微分方程在生产科研上有着巨大的应用，而目前对微分方程规律的认识，在线性微分方程方面有了很全面的结果。但对于非线性微分方程，不管是常微分方程还是偏微分方程，认识都很有限。其中有一类应用广泛的非线性微分方程，是线性微分方程增加非线性扰动而得，可以用算子形式表示成Lu+Nu=Fu，(1)其中L为线性微分算子，N，F为非线性算子。该类方程目前得到了大量研究。本文研究方程(1)的一些特殊形式方程的解的存在性问题，给出了较弱的存在性充分条件。第一章给出了本文所研究方程的几种具体形式：其一为{∑i,jaijuxixj+∑iaiUxi-h(u)u=0,u|Ω=0，(2)其中x∈ΩRn(边界分段光滑的有界区域)，(aij)是对称可测函数矩阵且分布导数有界可测，ai是可测函数，h：L2(Ω)→B(L2(Ω))连续。其二为{τy-h(t,y,y′，…，y(n-1))y=f(t,y，y′，…，y(n-1))Bi(y)=0,(3)其中y(t)是[a，b]上的函数，h：[a,b]×Rn→R和f：[a，b]×Rn→R均连续，并且τy=an(t)y(n)+an-1(t)y(n-1)+…+a1(t)y′+a0(t)yBi(y)=n-1αijy(j)(a)+n-1∑j=0βijy(j)(b)，i=1，2，…，n，其三为{u″(t)+gradG(u(t))=(p(t),(4)u(0)=u(2π)=0,u′(0)=u′(2π),其中p：R→Rn是具有2π周期的连续函数，G：Rn→R具有连续二阶偏导数.第二章总结了目前研究方程(1)的存在性所用的三大工具：NewtonKantorovich方法，全局反函数定理方法和Hilbert空间方法。第三章介绍了本文研究所涉及的两方面预备知识：算子谱理论和Sobolev空间理论。其中Sobolev空间理论中的嵌入定理在本文的研究中起着关键性的作用。第四章总结了前人已有的工作，其中主要的有：Elcrat证明了方程∑ijaijUxixj+∑iaiuxi-f(x，u)=0有唯一解的充分条件是存在某个∈＞0使得√λS-λγ2+∈≤fu(x，u)，fu(x，u)=O(u)且有S＜√λγ2，此处λ=inf∫Ω|△u|2dx/∫Ωu2dx，S=sup|ai-(aij)xj|,γ2=infξ∑aijξiξj/|ξ|2.Kannan和Locker证明了方程(3)存在解的充分条件是(a)存在p和q使得q≤h(t，x)≤p，t∈[a,b]，x∈Rn，(b)L的特征值λi∈[q，p]，i=1，2，…，(c)存在M＞0使得|f(t，x)|≤M，t∈[a，b|，x∈Rn.Brown等人证明了方程(4)存在唯一解的充分条件是存在两个常数矩阵A和B使得A≤(2G/xixj(a))≤B，而A和B分别具有特征值λ1≤λ2≤…≤λn和μ1≤μ2≤…≤μn并且有N2k＜λk≤μk＜(Nk+1)2。第五章分成四部分：第一部分推广了Elcrat的结果，证明了方程∑aijUxixj+∑aiuxi-h(u)u=f(u)只要满足条件essinf‖ω‖L2=γh(w)＞√λS-λγ2Sr∈[0，+∞)，S＜√λγ2及‖f(w)‖L2=O(τ(‖ω‖L2)-1)|esssuph(w)|+λγ2-√λS其中τ(r)=sup‖ω‖L2＜r|esssupx∈Ωh(w)|+λγ2-√λS/min{essinfx∈Ωh(ω),0}+λγ2-√λS/，就必定有解。第二部分将Kannan和Locker的结论进行了推广：方程(3)存在解的充分条件可以弱化成λi＜h(t,w，…，w(n-1))＜λi+1，max‖w‖n-1=smint∈[a,b]|f(t，w，…，w(n-1))|=O(δ(s))，其中δ(s)=min‖ω‖n-1≤s{(η-γ(ω))2}，η=λi+1-λi/2，γ(ω)=sup‖u‖=1,h0(ω)y∈S‖h0(ω)y‖，而h0(w)=max{|h(w)-λi+λi+1/2|，η/2}，S为L中对应于所有值为λi和λi+1特征值的特征向量张成的空间。第三部分则证明方程(3)存在解的充分条件可以弱化成跨共振点的形式(Ⅰ)存在常数δ＞0和γ＞0使得mE(h(t，x)-λi≥δ)≥γ，mE(λi+1-h(t,x)≥δ)≥γ其中λ1≤λ2≤…≤λk≤…为L的特征值，(Ⅱ)λi-τ(δγ/δ+γ)≤h(t,x)≤λi+1+τ(δγ/δ+γ)t∈[a,b]，x∈Rn,其中τ(s)=1/32η4(min{ζ,η,s×√minψ∈B1UB2mE=s∫Eψ2dt})5，η=λi+1-λi/2，ζ=minλk≠λi,λi+1{|λk-λi|，|λk-λi+1|}，B1=span{ψ|Lψ=λiψ,‖ψ‖=1}，B2=span{ψ|Lψ=λi+1ψ，‖ψ‖=1}，(f)存在常数M使得|f(t，x)|≤M。第四部分则推广了Brown等人的结论，证明方程(4)存在解的充分条件可以如下(跨共振点)：存在常数δ＞0和γ＞0使得(a)A-∈(δγ/δ+γ+δγ)I≤(2G/xjxj(a))≤B+∈(δγ/δ+γ+δγ)I，其中∈(s)=s/10π(s/2-sins/2)，(b)mE((2G(u)/xixj)≥A+δI)≥γ,mE((2G(u)/xixj)≤B-δI)≥γ，而A和B分别具有特征值0＜N12≤N22≤…≤Nn2和(N1+1)2≤(N2+1)2≤