由于Hopf代数在量子群理论和相关的数学物理领域的重要地位，随着研究的深入，一些弱化的Hopf代数概念的意义越来越得到深入的理解和进一步的重视。在文献中，为了研究Yang-Baxter方程的非平凡解，作者引入了著名的弱Hopf代数的概念使得基于这一类双代数，能够给出Yang-Baxter方程的一个非平凡解。基于Yang-Baxter方程在理论物理学中的重要性，非平凡的Yang-Baxter方程的解就成了研究的关键。另一个方面，弱Hopf代数和正则幺半群有着紧密地联系，例如，一个幺半群代数是一个弱Hopf代数的充要条件是这个半群是正则幺半群。显然，为了更深入地研究这两个方面，很有必要去找出更多的非平凡的弱Hopf代数。 在第一章中，通过一族Hopf代数构造了所谓的半格分次弱Hopf代数。半格分次弱Hopf代数的一个典型例子就是Clifford幺半群代数。然后，我们在第1.2节里给出了这类弱Hopf代数的一些性质和等价刻画。 已经熟知群代数的Maschke定理，在[Mo2]中，作者又给出了有关有限维Hopf代数的Maschke和对偶Maschke定理的情形。对于半群代数的方面来说，[CP]给出了拟半群代数的类似的结论。因为弱Hopf代数是幺半群代数的自然推广，很显然地我们会问弱Hopf代数又会是什么情形呢?半格分次弱Hopf代数是弱Hopf代数的一类特殊情况，而且又是Hopf代数的一种推广，在第1.3节中，我们将会给出半格分次弱Hopf代数的Maschke和对偶Maschke定理的结论及其应用。 在第2.1节中，基于[L9]中的结论，本研究给出了一个正则Yang-Baxter方程的解，同时也给出了这个解的一个分解。而且，类似于[L8]中的相关结论，我们将给出交换情况下的半格分次弱Hopf代数的G-量子偶的分解和半单性的讨论。 尽管有限Clifford幺半群的量子偶确实是有限群量子偶的一个推广，但是[L2]中的量子偶一般情况下是不能够看作是Hopf代数量子偶的一个推广，这是因为我们在[L2]中要求所有讨论的弱Hopf代数都是交换的。在第2.2节中，我们将要推广这些结论并且构造了弱Hopf代数skew-对的拟双交叉积，在这儿，我们并不要求skew-对中的两个弱Hopf代数是交换的。首先，我们通过弱Hopf代数的skew-对来构造了一种新的拟双交叉积，这种skew对是对Takeuchi[Ta]Hopf代数对的一个推广。作为特殊情况，非交换的半格分次弱Hopf代数的量子偶同样可以构造出来。作为群和非交换非余交换Hopf代数的量子偶的构作的推广，我们同样可以分别给出Clifford幺半群和非交换非余交换弱Hopf代数的量子偶的构作。而且，我们还要给出有限维半格分次弱Hopf代数量子偶的一些刻画。 众所周知，每个余代数C都可以唯一分解为它的不可分分支的直和，而且当C是余交换的时候，这些不可分分支是不可约的。在1995年，Montgomery[Mo1]给出了这个结论的另外的一个证明方法，而且她还利用这些结论来证明对于任何点的Hopf代数H，会有类群元群G(H)的一个正规子群N使得H是K(G/N)和H的包含单位元的不可分分支的交叉积。在第2.3节中，我们将把Montgeomery的这一结论推广到点的半格分次弱Hopf代数上去。而且，作为主要结论的一个相反地考虑，在最后我们构造了一个Clifford幺半群。 我们已经知道，H-扩张A(∈)B是H-cleft的充要条件是B≌A＃σH。在第2.3节中，我已经将Clifford幺半群代数分解为交叉积的半格分次的直和，在第2.4节中我们希望能够通过所谓的H-Y-cleft扩张将如上关于交叉积的结论推广到所谓的Y-交叉积上去。 当然，Clifford幺半群代数是半格分次弱Hopf代数的一个例子。但是，我们希望能够给出更多的非平凡的半格分次弱Hopf代数的例子。在文献[BDG]中，作者给出了通过Ore-扩张从一个群代数来构造点Hopf代数的一般构造方法和过程。这样就给我一个启示：通过Ore-扩张来构造点的半格分次弱Hopf代数。在第3章中，我们通过Ore-扩张从一个Clifford幺半群代数来构作一个非交换非余交换的半格分次的点的弱Hopf代数。