作为泛函分析的重要组成部分，不动点理论和非线性算子理论被广泛的应用于许多领域，如:微分方程、积分方程、控制论、优化理论、算子谱理论、数学规划问题、经济和交通平衡问题、现代力学和非线性发展方程等，其中在现代力学和非线性发展方程中应用尤为广泛，近年来，不动点理论及其应用方面的研究，已成为非线性泛函分析的热点研究问题之一.　　 随着不动点和公共不动点理论及应用的发展，人们获得了许多重要的研究成果.2006年，Mustafa和Sims引入了一个新的广义度量空间的概念，简称为G-度量空间，它是度量空间概念的进一步推广.此后，随着对G-度量空间的深入研究，人们在G-度量空间中获得了许多重要的、满足不同压缩条件下的不动点和公共不动点定理.同时也有学者讨论了G-度量空间中的偶合不动点与偶合公共不动点问题，获得了一些初步的研究成果.受这些成果的启发，本文在前人已有结果的基础上，进一步研究了G-度量空间中的不动点与偶合不动点问题.该论文主要包括以下几个方面的内容:　　 第一部分:引言部分，该部分介绍了度量空间和G-度量空间中不动点理论的研究背景和研究现状.　　 第二部分:在G-度量空间中引入了两类新型的压缩条件，利用（Ag）型R-弱交换条件和映象对的非相容性条件，在不要求空间的完备性和映象的连续性的前提下，证明了这两类映象的公共不动点定理.由于已知结果中大多要求空间的完备性和映象的连续性，因此所得的结果在很大程度上推广和发展了G-度量空间中的不动点理论.　　 第三部分:在G-度量空间中引入了几类高次方幂型的压缩映象，包括二次方幂型、三次方幂型和四次方幂型的压缩映象，证明了这几类映象的一些不动点和公共不动点定理，并给出了两个实际例子.值得指出的是，这几类映象是首次在G-度量空间的框架下被提出和研究的，因此结果是新颖的.　　 第四部分:在G-度量空间中引入了(ψ)-弱交换映象的概念，并利用这个概念研究了三对满足(ψ)-弱交换条件的Altman积分型压缩映象的公共不动点问题，获得了几个新的公共不动点定理，同时本文还给出了一个实际例子用以说明结果的有效性.值得指出的是，(ψ)-弱交换映象的概念是首次在G-度量空间中被提出，而G-度量空间中Altman积分型压缩映象也是首次被研究.因此，所得的结果是G-度量空间中不动点理论的进一步深入和拓广.　　 第五部分:在G-度量空间的框架下，引入了一类新的压缩条件，证明了这类压缩映象的一个新的偶合公共不动点定理并且还给出一个例子用来说明所得结果的有效性，且所得的结果改进和推广了Shatanawi(2011)的相关结果.　　 第六部分:在G-度量空间中引入了迭代序列T-稳定的概念，并证明了Picard迭代的几个稳定性定理，这些结果丰富和发展了G-度量空间中不动点的稳定性理论.　　 总之，本文主要研究了G-度量空间中映象满足一些新的压缩条件的不动点和公共不动点问题，主要通过引入新的映象类和新的概念，减弱对空间和映象自身的一些限制条件，获得了一些新的不动点和公共不动点定理，还得到了迭代序列收敛的几个稳定性结果.由于所引入的映象类型和有关概念都是首次在G-度量空间中被讨论，因此，所得的结果丰富和发展了G-度量空间中的不动点理论，是G-度量空间中不动点理论成果的进一步补充和完善，具有较高的理论意义和较强的应用价值.