【摘 要】
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半个多世纪以来,描述生物趋化现象的偏微分方程越来越受生物学家和数学家们的关注。考虑到趋化实验的条件设置和现实生活中的趋化背景,本文主要研究了趋化-流体耦合模型在带有边界的无界和有界区域上的初边值问题,具体研究内容如下:1.研究了三维带边无界区域上的趋化-Navier-Stokes耦合方程在Neumann-Neumann-Dirichlet边界条件下的初边值问题。首先利用各向异性的Lp插值不等式和常
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半个多世纪以来,描述生物趋化现象的偏微分方程越来越受生物学家和数学家们的关注。考虑到趋化实验的条件设置和现实生活中的趋化背景,本文主要研究了趋化-流体耦合模型在带有边界的无界和有界区域上的初边值问题,具体研究内容如下:1.研究了三维带边无界区域上的趋化-Navier-Stokes耦合方程在Neumann-Neumann-Dirichlet边界条件下的初边值问题。首先利用各向异性的Lp插值不等式和常规的椭圆估计得到一些一致的先验估计,然后再根据连续性方法证明该系统的强解在一个常值平衡态（n∞,0,0）附近是整体存在并且唯一的,其中n∞为非负常数。对于该结果的证明,其关键之处在于对时间导数和空间导数所作的细致的估计,且所得结果与实验观察以及数值模拟的结果相一致。2.探究了三维带边无界区域上的趋化-Navier-Stokes耦合方程在混合边界条件下的初边值问题。首先借助各向异性的Lp插值不等式、椭圆估计和Stokes估计,利用连续性方法在常值平衡态（0,csatn,0）附近建立该系统强解的存在唯一性理论,其中csatn为流体中氧气的饱和值。然后利用De Giorgi技术和能量法证明得到该强解将会以一个确切的收敛速率收敛于常值平衡态（0,csatn,0）。本文对该模型所作的假设与趋化实验中的条件设置以及数值分析相一致,且更加贴近现实生活。研究这个问题的新颖之处在于推导出了一些新的椭圆估计和Stokes估计,并在使用De Giorgi方法时选择了一个合适的权值来处理混合边界条件。3.在边界光滑的三维有界区域上,研究了一类带有非线性扩散项△nm（m>0）和旋转灵敏度S（x,n,c）的Keller-Segel-Stokes耦合方程的初边值问题。在假设张量值灵敏度函数S（x,n,c）的Frobenius范数满足|S（x,n,c）|≤Cs（1+n）-α且m+2α>2以及m>3/4的情况下,通过寻找新的泛函并对相应的正则化方程运用bootstrap原理,建立了 Keller-Segel-Stokes系统对于任意大初值的弱解的整体存在性和有界性理论。由假设条件可看出,本文所得结果既涵盖了退化情形（m>1）,也包含了奇异情形（m<1）。
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