圆填充是常曲率曲面上具有特定相切模式的一种圆格局。在圆填充以及它们与解析函数相联系的领域中所取得的研究成就起源于费尔兹（Fields）奖得者W.Thurston于1985 年提出Riemann映射可以用六边形圆填充来近似的方法。不久Rodin与Sullivan就证明了这种方案的收敛性，这给Riemann映射提供了一个崭新的离散几何观点。自从那以后，出现了大量的关于圆填充及其应用的研究。对圆格局的研究，由其内部不相交的圆组成的经典圆填充发展为其内部可以重叠的圆组成的圆模式。本文的主要工作如下：首先，我们研究了拟共形映射的圆填充离散逼近。应用有界度圆填充方法来构造了从单连通区域到单位圆盘的拟共形映射的近似解，并且证明了这些近似解在任意紧子集上收敛于精确解。其次，我们应用有分支圆模式的技术讨论了具有有限个临界点集的解析函数的离散近似。对于给定从一个单连通区域到另一个单连通区域的具有有限个临界点集的解析函数F，利用有分支圆模式的方法我们构造了它的近似解。经过对有分支圆模式进行适当的规范化后，我们证明了这些近似解收敛于解析函数F。