提出不同类型的增量未知元用于构造有限差分数值格式。本文主要考虑增量未知元以下方面。首先,通过增量未知元方法建立适合三维偏微分方程的清晰矩阵框架,在三维情形提出增量未知元的多层格式,通过数值试验,证实包括求解泊松方程,增量未知元的分层预处理形式可以用于更一般的方程。其次,将增量未知元方法和一些现代迭代方法相结合,如MR,GCR,Orthomin（k）,Bi-CGSTAB,HSS,BTSS等,并求解由三维对流扩散方程多层离散生成的非对称正定线性系统。通过理论分析,估计出与静态对流扩散方程相关的增量未知元矩阵条件数,以及MR,GCR,Orthomin（k）迭代法求解数值解所需的迭代步数。给出数值试验,通过两层逼近证明增量未知元是一个好的预处理子,尤其在结合一些迭代方法时。第三,在二维情形,使用两层增量未知元的θ格式求解依赖时间的对流扩散方程。证实关于二阶增量未知元的惯性流形多重网格算法是收敛的。增量未知元θ格式在0≤θ＜1/2时是条件稳定的,在1/2≤θ≤1时是无条件稳定的。在时间层每一步迭代使用GMRES方法求解依赖时间的对流扩散方程,数值试验说明增量未知元方法能控制计算中带来的扰动。第四,提出一个修正的,基于一边差分的Crank-Nicolson格式,用于求解二维依赖时间的对流占优扩散方程。二阶一边差分逼近用于对流项的离散,二阶中心差分逼近用于扩散项的离散。该数值格式是相容的,无条件稳定的。对全离散格式,推导了先验误差估计。使用增量未知元预处理子之后,数值结果证实了修正的Crank-Nicolson格式的稳定性和有效性。接着,本文提出一个隐式差分格式求解上述类似问题。对常系数的对流占优扩散方程而言,基于一边有限差分和中心差分的隐格式是相容的并且无条件稳定,对应L2误差估计被推导。而且Burgers类型的方程使用类似半隐格式,其中只是对非线性项线性化,其时间上采用显式,这种半隐格式是条件稳定的。通过增量未知元方法的预处理技术,这种隐格式或半隐格式是一种有效格式,它能避免数值扰动,在稳定性和精度上表现和理论结果一致。同时,提出一种新的类小波增量未知元,它具有一些好的性质。一方面,近似解空间能被类小波增量未知元分解成两个L2正交子空间,这能使耦合系统自动消掉一些项,简化计算。另一方面,从类小波增量未知元到节点未知元的变化矩阵是正交矩阵,更方便计算。当应用于惯性流形多网格算法和非线性伽略金方法时,可证明类小波增量未知元方法的收敛性。最后,提出二维和三维类小波增量未知元方法,用于求解二维和三维具有多项式非线性项的反应扩散方程,推导类小波增量未知元的先验估计,证实如同所希望的那样,它是比较小的量,并且类小波增量未知元分解后的空间具有正交性。本文推导了基于类小波增量未知元方法的显格式和半隐格式的稳定性充分条件,这要优于相应标准算法的稳定性,即类小波增量未知元改进了算法稳定性条件。在二维情形,提供数值算例指出类小波增量未知元方法的有效性。并且,三维情形类小波增量未知元方法的稳定性可以类似二维情形进行推导。