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“配对”是数学解题中的一种策略。巧配对,常可化繁为简、化难为易,从而巧妙解题。
一、组合配对
例1:计算:+--
解:原式=(-)+(-)
=-
=
例2:分解因式a2+b2+a-6+b+2ab
解:原式=(a2+2ab+b2)+(a+b)-6
=(a+b)2+(a+b)-6
=(a+b-2)(a+b+3)
二、共轭配对
例3:已知-=1,求+的值。
解:∵(-)(+)=x+4-x=4
又∵-=1
∴+=4
例4:比较-与-的大小。
解:∵(-)(+)
=(-)(+)
而+>+
∴-<-
三、分解配对
例5:计算(1-)(1-)(1-)…(1-)
解:原式=(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)…(1-)(1+)
=(×)(×)(×)…(×)×
=
四、乘1配对
例6:计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)
解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)
=24n-1
五、反序配对
例7:求证:+++…+=
证明:设+++…+=S①
则++…+++=S ②
①+②,得
2S=+++…+
则2S=n-1
故S=
即+++…+=
六、增因配对
例8:若a≠1,求证:a+a2+a3+…+an=
证明:设a+a2+a3+…+an=S ①
则a2+a3+…+an+an+1=aS ②
①-②,得
a-an+1=(1-a)S
S=
即a+a2+a3+…+an=
七、均值配对
例9:若x、y为正数,且x+y=1
求证:(1+)(1+)≥9
证明:设x=+t,y=-t,其中|t|<
则(1+)(1+)=[1+][1+]
=·=≥=9
故(1+)(1+)≥9
八、拆项配对
例10:化简:++…+
解:原式=-+-+…+-
=-
=
九、整体配对
例11:分解因式:(x+y)2-4(x+y-1)
解:原式=(x+y)2-4(x+y)+4
=(x+y-2)2
十、分段配对
例12:设a-b=2+,b-c=2-。求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。
解:由a-b=2+,b-c=2-,得:a-c=4
原式=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
=[(2+)2+(2-)2+4]
=15
数学解题除了一般方法外,还要巧妙而又灵活地运用一些技能、技巧,即可达到化繁为简、快速准确的解答效果。
【组稿编辑:杨五星】
(作者单位:410100湖南省长沙县金井镇金井中学)
一、组合配对
例1:计算:+--
解:原式=(-)+(-)
=-
=
例2:分解因式a2+b2+a-6+b+2ab
解:原式=(a2+2ab+b2)+(a+b)-6
=(a+b)2+(a+b)-6
=(a+b-2)(a+b+3)
二、共轭配对
例3:已知-=1,求+的值。
解:∵(-)(+)=x+4-x=4
又∵-=1
∴+=4
例4:比较-与-的大小。
解:∵(-)(+)
=(-)(+)
而+>+
∴-<-
三、分解配对
例5:计算(1-)(1-)(1-)…(1-)
解:原式=(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)…(1-)(1+)
=(×)(×)(×)…(×)×
=
四、乘1配对
例6:计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)
解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)
=24n-1
五、反序配对
例7:求证:+++…+=
证明:设+++…+=S①
则++…+++=S ②
①+②,得
2S=+++…+
则2S=n-1
故S=
即+++…+=
六、增因配对
例8:若a≠1,求证:a+a2+a3+…+an=
证明:设a+a2+a3+…+an=S ①
则a2+a3+…+an+an+1=aS ②
①-②,得
a-an+1=(1-a)S
S=
即a+a2+a3+…+an=
七、均值配对
例9:若x、y为正数,且x+y=1
求证:(1+)(1+)≥9
证明:设x=+t,y=-t,其中|t|<
则(1+)(1+)=[1+][1+]
=·=≥=9
故(1+)(1+)≥9
八、拆项配对
例10:化简:++…+
解:原式=-+-+…+-
=-
=
九、整体配对
例11:分解因式:(x+y)2-4(x+y-1)
解:原式=(x+y)2-4(x+y)+4
=(x+y-2)2
十、分段配对
例12:设a-b=2+,b-c=2-。求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。
解:由a-b=2+,b-c=2-,得:a-c=4
原式=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
=[(2+)2+(2-)2+4]
=15
数学解题除了一般方法外,还要巧妙而又灵活地运用一些技能、技巧,即可达到化繁为简、快速准确的解答效果。
【组稿编辑:杨五星】
(作者单位:410100湖南省长沙县金井镇金井中学)