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函数的应用问题一直是高考的热点之一,各地高考数学试题中的应用问题多数是有关函数的应用题,试题的形式有解答题,也有选择题或填空题;问题的情境也丰富多彩,有环境保护、最优化问题、工程问题、与其他学科的交汇问题等;涉及的函数模型以二次函数、指数函数、“对勾”函数、分段函数为主.
函数应用问题的实质仍是函数的基本性质的应用,其关键是从实际问题中提炼出函数模型.
解答函数的应用问题一般可按以下程序进行操作:第一步, 认真缜密审题,确切理解题意;第二步, 引进数学符号,建立函数模型; 第三步,利用函数知识,解决数学问题; 第四步,回归实际问题, 给出问题结论.
例 某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件). 已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件. 该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).
(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
破解思路 对于第(1)问,关键是要搞清楚当生产A部件的人数为x时,生产B,C部件的人数分别是多少,这样安排时可分别生产A,B,C部件各多少个.
对于第(2)问,事实上是求第(1)问所给出的三个函数中(对于定义域中任意的x的值)最大者的最小值. 由于k的取值的不同,三者的大小关系也不同,所以可用分类讨论的方法解决. 注意到k=2时,完成A,B部件生产需要的时间相同,所以k=2是分类讨论的临界值.
答案详解 (1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)= = ,T2(x)= ,T3(x)= ,其中x,kx,200-(1 k)x均为1到200之间的正整数.
(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为x0 易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.注意到T2(x)= T1(x),
于是:①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时可得f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max , ,由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当 = 时f(x)取得最小值,解得x= . 由于44< <45,而f(44)=T1(44)= , f(45)=T3(45)= , f(44) ②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数,故k≥3,此时 ≥ = .
记T(x)= ,φ(x)=max{T1(x),T(x)}. 易知T(x)为增函数,则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=max , .
由函数T1(x),T(x)的单调性知,当 = 时,φ(x)取得最小值,解得x= .
由于36< <37,而φ(36)=T1(36)= > ,φ(37)=T(37)= > ,此时完成订单任务的最短时间大于 .
③当k<2时,T1(x) 此时由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当 = 时, f(x)取得最小值,解得x= . 类似①的讨论. 此时完成订单任务的最短时间为 ,大于 .
综上所述,当k=2时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元. 该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元. 设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?求最小值.
函数应用问题的实质仍是函数的基本性质的应用,其关键是从实际问题中提炼出函数模型.
解答函数的应用问题一般可按以下程序进行操作:第一步, 认真缜密审题,确切理解题意;第二步, 引进数学符号,建立函数模型; 第三步,利用函数知识,解决数学问题; 第四步,回归实际问题, 给出问题结论.
例 某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件). 已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件. 该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).
(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
破解思路 对于第(1)问,关键是要搞清楚当生产A部件的人数为x时,生产B,C部件的人数分别是多少,这样安排时可分别生产A,B,C部件各多少个.
对于第(2)问,事实上是求第(1)问所给出的三个函数中(对于定义域中任意的x的值)最大者的最小值. 由于k的取值的不同,三者的大小关系也不同,所以可用分类讨论的方法解决. 注意到k=2时,完成A,B部件生产需要的时间相同,所以k=2是分类讨论的临界值.
答案详解 (1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)= = ,T2(x)= ,T3(x)= ,其中x,kx,200-(1 k)x均为1到200之间的正整数.
(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为x0
于是:①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时可得f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max , ,由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当 = 时f(x)取得最小值,解得x= . 由于44< <45,而f(44)=T1(44)= , f(45)=T3(45)= , f(44)
记T(x)= ,φ(x)=max{T1(x),T(x)}. 易知T(x)为增函数,则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=max , .
由函数T1(x),T(x)的单调性知,当 = 时,φ(x)取得最小值,解得x= .
由于36< <37,而φ(36)=T1(36)= > ,φ(37)=T(37)= > ,此时完成订单任务的最短时间大于 .
③当k<2时,T1(x)
综上所述,当k=2时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元. 该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元. 设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?求最小值.