拓扑指数是图的一种不变量,能用于描述化学结构,也被广泛应用到定量结构-性质/活性等相关模型中.基于图的顶点间距离的拓扑指数,在化学理论中,被广泛用于化合物的物理化学性质和生物活性的预测.图的Wiener指数是一个最经典的基于图的顶点间距离的拓扑指数,它是1947年由伟大的美国化学家Wiener提出的.1993年,Plavsic和Ivanciuc等人介绍了图的Harary指数,Randic于1993年提出了无圈图的hyper-Wiener指数,之后Klein等将hyper-Wiener指数定义推广到所有连通图.图的电阻距离概念是Klein和Randic于1993年提出的.最近,我们定义了一个基于电阻距离的新的拓扑指数——倒数度电阻距离指数.本文分别给出具有最小度条件的连通图是哈密尔顿-连通的、从任一点出发都是可迹的补图的Wiener指数,hyper-Wiener指数和Harary指数充分条件,以及分别刻画单圈图和双圈图中具有最大倒数度电阻距离指数的极图.本文具体安排如下:第一章,首先给出本文的研究背景,然后给出基本符号与概念,最后给出图的wiener型指数的哈密尔顿性等其他性质的研究现状和本文的主要结论.第二章,首先分别给出一个图是哈密尔顿-连通的边数充分条件和从任意一点出发都可迹的边数充分条件,然后由图的边数与图的拓扑指数之间数量关系的转化,分别给出具有最小度条件的图的一些哈密尔顿性的Wiener指数,hyper-Wiener指数和Harary指数充分条件.第三章,首先定义单圈上任意两点的电阻距离的计算公式,然后给出一般图的边绕动变换以及单圈图和双圈图的圈绕动变换、圈收缩变换的相关引理,从而进一步刻画具有最大倒数度电阻距离的单圈图及双圈图的极图。