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摘要：以“总数、每份数、份数之间关系”问题为例，说明数学解题教学仅关注生活经验和数感是不够的，应该抓住时机，逐步渗透模型思想，培养建模能力。以在“解决问题的策略——画图”的教学中建立“总数、每份数、份数之间关系”模型为例，说明新旧知识挢接是根基，深度体验介入是重心，系统归纳整理是关键，灵活拓展运用是要义。
关键词：模型思想建模能力问题解决数量关系
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“义务教育阶段数学课程的设计……在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，要重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”“模型思想的建立，是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程……有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”
郑毓信教授在《数学教育哲学》中谈道：“在数学发展的早期，人们通过观察和实验，并且依靠对经验事实的归纳获得了一些认识，从现今的观点来看，只能说是一种经验，而不能被看成真正的数学知识。数学学习只有深入到‘模型’‘建模’的意义上，才是一种真正的数学学习。”
然而，在当下的数学教学中，教师有时过分重视生活经验和数感这种“快思”，而忽视模型和建模这种“慢想”；当学生能利用生活经验和数感解决实际问题时，教师就很少能进一步地引导他们提炼“模型”、实施“建模”。其实，生活经验和数感虽然是“快思”，但也是“浅思”，难以发现问题的本质，获得解题的通法；模型和建模虽然是“慢想”，但也是“深想”，可以识别问题的模式，找到解题的套路。因此，在解决实际问题的过程中，我们应该抓住时机，逐步渗透模型思想，培养建模能力。
一、问题：仅关注生活经验和数感是不够的
苏教版小学数学六年级上册《分数乘法》《分数除法》单元后有这样一组对比练习：
（1）王师傅23小时织25米长的毯子，1小时织多少米？
（2）李师傅每小时织25米长的毯子，23小时织多少米？
（3）张师傅每小时织25米长的毯子，织23米长的毯子需要几小时？
这是一组工程问题，可以看作工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的不同应用，也可以进一步提炼成总数、每份数和份数三者之间关系的不同应用。
学生从二年级开始学习平均分和除法，做过很多这样的题目。之前，题目中出现的数主要是自然数，多数学生都能顺利解决。现在，题目中的数变成了分数，有些學生就会遇到困难：不知道用乘法还是用除法算；确定了用除法，又不知道用哪个数除以哪个数。
为什么题目内容没有变化，只是数字发生了改变，学生就从会做变为不会做了呢？其实，当题目中出现的数是自然数时，学生主要是依靠生活经验和数感直接快速地做出反应。但是，当题目中出现的数是分数时，题目变得更抽象（不容易理解）、更复杂（不容易计算），生活经验和数感往往就发挥不了作用了，学生更多地要依靠“模型”和“建模”。
二、对策：抓住时机，逐步渗透模型思想，培养建模能力
上述问题中最根本（最广泛）的模型是总数、每份数和份数三者之间的关系：总数除以份数等于每份数，总数除以每份数等于份数，每份数乘份数等于总数。在小学数学中，很多数量关系（如路程、速度和时间三者之间的关系等）都可以提炼成这个模型，很多问题都是这个模型的应用。因此，在解决这类问题的过程中，应帮助学生从具体的情境中抽象出这三个数量，并理解这三个数量之间的关系，从而感悟模型思想，发展建模能力。下面，以苏教版小学数学四年级下册“解决问题的策略——画图”的教学为例，具体说明。
（一）新旧知识挢接是根基
（教师出示教材例1的改编题：小宁和小春共有72枚邮票，小春和小宁的邮票数同样多。两人各有邮票多少枚？学生读题后列式解答。）
师你是怎样计算的？为什么可以这样计算？
生72÷2=36（枚），小春和小宁各有邮票36枚。因为两人的邮票数同样多，所以把72平均分成2份，每份是36。
师对，这是“平均分”问题，用除法解决，它的数量关系是“总数÷份数=每份数”。
（教师出示教材例1：小宁和小春共有72枚邮票，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？学生读题后无从入手。）
师为什么不能像刚才一样直接用除法计算了？
生因为两人不一样多了。
教材设计例1的意图是引入画线段图这一解决问题的策略，培养学生的策略意识。这是一道典型的“和差问题”，对于四年级学生来说有一定的难度。此题最终的算理可以归结为“平均分”，即算法可以归结为除法。教学例1前先出示改编题，意在设置一个坡度，帮助学生唤醒旧知，凸显模型思想——利用“总数÷份数=每份数”模型解决“平均分”问题，从而为获得新知做铺垫，即解决例1时想到把每份数不同转化成每份数相同，继续使用之前的模型。
（二）深度体验介入是重心
（教师引导学生根据题意画出图1所示的线段图，理清数量关系。）
师同学们，有了这张线段图，我们便能直观、清楚地看到两个数量之间的关系。由此，我们能不能找到解决问题的方法呢？
（学生思考。）
师（启发）怎么做，小宁和小春的邮票可以一样多？邮票的总数有什么变化？独立思考后和同桌讨论一下。
（学生交流。）
生小春去掉12枚邮票。
生小宁补上12枚邮票。
生小春给小宁6枚邮票。
（教师采用活动的线段图教具演示数量的“移多补少”。）
师（追问）哪些数量和原来不一样了？哪些没变？
……
“和差问题”解决的关键是把不相等的数变为相等的数。使用教具“活动线段图”，能让学生更直观地理解数量之间的关系及数量变化的情况，更清晰地表达出自己的想法。这些都有助于学生深度体验、介入探索的完整过程，实现成功建模。
（三）系统归纳整理是关键
师你们的三种想法，有的是“去掉”，有的是“补上”，有的是“移动”（给），目的都是什么？
生都是要让两人的邮票数一样多。
师是的。当两人的邮票数同样多时，就可以将邮票总数平均分成2份，用除法求每份是多少，即利用“总数÷份数=每份数”模型。
（教师引导学生交流，体会画图策略，形成策略意识。）
引导学生借助线段图，回顾解决问题的过程，知晓三种解题方法虽然形式不一样，但本质相同，都是利用“总数÷份数=每份数”这个数量关系（模型）。这是新知教学的最后环节，意在引导学生进行系统的归纳整理，透过复杂的现象识别本质，确定相互的联系，从而超越一道题目的解答，完成模型的建立。这一过程同时也能帮助学生建立新旧知识之间的联系。
（四）灵活拓展运用是要义
（教师出示教材“练习八”第4题：小建和小西买同样的笔记本，小建买了3本，小西买了5本，小建比小西少花12元。笔记本的单价是多少元/本？学生独立按要求先画出线段图，再列式解答，最后核对答案。）
师说说“12÷（5-3）”这个算式的意思，并想想用到了哪个数量关系式。
……
模型思想要求我们将一个问题的解决拓展为一类问题的解决；而建立模型的目的就是帮助学生依据模型举一反三。在拓展运用阶段，可以设计变式练习，引导学生观察和寻找实际问题的固有特征和内在规律，建立起相应的模型，然后以不变应万变，灵活地运用模型思想分析和解决问题。
参考文献：
[1] 【美】约翰·D.布兰思福特等.人是如何学习的：大脑、心理、经验及学校（扩展版）[M].程可拉，孙亚玲，王旭卿译.上海：华东师范大学出版社，2013.
[2] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.
[3] 【美】丹尼尔·卡尼曼.思考，快与慢[M].胡晓姣，李爱民，何梦莹译.北京：中信出版社，2012.课堂回放
关键词：模型思想建模能力问题解决数量关系
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“义务教育阶段数学课程的设计……在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，要重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”“模型思想的建立，是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程……有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”
郑毓信教授在《数学教育哲学》中谈道：“在数学发展的早期，人们通过观察和实验，并且依靠对经验事实的归纳获得了一些认识，从现今的观点来看，只能说是一种经验，而不能被看成真正的数学知识。数学学习只有深入到‘模型’‘建模’的意义上，才是一种真正的数学学习。”
然而，在当下的数学教学中，教师有时过分重视生活经验和数感这种“快思”，而忽视模型和建模这种“慢想”；当学生能利用生活经验和数感解决实际问题时，教师就很少能进一步地引导他们提炼“模型”、实施“建模”。其实，生活经验和数感虽然是“快思”，但也是“浅思”，难以发现问题的本质，获得解题的通法；模型和建模虽然是“慢想”，但也是“深想”，可以识别问题的模式，找到解题的套路。因此，在解决实际问题的过程中，我们应该抓住时机，逐步渗透模型思想，培养建模能力。
一、问题：仅关注生活经验和数感是不够的
苏教版小学数学六年级上册《分数乘法》《分数除法》单元后有这样一组对比练习：
（1）王师傅23小时织25米长的毯子，1小时织多少米？
（2）李师傅每小时织25米长的毯子，23小时织多少米？
（3）张师傅每小时织25米长的毯子，织23米长的毯子需要几小时？
这是一组工程问题，可以看作工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的不同应用，也可以进一步提炼成总数、每份数和份数三者之间关系的不同应用。
学生从二年级开始学习平均分和除法，做过很多这样的题目。之前，题目中出现的数主要是自然数，多数学生都能顺利解决。现在，题目中的数变成了分数，有些學生就会遇到困难：不知道用乘法还是用除法算；确定了用除法，又不知道用哪个数除以哪个数。
为什么题目内容没有变化，只是数字发生了改变，学生就从会做变为不会做了呢？其实，当题目中出现的数是自然数时，学生主要是依靠生活经验和数感直接快速地做出反应。但是，当题目中出现的数是分数时，题目变得更抽象（不容易理解）、更复杂（不容易计算），生活经验和数感往往就发挥不了作用了，学生更多地要依靠“模型”和“建模”。
二、对策：抓住时机，逐步渗透模型思想，培养建模能力
上述问题中最根本（最广泛）的模型是总数、每份数和份数三者之间的关系：总数除以份数等于每份数，总数除以每份数等于份数，每份数乘份数等于总数。在小学数学中，很多数量关系（如路程、速度和时间三者之间的关系等）都可以提炼成这个模型，很多问题都是这个模型的应用。因此，在解决这类问题的过程中，应帮助学生从具体的情境中抽象出这三个数量，并理解这三个数量之间的关系，从而感悟模型思想，发展建模能力。下面，以苏教版小学数学四年级下册“解决问题的策略——画图”的教学为例，具体说明。
（一）新旧知识挢接是根基
（教师出示教材例1的改编题：小宁和小春共有72枚邮票，小春和小宁的邮票数同样多。两人各有邮票多少枚？学生读题后列式解答。）
师你是怎样计算的？为什么可以这样计算？
生72÷2=36（枚），小春和小宁各有邮票36枚。因为两人的邮票数同样多，所以把72平均分成2份，每份是36。
师对，这是“平均分”问题，用除法解决，它的数量关系是“总数÷份数=每份数”。
（教师出示教材例1：小宁和小春共有72枚邮票，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？学生读题后无从入手。）
师为什么不能像刚才一样直接用除法计算了？
生因为两人不一样多了。
教材设计例1的意图是引入画线段图这一解决问题的策略，培养学生的策略意识。这是一道典型的“和差问题”，对于四年级学生来说有一定的难度。此题最终的算理可以归结为“平均分”，即算法可以归结为除法。教学例1前先出示改编题，意在设置一个坡度，帮助学生唤醒旧知，凸显模型思想——利用“总数÷份数=每份数”模型解决“平均分”问题，从而为获得新知做铺垫，即解决例1时想到把每份数不同转化成每份数相同，继续使用之前的模型。
（二）深度体验介入是重心
（教师引导学生根据题意画出图1所示的线段图，理清数量关系。）
师同学们，有了这张线段图，我们便能直观、清楚地看到两个数量之间的关系。由此，我们能不能找到解决问题的方法呢？
（学生思考。）
师（启发）怎么做，小宁和小春的邮票可以一样多？邮票的总数有什么变化？独立思考后和同桌讨论一下。
（学生交流。）
生小春去掉12枚邮票。
生小宁补上12枚邮票。
生小春给小宁6枚邮票。
（教师采用活动的线段图教具演示数量的“移多补少”。）
师（追问）哪些数量和原来不一样了？哪些没变？
……
“和差问题”解决的关键是把不相等的数变为相等的数。使用教具“活动线段图”，能让学生更直观地理解数量之间的关系及数量变化的情况，更清晰地表达出自己的想法。这些都有助于学生深度体验、介入探索的完整过程，实现成功建模。
（三）系统归纳整理是关键
师你们的三种想法，有的是“去掉”，有的是“补上”，有的是“移动”（给），目的都是什么？
生都是要让两人的邮票数一样多。
师是的。当两人的邮票数同样多时，就可以将邮票总数平均分成2份，用除法求每份是多少，即利用“总数÷份数=每份数”模型。
（教师引导学生交流，体会画图策略，形成策略意识。）
引导学生借助线段图，回顾解决问题的过程，知晓三种解题方法虽然形式不一样，但本质相同，都是利用“总数÷份数=每份数”这个数量关系（模型）。这是新知教学的最后环节，意在引导学生进行系统的归纳整理，透过复杂的现象识别本质，确定相互的联系，从而超越一道题目的解答，完成模型的建立。这一过程同时也能帮助学生建立新旧知识之间的联系。
（四）灵活拓展运用是要义
（教师出示教材“练习八”第4题：小建和小西买同样的笔记本，小建买了3本，小西买了5本，小建比小西少花12元。笔记本的单价是多少元/本？学生独立按要求先画出线段图，再列式解答，最后核对答案。）
师说说“12÷（5-3）”这个算式的意思，并想想用到了哪个数量关系式。
……
模型思想要求我们将一个问题的解决拓展为一类问题的解决；而建立模型的目的就是帮助学生依据模型举一反三。在拓展运用阶段，可以设计变式练习，引导学生观察和寻找实际问题的固有特征和内在规律，建立起相应的模型，然后以不变应万变，灵活地运用模型思想分析和解决问题。
参考文献：
[1] 【美】约翰·D.布兰思福特等.人是如何学习的：大脑、心理、经验及学校（扩展版）[M].程可拉，孙亚玲，王旭卿译.上海：华东师范大学出版社，2013.
[2] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.
[3] 【美】丹尼尔·卡尼曼.思考，快与慢[M].胡晓姣，李爱民，何梦莹译.北京：中信出版社，2012.课堂回放