论文部分内容阅读
本文主要探讨了三个问题，其中一个问题是在H<1><,0,K>(Ω)中讨论的H<1><,0,K>(Ω)空间是在改进的Hardy不等式的基础上建立的，它是C<∞><,0>(Ω)空间在以改进的Hardy不等式形式作为范数完备化后得到的空间。在H<1><,0,K>(Ω)中，本文作者讨论了不带扰动项的含有多重临界位势的非线性椭圆方程无穷多解的存在性，然后本文在WH<1.2><,0>中讨论了一类带扰动项的半线性椭圆方程古典解的存在性，最后本文在H<1><,0>(Ω)中讨论了带有扰动项的含临界指数和临界位势的半线性椭圆方程极小正解的存在性与不存在性。
对于不带扰动项的非线性椭圆方程，此方程的特点是含有多重临界位势，并且方程不满足(AR)条件，在此前还没有人做过对这类方程的探讨。为此第二章用一个对称形式的山路引理证明了方程对应的泛函I满足(PS)c条件，这里主要是用反证法．当验证了I满足(PS)c条件后，我们就可以利用喷泉引理来证明第二章的主要结果．另外，作者改进了对f(x，u)的假设，假设条件(H<,2>)和(H<,3>)要比相应的文献中的弱。
对于带有扰动项的的含临界指数的半线性椭圆方程，我们先证明了方程对应的泛函满足山路引理，然后证明了临界序列{υ<,k>}k∈N在W<1,2><,0>(Ω)中有界．因为W<1,2><,0>(Ω)紧嵌入到L
(Ω)中，经过标准的验算可得u是W<1,2><,0>(Ω)的非负弱解，接着用反证法证明了u不恒等于零．最后应用强极值原理得到了主要结果。 在最后一章中，讨论一类含有临界位势和非齐次扰动项的半线性椭圆方程的极小正解的存在性与不存在性。为此，我们证明了：当σ充分小时，方程有一个极小正解；当σ大于某个正数时，方程无解．利用Sobolev嵌入不等式和Holder不等式等工具可以证明方程的一个极小正解序列{υ<,σk>}有界，从而可以证明{υ<,σk>}收敛到一个非负函数υ*，且υ*是方程的一个解．而0是方程的一个下解，由上下解方法和极值原理就得到了本章的结论。