四类无限维Cartan型单Lie代数在Lie代数理论中起着重要作用.近年来出现了不少对Cartan型单Lie代数进行推广的文章.这些代数通常是阶化的(即L= <,α∈г>L<,α>,其中г是某一Abel群,使得对于α,β∈г,L<,α>是有限维的,且[L<,α>,L<,β<]=L<,α+β>).与顶点代数相连的Lie代数或由共形代数生成的Lie代数一般是非阶化非线性的Lie代数.我们知道,顶点算子代数是数学物理中共形场论和统计力学中至关重要的代数结构,决定这些代数的李代数结构一般是非阶化的.由共形代数生成的李代数一般也是非阶化的.从代数的角度看,量子场论就是由共形代数生成的李代数的表示.无限维非阶化李代数也很自然的出现在Hamilton算子理论中,并且在数学物理中起着重要的作用.目前有关非阶化李代数的研究正如火如荼,但尚未形成完整的理论体系,因此,对非阶化Lie代数结构进行进一步研究是一件有意义的事情.导子单结合代数是无限维非阶化李代数的基本组成部分,利用它可以构造及分类满足特定条件的非阶化李代数. 在非阶化Lie代数的研究方面Kawamoto N.、Osborn J.M.、DokovicD.z.、Passman.、Jordan D.A.、苏育才、赵开明、徐晓平等做了大量的工作.特别值得一提的是,徐晓平利用导子单结合代数及局部有限导子构造了广义Cartan型的四族代数(参见[9]).关于这方面的研究,正受到越来越多的人的关注.我们知道,Verma模以及最高权模在表示理论中占有重要的地位.Verma.模在某种意义下是最大的最高权模.Verma模模去其最大的真子模就是我们所熟知的不可约的最高权模.不可约最高权模是李代数表示理论中的重要的研究对象.研究Verma模的不可约性很有意义. 本论文共分三部分,第一部分是确定了由徐晓平定义的非阶化广义Witt型李代数上的李双代数的结构;确定了广义Virasorc-like代数的李双代数的结构.我们证明了这两类李代数上的李双代数都是三角的、上边缘的.第二部分,相对于群G上的全序,我们定义了一类Block型李代数B(G)的Vlerma模,并完全确定了其可约性;我们还考虑了β(Z)的伪有限表示.第三部分,构造了结合于量子环面的广义Weyl代数上的一些表示,并确定了这些表示之间的同构关系.