【摘 要】
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极值图论旨在探寻图中的一些参数如顶点数、边数、色数、最大度、最小度之间的关系,并给出满足某种关系的图所具有的极值结构,是图论的一个重要分支.在极值图论中,图的划分和哈密顿结构是两个比较重要的研究课题.本文主要研究了有向图公平划分和超图存在哈密顿圈的最小度条件这两类极值问题,证明了有向图在某种条件下存在一个二部划分V1,V2,使得从V1到V2的弧数和从V2到V1的弧数都比较多,并且给出了4-一致超图
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极值图论旨在探寻图中的一些参数如顶点数、边数、色数、最大度、最小度之间的关系,并给出满足某种关系的图所具有的极值结构,是图论的一个重要分支.在极值图论中,图的划分和哈密顿结构是两个比较重要的研究课题.本文主要研究了有向图公平划分和超图存在哈密顿圈的最小度条件这两类极值问题,证明了有向图在某种条件下存在一个二部划分V1,V2,使得从V1到V2的弧数和从V2到V1的弧数都比较多,并且给出了4-一致超图在接近极图的情况下,图中存在紧的哈密顿圈的最小3-余度条件.具体内容如下.第一部分研究了最小出度至少为d的有向图的公平划分.Lee,Loh和Sudakov在2006年提出了一个著名的猜想:即任意有m条弧,并且最小出度不小于d的有向图都存在一个二部划分V1,V2,使得min{e（V1,V2）,e（V2,V1）}≥（（d-1）/2（2d-1））+o（1）)m.本文首先用经典的概率方法在有向图中找到一个二部划分,使得这两个集合之间任意方向的交叉弧数值都比较大;然后通过讨论划分中最小间隔的性质以及有向图中的大点的个数和位置,得到了这个猜想在大点个数不小于d或者恰好为1的情况下是成立的,并且对猜想中d=2和d=3的情况给出了一个简单统一的证明方法.第二部分研究了最小出度为4的有向图的公平划分.给出了满足这个性质,并且弧数为m的有向图中一定存在一个二部划分V1,V2,使得交叉弧和e（V2,V1）的数值都不小于（3/14+o（1））m.首先在一般有向图划分的基础上,引入紧连通分支和大度差的概念,得到了不满足上面不等式的有向图都必须具备的几个性质;然后通过说明这几个性质不能同时达到,从而证明了 Lee,Loh和Sudakov的猜想在d=4的时候成立.第三部分研究了超图中存在哈密顿路和圈的Dirac-条件.给出了 4-一致超图在接近极图的情况下,图中存在紧的哈密尔顿路和圈的最小3-余度下界,并通过构造极图的方法,说明了这个界是最好的.首先定义超图中的“典型”集合,说明当4-一致超图中的非典型边很少并且最小3-余度比较大时,超图中几乎所有的顶点,二元点对和三元点集都是典型的;接着用构桥,吸收和移动非典型顶点以及连接剩余典型顶点的方法找到超图中的一条紧哈密顿路;最后,根据转换的定义,在超图中找到了一个可以形成哈密顿圈的好集合,从而得到了 4-一致超图在接近极图的情况下存在紧的哈密顿路和圈的最小3-余度的精确值.
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