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摘要：运算律的教学是数概念发展过程中很重要的一个组成部分，属于比较高层次的认识。数学教学应努力使学生在经历数学知识发展的过程中，实现不同层次认识水平的提升。小学阶段的规律探索由数内部的规律与运算律两大部分组成。
关键字：运算律 层次 探索 认识
一、运算律的知识结构分析
小学数学中的数运算主要是加减乘除运算，这些运算规律有下面的结构关系：首先，这些运算规律总体上可以分为两大类：一类是这些运算内部的不变规律;另一类是这些运算内部的共变规律。这也是函数思想在小学阶段的早期渗透。四年級上学期主要学习了三位数乘除法，各自内部有不变的规律，以及运算律的内部规律。加法与乘法的运算规律真有类比关系，减法与除法的运算规律也具有类比关系。由于乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算，因此，乘法具有与加法可类比的运算规律存在，除法具有与减法可类比的运算规律存在。在不变规律中：有加法交换律，也有乘法交换律;有加法结合律，也有乘法结合律。减法有差不变性质，除法有商不变性质;减法有连减性质，除法有连除性质。从中可以看出数运算规律之间具有类比关系，反映了数运算规律之间具有很强的内在结构。
二、运算律教学存在的问题。
（1）教材内容偏“点状”，导致教学的育人资源贫乏。我发现本学期加法交换律、结合律以及乘法交换律、结合律的知识，都是从学生理解、掌握和运用知识的立场出发来选择编排教材的，这样的内容选择使原本具有很强结构联系的知识链发生了断裂，容易让教师和学生只看见表面孤立的“点状”知识，而看不见有内在联系的知识整体，自然也就容易导致教师和学生对为什么要学习加法、乘法和除法的运算律，而不学习减法的运算律？难道是减法运算没有规律存在吗？既然乘法对加法有分配律存在，那么乘法对减法有没有分配律存在？诸如如此类的问题不仅由不得学生去思考，而且也不容学生去质疑和探究。由此可见，教材的内容选择与编排还缺乏教育学的立场，导致运算律教学育人资源的贫乏。
（2）教师忠实于教材的教学，导致教学的育人价值狭窄。目前教师缺乏创造性地使用教材的意识和能力是一种后天不足。作为教师，我也像大部分教师一样，对教材持一种盲目遵从的态度，导致了在教学中既不注意引导学生去思考运算律存在的前提，也不注意引导学生去了解运算律发展的来龙去脉，更不注意让学生经历运算律从发现到形成的全过程。我是为教这些知识而存在，是为学这些知识而存在的，带来的是运算律教学的育人价值的“狭窄化”现象。由此可见，目前教师普遍存在缺乏创造性地使用教材的意识，缺乏育人的能力。
（3）教师局限于知识点的教学，导致教学割裂与学生思维的被动。由于教师缺乏知识整体背景的思考，在教学中往往出现围绕某个知识点就事论事的现象。以这学期我执教的乘法分配律为例，许多教师不注意分析和思考乘法分配律存在的前提，习惯采取比赛的方式引入教学，一组学生计算“先加再乘”的算式，另一组学生计算“先乘再加”的算式，比赛结果自然是“先乘后加”算式的这组学生赢了，然后让学生观察和分析赢得比赛的原因，发现这些算式的特点和计算结果由于两组学生的计算结果相等就用等号连接两个算式，如25×（40+4）=25×40+25×4，125×（10+8）=125×10+125×8，接着就让学生仅仅凭借这两个等式概括得出乘法分配律，最后就是各种形式的巩固练习。由于学生不知道乘法分配律的成立是以两种运算组合为前提条件的，所以当我出示25×20×4=？的练习题时，就立马有学生上当，掉入教师设计的陷阱，出现了25×20×4=25×20+25×4=1060现象，而且这种状况并非是个别的偶然现象，已然成为乘法分配律教学中学生的常见错误，乘法结合律与乘法分配律混淆。这种状况的多次出现，让我思考到从表面上看似乎是学生粗心审题不够仔细，但根本的原因却是由于我局限于教材知识点教学的缘故。导致学生既不注意各种数运算规律存在前提的思考和判断，也不注意区分它们之间的差异和联系。这种围绕一个个知识点的“点状”教学，不仅容易割裂知识整体之间的内在联系，而且还容易割裂知识发生发展过程的来龙法脉，更容易导致学生思维的被动和无意义的记忆与操练。所以后面的复习我加强了对运算律使用的辨别。
三、运算律教学的育人价值与核心任务
运算律固然需要学生去理解、记忆、掌握和运用。但我们不能仅仅停留在为使学生了解和掌握这些知识而教学，其更重要的教育价值是要承载起培养学生研究意识和能力的任务，承载起促进学生主动成长和发展的任务。从这个意义上说，加减乘除四种运算中所有“结构化”的规律都可以成为育人的载体和丰富的资源。通过运算律探索的教学，使学生从偶然的现象或特殊的问题出发，经历猜想、验证、归纳和概括，抽象出一般的数学结论的过程。帮助学生了解知识创生和发展的过程。使学生了解和掌握研究的方法，体验探索的艰辛和发现的欢乐，感受前人的智慧以及渗透其中的数学思想和方法。更深层次的意义在于：作为培养学生研究意识的载体，它不但提供了学生更多的实践和反思的机会，而且有利于学生整体地认识和结构化地把握这些数运算的规律，有利于学生的主动探究和形成主动学习的心态。
四、学生学习困难分析及运算律教学的过程结构
为了在教学中体现上述育人价值和完成上述核心任务，我们还要分析学生在数运算规律学习过程中可能的因难与障碍，以便在教学中帮助学生克服这些学习困难和障碍。关于运算律教学的过程结构。在运算律教学的“教学结构”阶段，主要的目标是既要注意引导学生进行合理的猜想，又要着力于让学生了解探究规律从发现猜想、验证猜想到概括结论所要经历的一般过程，从而总结提炼出学习这类知识的方法结构。通过教师在课内的引导，使学生在认识数运算规律内在关系的基础上知道怎样用恰当的方式来表达这些内在关系，促进学生实现认知的结构化。
教育，教与育要同时进行，所有的教学都要基于学生个体对知识的认识和理解，学生的个性和创造，通过学生课内的交流和课外的整理，实现知识结构化的认识和多元化的表达。
参考文献：
[1]刘坚、孔启平、张丹.北师大版小学数学四年级上册.2014.5
[2]吴亚萍.数学教学指导纲要.2017.3
[3]吴亚萍.中小学数学课型研究.2014.10
[4]数学课程标准.北京师范大学出版社.2012.1
关键字：运算律 层次 探索 认识
一、运算律的知识结构分析
小学数学中的数运算主要是加减乘除运算，这些运算规律有下面的结构关系：首先，这些运算规律总体上可以分为两大类：一类是这些运算内部的不变规律;另一类是这些运算内部的共变规律。这也是函数思想在小学阶段的早期渗透。四年級上学期主要学习了三位数乘除法，各自内部有不变的规律，以及运算律的内部规律。加法与乘法的运算规律真有类比关系，减法与除法的运算规律也具有类比关系。由于乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算，因此，乘法具有与加法可类比的运算规律存在，除法具有与减法可类比的运算规律存在。在不变规律中：有加法交换律，也有乘法交换律;有加法结合律，也有乘法结合律。减法有差不变性质，除法有商不变性质;减法有连减性质，除法有连除性质。从中可以看出数运算规律之间具有类比关系，反映了数运算规律之间具有很强的内在结构。
二、运算律教学存在的问题。
（1）教材内容偏“点状”，导致教学的育人资源贫乏。我发现本学期加法交换律、结合律以及乘法交换律、结合律的知识，都是从学生理解、掌握和运用知识的立场出发来选择编排教材的，这样的内容选择使原本具有很强结构联系的知识链发生了断裂，容易让教师和学生只看见表面孤立的“点状”知识，而看不见有内在联系的知识整体，自然也就容易导致教师和学生对为什么要学习加法、乘法和除法的运算律，而不学习减法的运算律？难道是减法运算没有规律存在吗？既然乘法对加法有分配律存在，那么乘法对减法有没有分配律存在？诸如如此类的问题不仅由不得学生去思考，而且也不容学生去质疑和探究。由此可见，教材的内容选择与编排还缺乏教育学的立场，导致运算律教学育人资源的贫乏。
（2）教师忠实于教材的教学，导致教学的育人价值狭窄。目前教师缺乏创造性地使用教材的意识和能力是一种后天不足。作为教师，我也像大部分教师一样，对教材持一种盲目遵从的态度，导致了在教学中既不注意引导学生去思考运算律存在的前提，也不注意引导学生去了解运算律发展的来龙去脉，更不注意让学生经历运算律从发现到形成的全过程。我是为教这些知识而存在，是为学这些知识而存在的，带来的是运算律教学的育人价值的“狭窄化”现象。由此可见，目前教师普遍存在缺乏创造性地使用教材的意识，缺乏育人的能力。
（3）教师局限于知识点的教学，导致教学割裂与学生思维的被动。由于教师缺乏知识整体背景的思考，在教学中往往出现围绕某个知识点就事论事的现象。以这学期我执教的乘法分配律为例，许多教师不注意分析和思考乘法分配律存在的前提，习惯采取比赛的方式引入教学，一组学生计算“先加再乘”的算式，另一组学生计算“先乘再加”的算式，比赛结果自然是“先乘后加”算式的这组学生赢了，然后让学生观察和分析赢得比赛的原因，发现这些算式的特点和计算结果由于两组学生的计算结果相等就用等号连接两个算式，如25×（40+4）=25×40+25×4，125×（10+8）=125×10+125×8，接着就让学生仅仅凭借这两个等式概括得出乘法分配律，最后就是各种形式的巩固练习。由于学生不知道乘法分配律的成立是以两种运算组合为前提条件的，所以当我出示25×20×4=？的练习题时，就立马有学生上当，掉入教师设计的陷阱，出现了25×20×4=25×20+25×4=1060现象，而且这种状况并非是个别的偶然现象，已然成为乘法分配律教学中学生的常见错误，乘法结合律与乘法分配律混淆。这种状况的多次出现，让我思考到从表面上看似乎是学生粗心审题不够仔细，但根本的原因却是由于我局限于教材知识点教学的缘故。导致学生既不注意各种数运算规律存在前提的思考和判断，也不注意区分它们之间的差异和联系。这种围绕一个个知识点的“点状”教学，不仅容易割裂知识整体之间的内在联系，而且还容易割裂知识发生发展过程的来龙法脉，更容易导致学生思维的被动和无意义的记忆与操练。所以后面的复习我加强了对运算律使用的辨别。
三、运算律教学的育人价值与核心任务
运算律固然需要学生去理解、记忆、掌握和运用。但我们不能仅仅停留在为使学生了解和掌握这些知识而教学，其更重要的教育价值是要承载起培养学生研究意识和能力的任务，承载起促进学生主动成长和发展的任务。从这个意义上说，加减乘除四种运算中所有“结构化”的规律都可以成为育人的载体和丰富的资源。通过运算律探索的教学，使学生从偶然的现象或特殊的问题出发，经历猜想、验证、归纳和概括，抽象出一般的数学结论的过程。帮助学生了解知识创生和发展的过程。使学生了解和掌握研究的方法，体验探索的艰辛和发现的欢乐，感受前人的智慧以及渗透其中的数学思想和方法。更深层次的意义在于：作为培养学生研究意识的载体，它不但提供了学生更多的实践和反思的机会，而且有利于学生整体地认识和结构化地把握这些数运算的规律，有利于学生的主动探究和形成主动学习的心态。
四、学生学习困难分析及运算律教学的过程结构
为了在教学中体现上述育人价值和完成上述核心任务，我们还要分析学生在数运算规律学习过程中可能的因难与障碍，以便在教学中帮助学生克服这些学习困难和障碍。关于运算律教学的过程结构。在运算律教学的“教学结构”阶段，主要的目标是既要注意引导学生进行合理的猜想，又要着力于让学生了解探究规律从发现猜想、验证猜想到概括结论所要经历的一般过程，从而总结提炼出学习这类知识的方法结构。通过教师在课内的引导，使学生在认识数运算规律内在关系的基础上知道怎样用恰当的方式来表达这些内在关系，促进学生实现认知的结构化。
教育，教与育要同时进行，所有的教学都要基于学生个体对知识的认识和理解，学生的个性和创造，通过学生课内的交流和课外的整理，实现知识结构化的认识和多元化的表达。
参考文献：
[1]刘坚、孔启平、张丹.北师大版小学数学四年级上册.2014.5
[2]吴亚萍.数学教学指导纲要.2017.3
[3]吴亚萍.中小学数学课型研究.2014.10
[4]数学课程标准.北京师范大学出版社.2012.1