在过去的二十年里，自适应有限元方法的研究得到了极大的发展。在相当多的实际问题中，由于解的奇异性质的存在，传统的一致网格计算会极大地浪费计算机资源，并可能使得数值求解无法实现，相反地，通过自适应的方法来分布网格，可以在很大程度上提高计贷的性能，但在流体动力学以及半导体设备仿真中的很多实际问题中，当主要椭圆部分被低次对流项控制时，解通常出现内部层和边界层，这时应用各向异性网格比应用各向同性网格能在很大程度上节省自由度和提高计算精度。相对各向同性网格，各向异性网格自适应加密的难点在于寻找合适的加密方向以及更新局部网格的数据结构，目前还没有通用的h方法给出自适应加密策略的文献，同时，各向同性网格下常用的插值误差估计以及后验误差估计对于各向异性网格来说不再成立，就目前而言还没有得到一致承认的各向异性自适应加密算法和后验误差估计。 本文中从最简单的poisson方程入手，通过引入由圆到椭圆的仿射变换，利用解的Hexxian矩阵的特征值作为椭圆的长短半轴长，特征向量的方向作为其伸缩方向，给出各向异性三角形单元的加密方向，同时给出了各向异性插值误差估计，并据此给出了后验误差估计的上界。在实际计算中，修改了Z-Z型后验误差估计子，结果显不提高了计算精度。我们给出了不同类型的数值算例，结果表明：与各向同性网格相比，针对解出现内部层和边界层的情况，各向异性网格能大幅度地减少计算中所用的自由度，提高计算精度。而对于间断系数问题，能提高数值计算的收敛阶和计算效率。