(0,1)时,2x 1∈(1,3)在函数f(x)中的x就相当于“乙”队员,按照“替换”的思想,f(x) 中的x∈(1,3)。即函数f(x)的定义域为(1,3)。
例3. 已知函数f(x 1)的定义域为[-2,3],求函数f(x2-2)的定义域。这道题目已知函数f(x 1)的定义域为[-2,3],就是f(x 1) 中的自变量x的范围为[-2,3],求函数f(x2-2)的定义域,就是求f(2x2-2)中的自变量x的取值范围。在函数f(x 1)中的x 1就相当于我们的 “甲”队员, x∈[-2,3],则x 1∈[-1,4]。函数f(x2-2)中的x2-2就相当于“乙”队员,按照“替换”的思想,在函数f(x 1)中的x 1取值范围就等于函数f(x2-2)中x2-2的取值范围。即x2-2∈[-1,4],解得x∈[1,]∪[-,-1]。即函数f(x2-2)的定义域为[1,]∪[-,-1]。
通过以上应用,会发现求抽象函数的定义域只要把握好两点:一,给函数的定义域,给的是自变量x的范围,求函数定义域,求的是自变量x的范围;二,利用函数本身包含的思想“替换”,也就是f(x) 中的“括号”为桥梁。学生求抽象函数的定义域仿佛如鱼得水,游刃有余。
三、利用“替换”思想求三角函数的值域
三角函数求值域是我们常见的一类问题,例:已知函数f(x)=4sin(2x )-3 x∈(0,),求f(x)的最值,对于此题,可以画出函数f(x)=4sin(2x )-3 在x∈(0,)上的图象,结合图象来求最值。不过函数f(x)=4sin(2x )-3的图象画起来稍微麻烦一点,我们可以利用函数的“替换”思想结合正弦曲线来求得。函数f(x)=4sin(2x )-3中,2x 就相当于我们的 “甲”队员,x∈(0,),则2x ∈(,),令函数g(z)=4sinz-3,则Z就相当于“乙”队员,按照“替换”的思想,f(x)中的2x ∈(,)就等于g(z)中的z∈(,),结合正弦曲线当z∈(,)时,sinz∈[-,1]则g(x)=4sinz-3∈[-5,1]。这样运算会更简单,只要求学生会灵活运用最基本的三角函数正弦函数及性质即可。
尽管三角函数是周期函数,我们通常会利用数形结合的思想求值域,求单调区间,但对于函数y=Asin(ωx φ) k(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx φ) k(A>0,ω>0)在给定区间上的值域问题及单调区间问题,若用整体替换的思想,就显得优为简单,学生只需会灵活运用正弦函数或余弦函数的图像及性质即可,这样做,出错的机会也很小。
函数的“替换”思想在我们解决函数问题中的应用还有很多很多,可以说是非常普遍的一个应用,学生总感觉迷惑,我想,只要让数学课堂中的“替换”思想走进校园生活,学生就会真正地理解“替换”思想的内涵和外延,会很轻松、很快乐地完成有关函数的习题,不会再有函数“难”的感慨。
参考文献:
[1] 唐圣斌.例谈三角函数中“1”的替换[J].学知报(教师版), 2011(39).
[2] 黄仁孟.让生活走进数学课堂[J].新校园·理论, 2011(5).
[3] 陈一利,叶燕荣.让校园文化走进数学课堂[J].数学学习与研究(教研版),2010(14).
(作者单位:陕西省周至县第六中学 710403)
关键词:函数;替换;校园生活;应用;快乐
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2013)13-0113
函数是高中数学的一条主线,也是高中数学不容忽视的部分,占有相当重要的位置。一提到函数,学生第一反应是“难”。但如果让数学课堂走进学生的生活,效果会不一样的。
函数自身包含了一个重要的思想。是“替换”。这一思想,在有关函数的习题中无处不在,但学生就是不能理解到位,往往出现因“替换”而产生的错误。这里,笔者就告诉学生:“要‘替换’,就应该从头到尾全部‘替换’,就好比在篮球赛中,替补队员‘甲’上场换了主力队员‘乙’,这时,‘甲’是仅接替‘乙’的传球吗?同学们马上反应到:‘不对’,既要接替‘乙’传球,又要接替‘乙’带球,投球,还有和组员的密切配合等等。凡是‘乙’队员之前要干的事,‘甲’队员全部要扛下来。我高兴的喊到‘太对了’,这就叫‘替换’,从头到尾换,彻底得换,一件都不能少”。以甲、乙运动员替换为例,让校园生活牢牢深入学生的数学思维中,避免出错的目的就达到了。
一、利用“替换”思想求函数的解析式
例1. 已知函数f(x)=x2 3x 1,x∈R,求f(x 3)的表达式。在这道题目中,f(x)=x2 3x 1中的x就是队员“甲”,对应关系f是甲的平方加三倍的甲,再加一,在f(x 3)中的x 3就是队员“乙”,他要“替换”甲的位置,就应该是乙的平方加三倍的乙,再加一,即:f(x 3)=(x 3)2 3(x 3) 1=x2 9x 19
例2. 已知函数f(x 3)=x2 9x 19,求f(x)的表达式。这一题目就是“乙”队员体力不支,又需要“甲”队员来换“乙”队员的位置的情况,依然用“替换”的思想,在f(x 3)=x2 9x 19中,x 3依然是队员“乙”,因为f(x 3)=x2 9x 19=(x 3)2 3(x 3) 1,对应关系f是乙的平方加三倍的乙,再加一,现在是甲队员来换“乙”队员的位置,对应关系f是甲的平方加三倍的甲,再加一,即f(x)=x2 3x 1。这实质就是“甲”队员重新回到自己的位置的情况,他依然充当自己的角色。
这样,“替换”这一思想在学生头脑中留下了不可磨灭的印象,让学生如法炮制,就可得出在高中最常用的两类函数中“替换”思想的应用:1.已知函数f(x)=ax b (a≠0)则f(ax b)=a(ax b) b。反之,已知函数f(ax b)=a(ax b) b(a≠0),则f(x)=ax b。2. 已知函数f(x)= ax2 bx c(a≠0),则f(ax2 bx c)=a(ax2 bx c)2 b(ax2 bx c) c. 反之,已知函数f(ax2 bx c)=a(ax2 bx c)2 b(ax2 bx c) c(a≠0),则f(x)= ax2 bx c.
二、利用“替换”思想求抽象函数的定义域
例1. 已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x2)的定义域。这道题目函数f(x)的定义域为(0,1),就是其中的x∈(0,1),求f(x2)的定义域,就是求其中的自变量x的范围,f(x)中的x就相当于“甲“队员,f(x2)中的x2就相当于“乙”队员,利用“替换”的思想,f(x)中的x的范围就等于f(x2)中的x2 的范围,即x2∈(0,1) ,解得x∈(0,1)∪(-1,0),这就是函数f(x2)的定义域。
例2. 已知函数f(2x 1)的定义域为(0,1), 求函数f(x)的定义域。 这道题目已知函数f(2x 1)的定义域为(0,1),就是其中的x∈(0,1),求f(x)的定义域,就是求其中的自变量x的范围,在函数f(2x 1)中2x 1就相当于我们的 “甲”队员,当x∈(0,1)时,2x 1∈(1,3)在函数f(x)中的x就相当于“乙”队员,按照“替换”的思想,f(x) 中的x∈(1,3)。即函数f(x)的定义域为(1,3)。
例3. 已知函数f(x 1)的定义域为[-2,3],求函数f(x2-2)的定义域。这道题目已知函数f(x 1)的定义域为[-2,3],就是f(x 1) 中的自变量x的范围为[-2,3],求函数f(x2-2)的定义域,就是求f(2x2-2)中的自变量x的取值范围。在函数f(x 1)中的x 1就相当于我们的 “甲”队员, x∈[-2,3],则x 1∈[-1,4]。函数f(x2-2)中的x2-2就相当于“乙”队员,按照“替换”的思想,在函数f(x 1)中的x 1取值范围就等于函数f(x2-2)中x2-2的取值范围。即x2-2∈[-1,4],解得x∈[1,]∪[-,-1]。即函数f(x2-2)的定义域为[1,]∪[-,-1]。
通过以上应用,会发现求抽象函数的定义域只要把握好两点:一,给函数的定义域,给的是自变量x的范围,求函数定义域,求的是自变量x的范围;二,利用函数本身包含的思想“替换”,也就是f(x) 中的“括号”为桥梁。学生求抽象函数的定义域仿佛如鱼得水,游刃有余。
三、利用“替换”思想求三角函数的值域
三角函数求值域是我们常见的一类问题,例:已知函数f(x)=4sin(2x )-3 x∈(0,),求f(x)的最值,对于此题,可以画出函数f(x)=4sin(2x )-3 在x∈(0,)上的图象,结合图象来求最值。不过函数f(x)=4sin(2x )-3的图象画起来稍微麻烦一点,我们可以利用函数的“替换”思想结合正弦曲线来求得。函数f(x)=4sin(2x )-3中,2x 就相当于我们的 “甲”队员,x∈(0,),则2x ∈(,),令函数g(z)=4sinz-3,则Z就相当于“乙”队员,按照“替换”的思想,f(x)中的2x ∈(,)就等于g(z)中的z∈(,),结合正弦曲线当z∈(,)时,sinz∈[-,1]则g(x)=4sinz-3∈[-5,1]。这样运算会更简单,只要求学生会灵活运用最基本的三角函数正弦函数及性质即可。
尽管三角函数是周期函数,我们通常会利用数形结合的思想求值域,求单调区间,但对于函数y=Asin(ωx φ) k(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx φ) k(A>0,ω>0)在给定区间上的值域问题及单调区间问题,若用整体替换的思想,就显得优为简单,学生只需会灵活运用正弦函数或余弦函数的图像及性质即可,这样做,出错的机会也很小。
函数的“替换”思想在我们解决函数问题中的应用还有很多很多,可以说是非常普遍的一个应用,学生总感觉迷惑,我想,只要让数学课堂中的“替换”思想走进校园生活,学生就会真正地理解“替换”思想的内涵和外延,会很轻松、很快乐地完成有关函数的习题,不会再有函数“难”的感慨。
参考文献:
[1] 唐圣斌.例谈三角函数中“1”的替换[J].学知报(教师版), 2011(39).
[2] 黄仁孟.让生活走进数学课堂[J].新校园·理论, 2011(5).
[3] 陈一利,叶燕荣.让校园文化走进数学课堂[J].数学学习与研究(教研版),2010(14).
(作者单位:陕西省周至县第六中学 710403)