本文主要研究熵理论中的熵、独立性与回复集之间的联系，整数群作用下不变测度的条件熵公式以及可数离散无限的amenable群作用下遍历测度的相对化版本的SMB定理与条件熵公式。具体安排如下:　　在第一章绪论中，我们简要回顾动力系统和遍历理论的发展起源，并概括介绍本文主要结果的研究背景以及主要研究成果。　　在第二章中，我们简单介绍一些拓扑动力系统和遍历理论的基本定义和性质并且初步地介绍amenable群及其作用的动力系统。　　第三章到第五章是本文的主要部分，来详细介绍我们的研究成果。　　在第三章中，我们研究k-回复集、可数amenable群作用下的回复集等几类特殊的回复集，并利用熵或独立性给出了他们的等价刻画。这是推广了Furstenberg的一个经典结果:一个自然数子集为Poincaré集当且仅当由它所对应的[0，1]区间的紧致子集的Hausdorff维数等于0。需要指出的是Poincaré集就是文中定义的1-回复集。对于可数离散无限的amenable群作用我们把回复集与熵或正上半Banach密度独立性建立起紧密的联系。对于一般可数离散无限群作用我们把拓扑意义下回复集与syndetic独立性建立起紧密的联系。　　在第四章中，我们主要是对Z作用的动力系统建立了一个不变测度相对于不变子σ-代数的条件熵分解公式。这是经典的熵的遍历分解公式的推广。作为应用，这个熵公式给出某些情形下计算条件熵的新思路，如文中的两个推论:利用这个公式说明可数对一蕴含零熵，以及研究关于稳定集和不稳定集的Bowen熵。　　在第五章中，我们主要是对可数离散无限的amenable群作用的动力系统建立了一个遍历测度的相对化版本的SMB定理以及它相对于一个不变子σ-代数的条件熵公式。