【摘 要】
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在计算几何、计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,简称CAGD）与计算机辅助设计（Computer Aided Design,简称CAD）中,参数曲线曲面是重要的几何设计工具,常用的曲线曲面有Bézier曲线曲面、B样条曲线曲面与NURBS曲线曲面等.曲线曲面的升阶与de Casteljau算法是曲线曲面设计中两项关键的几何算法,它们常被用于细分、组合
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在计算几何、计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,简称CAGD）与计算机辅助设计（Computer Aided Design,简称CAD）中,参数曲线曲面是重要的几何设计工具,常用的曲线曲面有Bézier曲线曲面、B样条曲线曲面与NURBS曲线曲面等.曲线曲面的升阶与de Casteljau算法是曲线曲面设计中两项关键的几何算法,它们常被用于细分、组合曲线曲面和蒙皮曲面等几何设计中.在CAGD中,常用参数曲面来表示三维空间中物体的边界,随着飞机、汽车等现代工业的发展,工业上使用的复杂结构的实体模型不仅需要边界定义而且需要内部定义,因此对三维参数体的表示与性质进行研究也十分重要Toric曲面是经典有理Bézier曲面的推广形式,它是一类多边形有理曲面,继承了有理Bézier曲面的许多优良的性质.本文用Toric曲面的深度来表示曲面的次数,对其几何算法进行研究,给出了 Toric曲面的de Casteljau算法的显示公式,以及Toric曲面任意次数的升阶公式.Toric曲面的升阶算法为利用Toric-Bernstein基函数进行等几何分析（Isogeometric analysis,IGA）的细化过程提供了可能,该细化过程类似于基于NURBS的升阶算法给出的p-细化.最后,将Toric曲面的升阶公式应用到IGA中,对二维Toric曲面参数化表示的多边形物理域,采用升阶算法实现细化,可有效提高求解精度.在工程应用中,三维参数体模型应用更加广泛,本文对于Toric体的几何算法进行研究.首先利用三维格点集的Minkowski和与函数序列离散卷积的相关理论,给出三元Toric-Bernstein基函数的递推与升阶公式,继而给出Toric体的de Casteljau算法和d层到（d+1）层的升阶算法,将升阶算法推广到任意次数,并给出实例将七面体升阶算法初步应用于IGA中.同时对Toric曲面/体的控制网格在升阶过程中的逼近性质进行了初步讨论.参数曲线曲面构造的关键是对应基函数的构造.经典的Bézier曲线曲面、NURBS曲线曲面等参数曲线曲面的性质大都可以由它们对应基函数的性质得到.本文中,我们定义了一类实数点集对应的基函数,称为广义Toric-Bernstein（GT-Bernstein）基函数.基于该基函数,我们构造了一类广义Toric-Bézier（GT-Bézier）曲线曲面.这类曲线曲面实际上是非有理Toric簇的投影,也是经典有理Bézier曲线曲面和Toric曲面的推广形式.进一步,我们研究了该类曲线曲面的性质,如角点插值性、重节点性质、Toric退化等性质.
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